致密變形介質油藏五點面積井網水驅動態分析

曹耐，董平川*，雷剛

1 中國石油大學(北京)石油工程學院，北京 102249

2 College Petroleum of Engineering & Geoscience, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Dhahran 31261, Kingdom of Saudi Arabia

0 引言

致密變形介質油藏的滲流特征與常規油藏的滲流特征顯著不同[1-2]，有著其特有的滲流規律，主要表現為2個方面：①孔喉細小、孔喉比大、毛管壓力的影響顯著，非均質性強，致使流體滲流偏離Darcy定律，出現非線性-擬線性的非Darcy滲流規律[3-4]；②實際生產中，儲層骨架產生部分或全部的不可逆變形，巖石滲透率和孔隙度降低[5-6]，對油田的動態特征有明顯的影響[7]。而且在實際開發過程中也發現了很多問題：難以形成有效的驅動壓力系統，地層壓力下降快，產量迅速遞減，原油有效動用率低[8-10]。

國內外學者對介質變形理論做了大量研究：Samaniego等考慮巖石應力敏感和流體性質，對儲層流體非穩態滲流特征進行了分析[11]。熊建和李凌峰對巖心驅替實驗結果進行統計學分析，發現低滲透氣藏巖心絕對滲透率隨有效應力增加指數下降，并基于此得到了變形介質低滲透氣藏產量預測公式[12]。Samimi和Ghorbani等采用無單元數值模擬方法對變形多孔介質中多相流體流動規律進行分析[13-14]。王美楠等結合二次梯度項及動邊界理論，對低滲透變形介質油藏滲流規律進行了探討和分析[15]。郭平和張楠等建立了啟動壓力梯度和應力敏感效應共同影響下的單井產能模型，并分析了非達西滲流效應對低滲透儲層單井產能的影響[16-17]。雷剛等基于致密砂巖氣藏中氣體非達西滲流特征，考慮儲層絕對滲透率應力敏感效應影響，推導了致密砂巖在擬穩態流動階段的垂直裂縫井產能方程[18]。Pesavento等對變形介質中多相流動研究進行了總結和分析[19]。

然而，上述研究工作基本上都以巖心實驗、介質變形系數對單井產能和滲流規律影響為研究目標；針對致密油藏面積井網，考慮介質變形影響的研究卻不多[20-22]。齊亞東等建立了特低滲透斷塊油藏不規則三角形井網有效動用系數計算模型，并以某特低滲透斷塊油藏為例，對不規則三角形井網有效動用系數進行了計算分析[23]。呂棟梁等建立了低滲透油田反九點井網面積波及效率數學模型[24]。郭粉轉等考慮啟動壓力梯度影響，建立數學模型對低滲透油田四點井網和五點井網面積波及效率進行了計算和分析[25-26]。上述研究工作對于分析低滲透油藏面積井網流動規律具有重大意義，但由于上述文獻并未考慮儲層的介質變形，建立的理論模型不適于變形介質油藏面積井網生產動態分析，需增加對變形介質油藏面積井網的研究及討論。因此，從滲流理論上揭示變形介質油藏井網的流動特征是提高油藏原油有效動用率亟待解決的首要問題之一。

筆者充分考慮致密油藏油水兩相滲流的非線性特征及多孔介質變形特征，推導了考慮介質變形面積井網的地層壓力、勢函數、流函數和平面速度計算表達式，根據物質平衡理論及特征線方法，得到考慮介質變形系數面積井網單元流場分布、油藏波及系數、見水時間和剩余油飽和度分布等生產指標，并研究了不同介質變形系數對油藏生產影響。

1 致密介質變形模型驅替理論

建立考慮介質變形油水兩相滲流數學模型的假設條件為：①水平均質等厚的無限大地層布有無限延伸的五點井網；②地層只有油水兩相，流體在多孔介質中流動均為二維流動；③不考慮毛管壓力影響；④油井以定液量生產，注入井注入量與油井產液量相等；⑤多孔介質發生變形，儲層滲透率隨壓力發生變化，而孔隙度隨壓力變化較小不予考慮。

根據基本假設條件，可以得到多孔介質中油水兩相流體控制方程為：

油水兩相速度方程分別為：

式中k(p)為巖石絕對滲透率。研究結果表明k(p)為巖石孔隙結構、彈性模量和泊松比等參數的函數。目前，國內外學者主要采用指數函數來表征巖石絕對滲透率隨有效應力的變化規律[27-28]，關系表達式為：

將方程(1～4)聯立并整理(qw+qo=0)，可以得到：

基于不變流線假設，計算地層壓力場時，不考慮流度在空間上變化，方程(5)可以變形為：

其中

2 模型計算

2.1 壓力計算

方程(6)為調和方程，采用疊加原理，計算無限大地層矩形5點井網穩態壓力分布。如圖1所示，根據所建立直角坐標系可以得到，油井坐標為(2nd+md,ma)，注入井坐標(2nd+md+d,ma)，其中(m=0，±1，±2，...；n=0，±1，±2，…)。對于地層中任意點M(x,y)，第m排井排中第n口油井在M點的擬勢函數為：

其中

第m排井排中第n口注入井在M點的擬勢函數為：

圖1 矩形五點面積井網示意圖Fig. 1 The sketch map of rectangularfive-spot well pattern

其中

根據勢疊加原理，無窮井網在M點擬勢函數為：

其中

對式(9)進行處理，可以得到：

由于ψ=λtU(x,y)，可以得到：

根據無因次壓力定義，可以得到地層壓力：

其中

若注入井注入壓力為piwf，生產井井底壓力為pwf，則根據壓力計算公式，可得到無因次注采壓差為：

2.2 流函數計算

令vt=vo+vw，由式(2)、(3)、(4)可得：

通過方程(10)可以得到五點面積井網任意位置在x，y方向滲流速度：

由于dy=adyD，通過對速度積分可以得到流函數為：

式中：

2.3 有效動用系數計算

對于五點井網，x，y軸上主流線均為直線。主流線任意點在x方向上的滲流速度為：

由此可確定x方向上見水時間：

同理可確定y方向上見水時間：

所以可得到見水時間：

根據(12)，并利用物質平衡方法，可得到井網單元有效動用系數為：

由于地層均質，井網單元有效動用系數即為無窮大面積井網有效動用系數。

2.4 含水飽和度計算

由方程(1)、(10)可得到：

微分方程(14)特征微分方程為：

沿特征線有：

式(16)說明沿特征線含水飽和度不變，即特征線就為等飽和度線。通過式(15)得到等飽和度面運動特征方程：

求解特征方程(17)可以得到任意時間地層含水飽和度分布。

3 計算實例

為研究儲層有效動用情況，以長慶油田某低滲透砂巖實際儲層特性數據及生產數據為例，對推導的數學模型進行了計算。通過室內巖心滲透率應力敏感實驗，得到介質變形系數為0.014 MPa-1。計算分析所采用的基礎數據如表1所示。

3.1 典型壓力場、流場分布

通過計算可以得到地層壓力分布如圖2、圖3所示。圖2為地層某區塊壓力分布，圖3為地層某五點面積井網單元壓力分布。地層壓力場分布圖展現了面積井網生產特征，注入井附近區域壓力值較高，生產井附近區域地層壓力值較低，由于面積井網對稱性及地層均質性，地層壓力表現為對稱分布。

圖4為地層某五點面積井網單元流場分布，地層流場分布圖展現了面積井網生產特征，近井附近區域流線密，遠井附近區域流線疏，主要原因在于近井附近區域生產壓差大，從而造成流線密集分布。

3.2 介質變形系數對流場分布的影響

對于不同介質變形系數，在流函數值相等情況下，可得到地層流線分布示意圖如圖5、圖6、圖7所示。

表1 模型基礎數據Table 1 The reservoir parameters of the model

圖2 區塊壓力分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 2 Pressure field distribution of formation area block(α=0.014 MPa-1)

由圖5、圖6和圖7可見，介質變形系數越大，流線波及面積越小。主要原因在于隨著介質變形系數增大，地層滲流阻力增大，滲流速度減小，從而導致流線波及面積減小。

3.3 介質變形系數對見水時間、動用程度的影響

根據得到壓力計算公式，對于不同介質變形系數，產量與生產壓差關系曲線圖如圖8所示。

從圖8可以看出，隨著介質變形系數增大，產量增幅隨著生產壓差增大而減小。主要原因在于隨著生產壓差增大，地層滲透率降低，生產阻力變大，從而使得產量與生產壓差關系不再滿足達西定律。

圖3 五點面積井網單元壓力分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 3 Pressure field distribution of five-spot well pattern unit(α=0.014 MPa-1)

圖4 五點井網單元流場分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 4 Streamline distribution of 5-spot well pattern unit(α=0.014 MPa-1)

通過式(11)、(12)可計算見水時間隨介質變形系數變化規律如圖9所示。

從圖9可以看出，見水時間隨介質變形系數增加而增大，說明多孔介質變形增大了滲流阻力，降低了流體滲流速度。

對于本文所給實例，當介質變形系數為0.014 MPa-1時，油井見水時間為149.6 d，現場分析結果顯示油井見水時間為166 d，本文計算結果相對誤差為9.9 %，符合性較好，說明本文計算模型正確。根據式(13)可計算地層有效動用系數為11.87 %。

圖5 流場分布(α=0.013 MPa-1)Fig. 5 Streamline distribution (α=0.013 MPa-1)

圖6 流場分布(α=0.017 MPa-1)Fig. 6 Streamline distribution (α=0.017 MPa-1)

圖7 流場分布(α=0.028 MPa-1)Fig. 7 Streamline distribution (α=0.028 MPa-1)

圖8 產量與生產壓差關系圖Fig. 8 The graph of yield and production pressure drop

圖9 見水時間與介質變形系數關系圖Fig. 9 The breakthrough time and media deformation factor

3.4 介質變形系數對剩余油飽和度的影響

在不同介質變形系數下，通過式(17)計算生產50 d后地層剩余油飽和度分布，結果如圖10和圖11所示。由圖10、圖11可見，隨著介質變形系數增大，地層剩余油飽和度增大，說明應力敏感效應不利于油藏生產，且應力敏感效應越強烈，油藏采出程度越低。

3.5 介質變形系數對水驅前緣的影響

在不同介質變形系數下，通過式(17)計算生產130 d后地層含水飽和度分布，結果如圖12所示。由圖12可見，隨著介質變形系數增大，水驅前緣移動距離減小。在同一位置，含水飽和度隨變形系數的增大而減小。說明應力介質變形對水驅效率有不利影響，巖石應力效應越強烈，水驅油效果越差。

圖10 剩余油飽和度分布(α=0.028 MPa-1)Fig. 10 Remaining oil saturation distribution (α=0.028 MPa-1)

圖11 剩余油飽和度分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 11 Remaining oil saturation distribution (α=0.01 MPa-1)

圖12 含水飽和度與介質變形系數關系圖Fig. 12 The water saturation with media deformation factor

4 結論

(1)基于油水兩相滲流方程，結合介質變形方程，推導了考慮介質變形的五點面積井網壓力、流函數解析公式。

(2)根據地層流場分布，得到油井見水時間，結合物質平衡理論，推導出無因次井網單元有效動用系數計算公式，進而可以定量計算低滲透介質變形油田五點面積井網的有效動用系數。理論計算見水時間與實際生產情況基本一致，相對誤差為9.9 %，符合性較好，說明本文計算模型正確。根據油水兩相滲流方程，得到了等飽和度面運動特征方程，進而可以得到地層剩余油飽和度分布。

(3)介質變形系數造成面積井網動用程度降低，油藏采出程度降低。隨著介質變形系數增大，地層滲流阻力增大，滲流速度減小，從而導致流線波及面積減小、油井見水時間增長；同時，由于介質變形系數增大，生產阻力隨生產壓差的增大而增大，水驅前緣移動距離減小，進而對儲層滲透率產生重大影響，使產量與生產壓差的關系不再遵循達西定律，產量增幅變小。

符號注釋：

式中：v—為流體滲流速度，m/d；k0—巖石初始滲透率，μm2；k(p)—地層壓力為p時地層絕對滲透率，μm2；p—地層壓力，MPa；p0—初始地層壓力，MPa；kr—相對滲透率；μ—流體黏度，mPa·s；α—介質變形系數，1/MPa；q—源匯項，1/d；φ—地層孔隙度，%；S—流體飽和度，%；t—時間，d；U—無因次壓力；λt—混合流體流度，μm2/(mPa·s)；▽—Laplace算子，表示內積；Q—油井產量，m3/d；C,C1,C2—常數；r—距離，m；h—油層厚度，m；ψ—擬勢函數，m2/(d·MPa)；vt—混合流體速度，m/d；T—見水時間，d；A—井網單元面積；ω—積分變量；fw—Leverrett分流函數；下標：o—油相，w—水相；m—井排排數，n—油井或注入井井數，M—地層中任意點。