基于SQP算法的末敏子彈體優化設計

劉慧玲，徐建軍，彭志凌，趙河明，郭 永，丁明軍，張海良，邢聯大

(1.中北大學 機電工程學院， 太原 030051； 2.淮海工業集團有限公司， 山西 長治 046012；3.中國人民解放軍空軍駐山西地區軍事代表室，太原 030024)

末敏子彈的穩態掃描段是指末敏子彈二次拋筒后減旋傘打開至識別目標引爆EFP戰斗部這一過程[1]。根據戰術要求，穩態掃描是按照給定的落速、轉速所形成的掃描運動[2]。末敏子彈進行穩態掃描時，其縱軸與鉛垂方向呈一定的角度，而其子午面，即懸掛軸與縱軸所成平面(掃描角平面)繞懸掛軸(即鉛錘軸)以旋轉傘的轉速旋轉，形成“月亮式運動”[3]。為獲得期望的掃描角，合理地設計旋轉傘的轉速及末敏子彈的結構等參數則顯得十分重要。

1 末敏子彈掃描階段的數學模型

掃描角定義為末敏子彈彈軸矢量線與鉛垂線的夾角[2]。末敏子彈藥的掃描角與轉速、靜懸掛角及子彈體的質量分布等有關。由于氣流的不穩定性，旋轉傘傘衣的振動和傘-彈系統的擺動等原因，即使傘-彈系統達到穩態時，其轉速也會有波動，由于離心轉動慣量的存在，轉速波動可引起掃描角的波動，從而影響子彈掃描性能。因此，在工程研制中應重視子彈體質心及轉動慣量的設計。

末敏子彈掃描角示意圖如圖1。C-XYZ為末敏子彈彈體坐標系，C-YZ平面為子彈體的子午面(即掃描角平面)，C-XY平面為過末敏子彈質心的橫截面。通常情況下，末敏子彈體均設計成軸對稱的均勻旋轉體，其慣性主軸X、Y、Z，其中Z軸與彈軸重合，繞這三個坐標軸的轉動慣量分別為JX、JY、JZ。子彈靜止懸掛時彈軸與鉛垂線之間有一個預置角θ0，即靜懸掛角。θr為子彈旋轉時的軸線與靜止時的軸線的夾角，則掃描角為

θ=θ0+θr

(1)

掃描角方程為

(2)

式中:mc為末敏子彈的質量；h為傘盤中心到末敏子彈質心的距離；ω為彈體角速度。

圖1 末敏子彈掃描角示意圖

掃描角θ圍繞一個均值變化，令此均值為θ*，掃描角圍繞均值θ*的變化量為δr。則θ=θ*+δr。聯系式(1)，有θr=θ*+δr-θ0。

掃描角方程變為

(JZ-JY)ω2sin(θ*+δr)×cos(θ*+δr)=0

(3)

(4)

式(4)即為掃描角平均值與子彈質量mc、極轉動慣量JZ，赤道轉動慣量JY、轉速ω、靜懸掛角θ0及結構參數h之間的關系。

令

(5)

經過三角函數計算和等價替換，則式(4)變為

(6)

由式(6)可知，轉動慣量差JY-JZ越大，掃描角θ的變化越大，彈軸的擺動越大。因此，通常比值JY/JZ設計盡可能地接近1以減小掃描角的變化。

根據式(3)、式(4)和式(5)，可得

(7)

一般來說，穩態掃描角與靜態懸掛角的差值不能過大，應控制在5°之內。于是有近似替換

(8)

(9)

其中

H=hmcgcosΔθ+(JZ-JY)ω2cos(2θ*)

(10)

由式(10)得出掃描角變化的周期T為

(11)

由式(11)得到末敏子彈的擺動頻率為

(12)

要提高末敏子彈的掃描品質，使掃描角的波動達到最小，降低子彈體擺動的頻率，在末敏子彈設計時，應該嚴格控制轉動慣量比JY/JZ,通常應滿足

(13)

由此可以得到如下的優化模型

(14)

JY與JZ應在工程上可實現的調整區間內。

2 SQP非線性優化方法

2.1 常用的非線性優化算法

由上述的優化模型可知，這是個非線性優化問題，且包含不等式約束。約束非線性優化問題由線性或非線性目標函數構成，并可能受到線性和非線性約束。常用的求解方法有：內點罰函數法、SQP算法和信賴域反射算法。

內點罰函數[5]通過在約束區域的邊界上設置障礙將迭代點限制在可行域內部。其基本思想是借助罰函數把約束問題轉化為無約束問題，然后利用無約束最優化方法來解決約束優化問題[6]。但其只能解決只包含不等式約束的問題。序列二次規劃方法(SQP算法)是在Lagrange-Newton方法[7]的基礎上發展起來的一種約束優化算法。SQP算法產生的迭代點未必是可行點，其屬于“不可行”算法[5]。信賴域反射算法僅用于限制約束問題或線性等式，適用于大規模問題。

對比以上3種方法的優缺點，本研究采用SQP算法。

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2.2 SQP優化算法

逐步序列二次規劃方法(SQP方法)是求解不等式約束優化問題最有效的方法之一[8]。

考慮如下優化問題

min{f(x):x∈D}

D={x∈Rn:Ax≤b}

(15)

其中：f∶X→R是連續可微的凸函數；D是Rn中的一個非空多面體子集；A∈Rm×n；b∈Rm。

SQP算法通過在每一次迭代中求解一個線性約束二次規劃子問題來獲得原約束優化問題的解[9]：

(16)

式中：▽f(xk)是f(x)在xk點處的梯度；Gk∈Rn×n為一個對稱正定矩陣，是f(x)在xk點處的Hesse矩陣估計。記式(16)的解為dk=x-xk。若dk=0，則xk為優化問題表達式(15)的KKT點[8]，否則令xk+1=xk+dk。根據牛頓算法的性質，上述算法有較快的局部收斂性質。

對二次規劃子問題表達式(16)，它需要計算Lagrange函數的Hesse矩陣Gk，其不正定性會影響到算法的穩定性。基于無約束優化問題的Lagrange-Newton方法的成功經驗，用Hesse矩陣Gk的近似陣Bk來替代Gk,Bk+1用諸如BFGS公式[9]來校正，并通過引入價值函數和線搜索來產生新的迭代點，從而得到非線性約束優化問題的SQP算法：

2) 求解子問題

(17)

得到dk；

3) 若dk=0,算法終止，xk是原規劃問題的KKT點；否則，令xk+1=xk+αkdk，其中，步長αk>=0通過某種線搜索獲得。

4) 修正Bk使Bk+1正定，令k=k+1，返回步驟2)。

3 末敏子彈體優化設計

當末敏子彈的角速度給定時，其擺動頻率就確定了。所以，對旋開子彈體的優化設計的問題就變為在工程上能滿足的條件下選擇合適的轉動慣量比。

某末敏子彈的參數值如表1所示，本研究選擇的轉速為6 rad/s，重力加速度g取9.81 m/s2。運用SQP算法結合MATLAB編程求解。

表1 末敏子彈參數值

代入已知參數，通過計算求得轉動慣量比為JY/JZ=0.973 25。

根據式(1)和式(5)，求得不同的轉動慣量對應的動態平衡角如表2所示。

表2 不同轉動慣量比所對應的平衡角

分析結果可知，優化后的轉動慣量比所對應的是變化最小的。

4 結論

通過SQP算法結合MATLAB編程對末敏子彈的轉動慣量比進行了求解，求得的結果在許可的范圍內。當靜懸掛角為28.3°時，對應的最佳轉動慣量比為0.973 25。該方法可以應用于末敏子彈體的結構設計。該方法在Bk的選擇上有很多的可能性，如何選取一個既能盡快地獲取步長又能提高算法的收斂性有待進一步解決。