讓“幾何”真正走向“直觀”

胡良梅

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”[1]幾何直觀，本質是借助直觀圖形獲得感性認識，直觀理解問題，它是種意識，是種思維方式，也是教學手段，它的主旨是創造學生對數學的理解，它的研究對象存在于數與代數、圖形與幾何、統計與概率等數學學習的各大領域。然而，幾何直觀的價值在圖形與幾何領域卻一直未能得到充分重視，因為許多教師會認為幾何圖形本身就是可視的、直觀的，還需要強調直觀嗎[2] ？其實，直觀不代表簡單，可視也常常視而不見。如何讓幾何直觀在圖形領域真正發揮價值？筆者結合教學實踐談一些自己的想法。

一、重視直接接觸，豐富直觀感知

直觀感知是較低層次的幾何直觀，主要是感性認識直觀載體的表面意義[2]。兒童認知幾何圖形離不開個體參與的操作、實驗等直接接觸，如描畫、拼擺、測量等操作活動。豐富的感知經驗能促成穩固的表象形成，是高層次幾何直觀水平的思維基石。

1.在描畫制作中感知圖形特征

小學階段圖形的認識編排順序是：體—面—線—角—形—體，先整體感知，再局部研究。因為兒童最先感知的是具有長、寬、高的三維世界，“面”是物體外表的一部分，附著于“體”，要從“體”上分離出來，因此，認識“面”時，要指導學生借助“體”描一描、畫一畫，經歷分離的過程。

線和角是構成圖形的重要要素。如認識三角形，不僅要知道它有三條邊和三個角，還要理解它的邊和角的特點：三角形中任意兩邊之和大于第三邊;三角形的內角和一定是180°;三角形三條邊長度固定，其形狀大小也會固定等。這些特點必須讓學生在操作實驗中發現。如準備不同長度的小棒首尾相接圍一圍，探索三邊關系;把三角形的三個內角折拼成一個平角，發現內角和規律;給出一定長度的三條邊任意拼擺三角形，體會無論怎樣拼擺，形狀都不變的穩定性。

“體”的整體感知比較現實，但是“體”的直觀圖和展開圖是教學難點。如正方體的展開圖，要安排學生經歷制作、展開、圍攏的操作過程，再進行觀察、比較、分類，學生才能獲得清晰的直觀表象，建立六個面之間的位置關系，發展三維立體圖形和二維平面圖形相互轉換的空間觀念。

2.在測量實驗中感知求積與計量

長度、面積和體積等概念，本身是抽象的，理解這些概念離不開豐富的測量實驗。

學習線段的長度，先要觀察比較若干條線段，體會每一條線段都有長度，可能相等，也可能不等;用刻度尺測量并標注，體會每一條線段的長度都是確定的;估計一些線段有多長，體會解決生活中的一些問題需要了解長度。這樣的認知活動，盡管沒有明確的“長度”定義，學生卻已在測量操作中直觀理解了長度。

體積概念的理解，學生缺少“物體占有空間”的感性認識，接受起來比較困難，學習時更是離不開豐富的感知實驗。如準備兩個同樣大的玻璃杯，一個杯子裝滿水，另一個杯子放一個蘋果，把裝水的杯子里的水倒入放有蘋果的杯子，會剩下一些水，感受“物體占有空間”;再借助不同大小的水果和又一輪倒水實驗，繼續感受“不同物體占有的空間大小不同”等。

圖形的面積和體積計算淡化了計算要求，強化了結合具體情境開展測量的實踐活動。如長方形面積的理解：首先用不同實物的面測量桌面的面積，感知面積測量需要統一面積單位;接著用統一的面積單位去測量長方形面積，獲得所包含的面積單位;最后在測量中逐步發現規律：長×寬就是長方形中包含的面積單位的數量。如此一來，面積就不再是一個抽象的概念，借助測量實驗，學生獲得了清晰的直觀感知。

3.在拼擺折疊中感知運動和關系

圖形的運動和位置關系，更是離不開實際的直觀操作。如將簡單圖形旋轉90度，將長方形分割拼合計算周長等都是學生學習的難點。但如果賦予學習內容以實際拼擺和思考的意義，難點就會迎刃而解。如分割拼合的周長練習。①量一量、算一算：這個長方形的周長是多少？從中剪下一個最大的正方形，求正方形的周長和剩下小長方形的周長。②比一比、想一想：三次求出的周長之間有聯系嗎？③用兩個完全一樣的小長方形可以拼成什么圖形？實際拼一拼，算一算周長（圖1）。

交流思考：哪幾種拼法的周長相等，為什么？借助觀察比較、平移轉化，不同組合圖形之間的關系躍然紙上，清晰可見，組合圖形周長計算難的問題也迎刃而解。讓具體的拼擺成為思考的背景，會讓隱蔽抽象的內容變得生動形象，幾何就會變得直觀易學。

此外，借助拼擺折疊，在動態直觀的層面學習幾何圖形，可有效溝通圖形間的關系，深化對圖形特征的認識。如把一個長方形折、剪、拼，變成平行四邊形;將一張長方形紙的一角翻折尋找相同度數的角等，這樣的學習過程留下的是圖形運動的表象，不僅能幫助學生豐富幾何圖形的直觀感知，還能幫助學生積累豐富的研究經驗。

二、關注直觀觀察，獲得直觀理解

一些幾何圖形中隱含的信息，學生往往很難察覺，需要教師從兒童的直觀視角去引導他們深度觀察，獲得蘊含的幾何意義，也可構造不同的直觀，訓練學生的幾何觀察能力。

1.變換角度觀察

如觀察長方形的直觀圖后思考：圍成的四條邊有什么特點？可以怎樣分組？在深度觀察中，引導學生從“對邊相等——對邊分組”轉向“鄰邊的和相等——鄰邊分組”，這樣的訓練，可凸顯長方形內隱的特征，強調學生幾何觀察的視角，提升兒童的幾何直觀能力。有了這樣的深度觀察，后期探索周長計算方法時，兒童才會順勢想出長方形的周長=（長+寬）×2等方法。

2.變換圖示觀察

如圓柱的展開圖，既要構造標準的直觀展示圖，又要構造非標準的直觀展示圖。

觀察圖2左圖，你能知道什么？觀察圖2右圖，又能獲得什么不同的信息？通過直觀觀察，發現右圖長方形的寬是兩個直徑之和，陰影長方形的長是圓的周長，找到等量關系：πd+d=24.84，依據等量關系先求出直徑，再逐步解決問題。此題的錯誤率非常高，原因就是學生缺少非標準的直觀展示圖的觀察訓練，缺少直觀理解能力。再如三角形的高，受生活經驗的負遷移，學生的原始經驗只是認可“豎直的高”，教學中，教師可讓“豎直的高”躺倒或斜放，呈現不同方位的高，引導學生觀察比較它們本質上的共性，逐步澄清理解誤區。

3.變換靜動觀察

想象與操作是直觀理解的一體兩翼。教學中，可有意引導學生先想一想，再“動”起來，即先觀察想象，再操作觀察。如猜猜圖中被遮住的三角形各是什么形狀，前兩個是鈍角三角形和直角三角形，學生借助觀察想象一般不會猜錯，但最后一個，多數學生會猜成銳角三角形，這時，可先讓學生想一想，暴露理解的誤區，再動手畫一畫，促進深刻的直觀理解。當然，也可以先“動”后“想”，即先操作后想象。如華應龍老師創設的“尋寶”情境，“寶物距離小明左腳3米，寶物可能再哪里”，可讓學生先在紙上找出幾個符合條件的點，再來想一想，這樣的點還有嗎，有多少，會形成一個什么圖形，學生就能從中輕松自然地想到“圓上有無數個點，且這些點和中心點距離都相同”。

三、強調直觀思考，促進直觀洞察

憑借圖形進行數學思考，強調的是直觀理解，更為重要的是關注數學對象的關系。比較、溝通與聯想，是學生自己發現關系的理解方式，可促成一定程度上的直觀洞察。

1.比較促思

再如，比較圖4中的兩根火柴和三個瓶蓋，你能知道什么？又能聯想出什么樣的問題？學生會得出：兩根火柴的長度相當于三個瓶蓋的直徑，也會延伸聯想：四根火柴的長度相當于六個瓶蓋的直徑，這時再來解答“48根火柴相當于幾個瓶蓋的直徑”就沒有直觀思考的難度了。

2.溝通促思

溝通同類事物內在的聯系，可實現幾何直觀的結構意義。如復習平面圖形面積公式及其推導過程，關注直觀梳理，溝通內在聯系，構建方法過程和知識體系，可引導學生完成如下的直觀結構圖：

上面的直觀結構圖，記錄了思維推理的過程，凸顯了知識之間的核心要素，形象地梳理了平面圖形面積公式之間的聯系，將遞進的關系和轉化的策略彰顯得淋漓盡致。

3.聯想促思

通過聯想，即由此關系聯想到彼關系，可實現對直觀圖示的模型意義的理解。如觀察圖6：

這兩條線段之間有什么樣的關系？據此，你能想到哪兩個數量之間具有這樣的關系？（如蘋果樹的棵數是梨樹的3倍）。兩條線段怎樣才能變得一樣長？據此，你又能聯想出什么類型的實際問題？（如梨樹再種80棵就和蘋果樹一樣多，梨樹有多少棵？）這樣的直觀理解，重在關注圖示表達的關系，重在關注圖示的抽象意義和模型功能，更能有效體現線段圖的幾何直觀價值。

直接接觸、直觀觀察、直觀思考是學生發展幾何直觀的認知關鍵。從幾何直觀的視角去探尋幾何直觀的發展層序，幾何直觀的思維功能才能得以啟動，學生的幾何直觀意識才能自然建構，幾何圖形才能真正走向直觀。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 曹培英.跨越斷層 ，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[責任編輯：陳國慶]