盤點拋物線的焦點弦問題

羅文軍

設直線l經過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于A、B兩點（直線AB的傾斜角為a），設A（x1，y1），B（x2，y2），0為坐標原點，準線方程為：x=，則關于拋物線C的焦點弦有以下九條常用的性質：

（8）以AB為直徑的圓與準線相切：

（9）以AF、BF為直徑的圓都與y軸相切。

以下運用上面焦點弦的性質來破解一些比較經典的焦點弦問題。

例1（2018年高考全國II卷理科第19題）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k>0）的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且|AB|=8。

（1）求直線l的方程：

（2）求過點A、B且與拋物線C的準線相切的圓的方程。

解析：（1）解法1：由題意得點F的坐標為（1，0），直線l的方程為y=k（x-1）（k>0）。

設AB的中點的坐標為（x0，y0），由中點坐標公式可得，。

所以y0=x0-1=2，直線AB的垂直平分線的方程為y=-x+5。

評注：第一問中的解法1將直線方程與拋物線方程聯立消元后，再運用了拋物線的焦點弦公式，最后解出k的值，得出直線的方程。解法2運用了弦長公式

這個公式只適用于拋物線y2=2px（p>0）的焦點弦問題。第二問要求圓的方程，首先要確定圓心坐標與半徑，線段AB為所求圓的弦，根據弦AB的垂直平分線經過圓心，再根據垂徑定理，直線與圓相交時，|AB|=，其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，解方程可得出圓心坐標和半徑長。

例2設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A、B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為____。

解析：由題設可得，p=2，所以。

因此，△AOB的面積為4。

評注：本題屬于小題，可直接運用拋物線的焦點弦的性質，得出所求三角形的面積，思路簡單明了。

例3設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線C交于A、B兩點，若|AF|=（3+2/2）|BF|，則直線l的方程為____。

解析：設直線AB的傾斜角為θ，由題意知p=2，F（1，0）

評注：本題運用了拋物線焦點弦的兩條性質，通過解方程最終得出直線的斜率，以及直線的方程。

例4（2018年全國II卷理科第16題）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A，B兩點。若∠AMB=90°，則k=____。

解析：記拋物線的焦點為F，由題設可得F（1，0），kFM=

因為∠AMB=90°，則以AB為直徑的圓與準線相切于點M。

由拋物線的性質可知MF⊥AB，所以

評注：本題屬于小題，可直接運用拋物線性質的二級結論：以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切，解法簡單明了，減少了運算量。

例5設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，點E在拋物線C上，|EF|=4，若以EF為直徑的圓過點（O，/3），則拋物線C的方程為____。

解析：由拋物線的性質可得，以EF為直徑的圓與y軸相切，且切點坐標為（0，/3）。因為F（，0），可設E（x0，y0），|EF|=，所以x0=。

所以拋物線C的方程為

評注：本題的解答中先運用了拋物線的焦點弦性質，再通過解一元二次方程，最終得出拋物線的方程，減少了運算量。

例6已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線lr，l2，直線ly與拋物線C交于A，B兩點，直線l2與拋物線C交于D，E兩點，則以線段AB和線段DE為兩條對角線的四邊形的面積的最小值為____。

解析：設直線ly的傾斜角為a，則

所以，以線段AB和線段DE為兩條對角線的四邊形的面積為：

求四邊形的面積取得最小值32。

評注：本題設出直線的傾斜角，先運用了拋物線的焦點弦公式，再利用三角函數的知識解出所求四邊形的最小面積。

例7已知F為拋物線的焦點，E為其準線與x軸的交點，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，且|ME|=，則|AB|=____。

解析：由題設可知E（-1，0），F（1，0），設A（x1，y1），B（x2，y2）。

則中點M的坐標為

設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）。

由焦點弦公式知|AB|=x1+x2+p=2+2+2=6。

評注：先設出兩個交點的坐標，運用中點坐標公式，再將直線方程和拋物線方程聯立，利用設而不求的思想，得出兩根之和，建立關于k的方程，解出k”，運用拋物線的焦點弦公式和整體代換的思想，最終得出拋物線的焦點弦長。