應用跟蹤微分器的高超聲速飛行器的反演控制

譚詩利，雷虎民，王鵬飛

(空軍工程大學防空反導學院，西安 710051)

0 引 言

吸氣式高超聲速飛行器(Air-breathing hypersonic vehicle, AHV)因其廣闊的軍事和民用前景，已成為世界各大國在航空航天領域競相追逐的一個重要目標。和傳統飛行器相比，AHV具有復雜飛行環境、模型不確定性大、參數劇烈變化和耦合嚴重等特性，使得AHV飛行控制器的設計面臨嚴峻挑戰[1-2]。一方面，AHV飛行的臨近空間存在非連續流體的現象，難以精確描述其氣動特性，使得飛行器的建模存在誤差。另一方面，輕質材料的使用使得飛行器的氣動彈性效應顯著，這種彈性形變也帶來了模型的不確定性。如何避免模型不確定性對控制性能帶來的不利影響是飛控系統設計中面臨的關鍵問題之一。

面對不確定性控制問題，控制方法必須具備很強的魯棒性。文獻[3]采用H∞魯棒控制方法設計了控制器，并提出了一種在線的同步邏輯更新算法求解Hamilton-Jacobi-Isaacs等式，有效地抑制了干擾和未建模動態的影響。但是上述魯棒控制方法是基于小擾動線性化模型而開展控制器設計的，AHV的非線性實質和耦合被弱化。文獻[4-5]分別運用徑向基神經網絡和模糊邏輯系統去在線逼近模型中的不確定項，雖然取得了較好的控制效果，但智能控制算法計算量較大且不利于工程實踐。干擾觀測器技術因其物理意義明確且工程適用性強，在不確定系統的控制領域被廣泛應用。文獻[6]利用超扭曲算法設計了超扭曲滑模干擾觀測器，有效地獲得了干擾項的信息，且觀測的誤差在有限時間內收斂，符合穩定性的要求。文獻[7-9]基于滑模微分器設計了干擾觀測器，對AHV的模型不確項進行平滑估計，實現了對參考軌跡的穩定跟蹤，但滑模微分器的抖振現象難以避免。文獻[10]采用擴展狀態觀測器(ESO)對模型中的不確定進行估計和補償，所采用的ESO理論實質來源于韓京清等[11]提出的基于符號函數的跟蹤微分器，抖振問題較突出。文獻[12]中用于對干擾進行估計和補償的非線性干擾觀測器主要用于解決非匹配不確定性問題，形式較為復雜，使得控制器運算的時間復雜度增大。文獻[13]在線性微分器和混合微分器等的基礎上構造了一系列干擾觀測器，并對比分析了對系統不確定性的估計能力。

上述分析表明，干擾觀測器是解決不確定性控制問題的有效方法，又因為跟蹤微分器(Tracking differentiator, TD)是干擾觀測器設計的理論基礎，故對跟蹤微分器的發展現狀進行論述。跟蹤微分器的概念最早由韓京清等[11]提出，基于最速控制函數構造了具有純開關形式的二階跟蹤微分器，但最速控制函數的Bang-Bang特性使得顫振現象十分明顯。隨后，文獻[14-15]提出了兼具線性和非線性環節的全程快速跟蹤微分器，提高了微分器的全程收斂速率，但在系統狀態接近平衡點時，非光滑分數指數環節使跟蹤輸出信號明顯顫振。趙鵬等[16]設計了一種改進的高穩快速跟蹤微分器，在狀態遠離平衡點時，正奇數指數環節起主要作用，有利于微分器的快速收斂，在狀態接近平衡點時，線性環節起主要作用，從而避免了跟蹤輸出顫振，但抑噪能力有限。近年來，研究熱點集中在通過構造適當的加速度函數來提高跟蹤微分器的響應速度、跟蹤精度和抑噪能力[17-18]。為提高跟蹤速率并避免顫振現象，要求構造的加速度函數在狀態遠離平衡點時具有非線性性質，狀態接近平衡點時具有近似線性性質。

本文將研究高超聲速飛行器在存在參數攝動和外部干擾等不確定下的控制器設計問題。首先，給出了高超聲速飛行器的原理模型。然后，基于正切sigmoid函數和終端吸引子函數設計了跟蹤微分器，通過掃頻測試得到參數整定規則，并進行了對比仿真試驗。隨后，在反演框架下設計了具體的控制律，通過引入新設計的跟蹤微分器，解決了傳統反演控制的“微分項膨脹”問題，并在此基礎上，設計了一種非線性干擾觀測器，用以精確估計模型的不確定項，進一步提高控制精度。最后，通過仿真對所設計控制方法的有效性進行校驗。

1 高超聲速飛行器模型

國內外吸氣式高超聲速飛行器研究領域最常用的模型是美國空軍研究實驗室學者Bolender與Doman[19]提出的彈性體模型。以NASA研制的X-43 驗證機為對象，基于機理推導的建模方法，建立了帶有氣推耦合和彈性形變影響的典型AHV模型。在以上研究基礎上，Parker等[20]基于CFD仿真試驗的建模方法，通過忽略模型中的一些弱耦合與慢動態，得到如下模型：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

基于曲線擬合的思想，氣動力、氣動力矩及廣義彈性力表示為虛擬控制量和控制量的非嚴格仿射形式[17]

(8)

2 跟蹤微分器設計及分析

2.1 跟蹤微分器設計

選取神經網絡中常用的一種激勵函數即正切函數作為加速度函數的基本形式，其表達式如下:

(9)

將上述函數在x=0處泰勒展開，得

tansig(x)=tansig(x)|x=0+tansig(x)′|x=0(x)+

tansig(x)″|x=0(x)2+…+Rn(x)=

x-2x3+O(x3)

(10)

式中：O(x3)表示x3的高階項。

通過引入參數β，可以調節該函數近似線性區間的寬度,此時函數表達式為

(11)

分析式(11)所示的函數可知：當自變量趨近于0時，表現為良好的線性特性，且取值越小，近似線性區間寬度越寬；當自變量取值較大時，表現為飽和特性；且函數全局光滑。將函數作為跟蹤微分器設計的基本函數，能夠加快其全局收斂速率，使跟蹤輸出更加平滑，避免高頻顫振，同時有效抑制系統高增益引起的峰值現象。此外，通過引入終端吸引子函數，可以有效增強跟蹤微分器的抑噪能力，改善其濾波特性。根據以上分析，基于函數構造如式(12)所示系統，可得如下定理：

定理1. 對于給定系統

(12)

如果設計參數l1>0,l2>0，并且終端吸引子0

證.在包含(0,0)的領域內構造Lyapunov函數

(13)

(14)

于是有

V(z1,z2)>0

(15)

將V(z1,z2)對時間t求導并結合系統(12)，可得

(16)

當z2≠0時，均有z2tansig(z2)>0成立，因此可得

(17)

根據文獻[17]中引理可知，系統(12)的解全局漸近穩定。

根據定理1，構造得到基于正切sigmoid函數的跟蹤微分器(TSTD)，如下所示

(18)

式中：u(t)為輸入信號；設計參數R>0,l1>0,l2>0, 0

對于任意有界可積函數u(t)和任意正數T,系統(18)的解滿足[13]

(19)

根據定理1和上述的分析得到以下結論：所設計的跟蹤微分器(TSTD)在理論上能夠實現對輸入信號的跟蹤及微分信號的提取。

2.2 頻率特性分析

基于最小二乘法的掃頻測試[24]能夠較精確地獲得所設計跟蹤微分器的擬合Bode圖，從而分析其開環頻域特性。根據掃頻測試結果分析TSTD的設計參數與響應速率、跟蹤精度和噪聲抑制能力的關系，從而得到微分器的參數整定規則，提升TSTD的工程實用性。本文利用掃頻測試方法分析了TSTD的4個關鍵設計參數R,l1,l2和p的不同取值對微分器性能的影響，設計參數取值如表1所示。經過掃頻測試，與之對應的幅頻和相頻曲線如圖1所示。

表1 TSTD掃頻測試參數取值Table 1 Values of TSTD’s design parameters

圖1 設計參數變化對微分器的性能影響Fig.1 Effects of design parameters on frequency domain characteristics

分析圖1(a)和圖1(b)，由對數幅頻曲線可知，當設計參數R和l1增大時，系統的帶寬頻率增大。帶寬越大，TSTD對輸入信號的響應速率加快，跟蹤輸入信號的能力加強，但對高頻噪聲的抑制能力減弱。相頻特性在截止頻率以下相移很小，但在轉折頻率附近，相移很快降到-180°，這是一個較理想的相頻特性。由圖1(c)可知，當參數l2增大時，TSTD的濾波性能增強，但降低了對輸入信號的響應速率和跟蹤精度。圖1(d)表明，增大終端吸引子參數p可以更好地抑制高頻噪聲，p越大，微分器的濾波性能越強，但同時也增大了微分器的跟蹤時滯效應。

參數整定規則可歸納為：首先選取合適的β值，通常選擇在5～20之間；其次選擇p為較小值，以降低對噪聲的敏感；隨后，選擇合適的R，然后微調l1和l2來調整跟蹤和微分效果；最后通過調整p獲取理想的跟蹤、微分和噪聲抑制效果。

2.3 對比仿真校驗

為校驗TSTD的跟蹤與微分性能，進行仿真測試，并與高穩快速非線性—線性跟蹤微分器(MTD)[16]，反正切跟蹤微分器(ATD)[17]和基于改進sigmoid函數的非線性跟蹤微分器(STD)[18]進行對比。輸入信號選取為高斯隨機噪聲污染的方波信號，仿真步長取為0.001 s。為保證比較的公平性，MTD，ATD和STD參數設置分別與文獻[13-15]相同，TSTD的參數按照所總結的參數整定規則確定，并將速度因子R調整為相同值，各微分器的參數取值如表2所示。其跟蹤和微分輸出曲線如圖2所示。

表2 四種微分器的仿真參數取值Table 2 Parameter values of four TDs

圖2 4種微分器跟蹤方波信號仿真圖Fig.2 Simulation results of four TDs

觀察圖2(b)可知，在方波信號穩定在±1時間段，四種微分器濾波能力相當；在tj=0.5+jT/2,(j=0,1,…,n)時，TSTD實現了對方波信號快速跟蹤，上升時間最短，且無超調，而ATD出現了嚴重的超調現象，MTD和ATD的跟蹤響應速度較慢。從圖2(c)可以看出，TSTD和MTD都得到了平滑的微分信號，響應速度較快，表現出良好的抑制噪聲的能力；與STD相比，TSTD在抑制噪聲方面明顯占優，這是因為TSTD中的終端吸引子函數在一定程度上降低了噪聲對微分信號的影響。仿真結果表明，TSTD能實現對方波信號的快速穩定跟蹤，具備廣義導數的求取能力，且能在一定程度上降低噪聲的影響。

3 控制器設計及穩定性證明

3.1 控制器設計

從式(1)～式(5)可以看出，由于燃料—空氣比Φ直接影響推力，所以速度的變化主要受Φ控制；高度變化則主要由舵偏角δe控制，這是因為δe直接影響俯仰角速度Q，進而影響俯仰角θ與航跡角γ的變化，最后控制高度h的變化[21-22]。又由文獻[23]可知，只要保證航跡角γ趨于航跡角指令γcmd，就能實現h對高度參考輸入href的穩定跟蹤，航跡角指令設計為

(20)

因此，AHV面向控制的模型可表示為

(21)

式中：dV，dγ和dQ表示各個通道上的包含參數攝動、外部干擾、氣彈效應、信號轉換誤差和量測噪聲等的總不確定項。

假設速度參考輸入Vref，定義速度跟蹤誤差為

SV=V-Vref

(22)

對式(22)求導并將式(21)代入，得

(23)

(24)

式中：aV,1>0,aV,2>0,RV>0,βV>0和0

實際控制量Φ設計為

(25)

式中：kV,1>0和kV,2>0為設計參數。

定義航跡角跟蹤誤差為

Sγ=γ-γcmd

(26)

對式(26)求導并將式(21)代入，得

(27)

同理，設計非線性干擾觀測器如下

(28)

選取虛擬控制量為

(29)

式中：kγ,1>0和kγ,2>0為設計系數。

考慮引入新設計的TSTD對虛擬控制量θc求導，設θd為虛擬控制量θc經過TSTD微分后得到的信號，微分器設計如下

(30)

式中：R1,a11,a21,b1與β1均為待設計的參數。

定義俯仰角滑模面Sθ=θ-θd，則有

(31)

虛擬控制量Qc設計為

(32)

式中：kθ,1和kθ,2為設計參數。

類似地，設Qd為虛擬控制量Qc經過TSTD微分后得到的信號，微分器設計如下

(33)

式中：R2,a12,a22,b2與β2為待設計的參數。

定義俯仰角速率的滑模面為

SQ=Q-Qd

(34)

對式(34)求導并將式(21)代入，得

(35)

同理，設計非線性干擾觀測器如下

(36)

實際控制量δe設計為

δe=

(37)

式中：kQ,1與kQ,2為設計參數。

3.2 穩定性證明

定理2. 對于動力學模型(21)，當采用控制律(25)和(37)，非線性干擾觀測器(24)、(28)和(36)，微分器(30)和(33)時，則閉環系統全局漸近穩定。

證.定義dV,dγ和dQ的估計誤差為

(38)

由式(19)可知，通過選擇合適的設計參數可以保證估計誤差有界，即

(39)

定義虛擬控制量的估計誤差為

(40)

同樣地，通過選擇合適的微分器參數使得估計誤差eθ和eQ有界，即

(41)

選取Lyapunov函數如下

W=WV+Wγ+Wθ+WQ

(42)

式中：

對式(42)求導可得

(43)

由于

則有如下不等式成立

(44)

式中：

令控制器待設計的參數滿足：

(45)

并定義如下緊集

(46)

4 仿真試驗

速度與高度參考輸入分別由幅值為457.2 m/s和1219.2 m的階躍信號經過阻尼比為0.95，自然頻率為0.03 rad/s的二階參考模型給出。模型中控制輸入的幅值約束范圍分別為：Φ∈[0.05,1.2],δe∈[-20°, 20°]。為驗證所設計控制器的魯棒性，考慮將所有氣動參數分別加入±30%的攝動量，并在150 s≤t≤250 s時分別向動力學模型中加入下列擾動：dV0=sin(0.04πt) m/s,dQ0=0.2sin(0.04πt)(°)/s。為驗證非線性干擾觀測器對控制性能的提升，將本文所設計的控制器與文獻[6]中的控制算法進行對比分析。

控制器參數取為：kV,1=1.8,kV,2=0.5,kh,1=2,kh,2=0.8,kγ,1=0.3,kγ,2=0.2,kθ,1=0.9,kθ,2=0.2,kQ,1=0.6,kQ,2=0.1；用于虛擬控制量求導的微分器參數取為：R1=R2=12,a11=a12=8,a21=a22=10,b1=b2=0.9,β1=β2=20；干擾觀測器的參數取為：Ri=10,ai,1=8,ai,2=10,bi=0.9,βi=20, (i=V,γ,Q)。

注.控制器參數kV,1,kγ,1,kθ,1和kQ,1的取值范圍需滿足式(45)的約束條件，kV,2,kγ,2,kθ,2和kQ,2一般選取較小的數值來消除跟蹤靜差；虛擬控制量求導微分器的參數及干擾觀測器的參數主要參考TSTD的參數整定規則進行選取。

圖3 速度及其跟蹤誤差Fig.3 Velocity tracking and tracking error

圖4 高度及其跟蹤誤差Fig.4 Altitude tracking and tracking error

圖5 燃料—空氣比Fig.5 Fuel equivalence ratio

圖6 升降舵偏角Fig.6 Elevator angular deflection

圖9 俯仰角速度Fig.9 Pitch rate tracking

圖10 彈性狀態量Fig.10 Responses of flexible states

對比分析圖3和圖4所示的跟蹤誤差曲線，本文設計的控制器在初始段時跟蹤響應曲線的超調量明顯減小且上升時間變短；在150 s≤t≤250 s遇到隨機擾動時，本文設計的干擾觀測器能夠較大程度地減弱擾動對控制性能的影響。圖5和圖6表明，本文設計的控制器在控制輸入上，初始段改善了抖振現象，外界擾動時需要的控制輸入幅值變化更小且曲線更為平滑。由圖7～圖9可知，本文設計的控制器在跟蹤航跡角、俯仰角和俯仰角速度擁有更高的跟蹤精度。圖10為彈性狀態量的變化曲線，由于基于TSTD的干擾觀測器能更實時、更精確地估計包含彈性狀態在內的模型總不確定性，使得本文設計的控制器擁有更好的彈性抑制能力且彈性狀態量能夠在更短時間內趨于穩定狀態。綜上所述，本文設計的控制器在模型參數攝動和外界干擾存在的情況時，仍能保證閉環系統的穩定且具備較高的跟蹤精度。

5 結 論

1)利用正切sigmoid函數和終端吸引子函數設計了跟蹤微分器，通過掃頻測試得到了參數整定規則，增強了工程實用性，并通過對比仿真說明，所設計跟蹤微分器對方波信號的跟蹤能力和微分能力較其它三種微分器具有更強的優勢。

2)利用所設計的跟蹤微分器實現了兩個功能：一是構造了非線性干擾觀測器對模型的不確定項進行估計，增強了所設計控制器的魯棒性；二是利用所設計的跟蹤微分器對虛擬控制量進行濾波處理，解決了傳統反演控制的“微分項膨脹”問題。

3)針對存在參數攝動和外部干擾等不確定性的高超聲速飛行器模型，基于反演框架完成了飛控系統的設計，并基于Lyapunov穩定性理論證明了整個閉環系統的穩定性，仿真結果表明所設計控制器完成了對參考指令的穩定跟蹤并具備較高的跟蹤精度。