數學實驗開展的條件性分析

張勇

摘? ? 要?數學實驗是數學學習的一種重要方式。當個體對某一問題有一定的預期，且不能通過內部表征的操作來形成一定的結論時，就需要進行數學實驗;在開展數學實驗時，要確保實驗平臺能夠為學生提供一個層次合適的外部表征;在具體的學習過程中，要準確把握數學實驗開展的時機，使之恰當地參與學生知識建構過程。這樣數學實驗才能成為個體知識建構的一種手段。

關鍵詞 數學實驗 條件 分布性 表征

數學實驗是一種以實驗為載體，探究問題或形成知識的學習活動過程。作為一種學習形式，其存在的理由和價值正逐步被認識。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。”數學課堂上從來就不缺乏實驗，在當前的課堂中甚而流行。在數學課堂上為什么要進行數學實驗？為什么要進行這樣的數學實驗而不是其他？各類數學實驗在具體教學過程中是否有效？ 本文擬探討：對學習者、對數學實驗本身及對整個教學過程，數學實驗的開展需要什么條件。

一、從認知的分布性來看，數學實驗要滿足學習者的需求

傳統認知理論認為認知是個體內部的信息加工過程。20世紀80年代加利福尼亞大學的赫欽斯提出分布式認知理論。赫欽斯認為認知的本性是分布式的，認知現象不僅包括個人頭腦中所發生的認知活動，還涉及人與人之間以及人與技術工具之間通過交互實現某一活動的過程。

分布式認知理論比傳統認知理論更加具有一般性。分布式認知理論并不排斥傳統認知理論，因為認知的過程有時具有分布性，有時卻僅僅操作于個體頭腦中，不需要外化分布。在某種狀態下，個體的內部表征缺失或者內部表征之間缺乏有效的信息交流，認知活動便不能有效地開展，這時候就需要外部表征的支持，內外部表征交互傳遞信息，完成整個認知過程。在這種狀態下，認知的過程需要外部化，需要一定的媒介參與。數學學習活動屬于認知活動，在內部表征不足以支持認知活動時，也需要外部化活動。

數學學習的外部化活動是否一定是以實驗為載體？當然不是。數學活動除了接受聽講、內在思考，還有觀察、猜想、驗證、推理、證明、計算等。實驗是為了檢驗某種理論或假設是否具有預想效果而進行的試驗活動。作為一個相對獨立的功能單元，數學實驗應通過一系列操作對預期形成一個結論。之所以稱之為相對獨立的功能性單元，一方面實驗可以重復進行，另一方面實驗可以由他人完成。作為一個分析單元，數學實驗應具有下列要素：假設或預期的結果、一定的操作程序、形成結論或解決問題。因此，對學習者來講，在數學學習過程中，當個體對某一問題有一定的預期，且不能通過個體內部表征的操作來形成一定的結論時，就需要把操作外部化，這個獨立的外部化操作的功能單元就是數學實驗。

例如認識圓周率的教學。在研究圓的周長與圓的直徑（半徑）的關系時，學生已經通過直觀發現，圓的直徑越大，圓的周長就越大。學生可以作出猜想：圓的周長與圓的直徑可能有一個固定的倍數關系。但是這個倍數關系需要通過測量計算才能得到，而通過個體的內部心理操作，無法完成這樣的操作，最佳的方法就是讓學生實地進行測量計算，并在此基礎上形成對圓周率的認識。因此需要在個體體外構筑一個實驗平臺，通過一個外部的一系列操作，最終形成對預期結果的判斷。

二、從表征的層次性來看，數學實驗要提供合適的外部表征

上述關于數學實驗的必要前提是從學習者的需求的角度來討論的。具體到每一個實驗，一個數學實驗能否開展，還要看這個實驗自身能否提供適合學生思維建構的外部表征。

赫欽斯認為，認知活動可以被看成是在媒介間傳遞表征狀態的一種計算過程。認知的過程是內部表征與外部表征交互的過程，有效學習的過程應該是建立在內部表征與外部表征有效交互的基礎上的。從數學實驗的操作媒介來說，數學實驗可分成器材操作實驗、紙筆操作實驗、軟件操作實驗。而構筑一個什么樣的實驗平臺，為什么選擇這樣一個平臺，還要看這個實驗平臺能否提供一個合適的外部表征。（這里采用比較靜態分析方法，即學生水平是給定的。）

什么是合適的表征？數學學習的過程是以對情境中的事件和事物的理解為前提的。個體，尤其是低幼者，對事件和事物的認識，往往是從具體到抽象，特別是對現實中可見的事件和事物。因此，外部表征按照這種序列可以劃分為三個層次。第一個層次是以實物器材、表演和動畫、音視頻呈現的對事件和事物的模擬，其主要對應于內部表征的表象、腳本等。第二個層次是對事件事物中的數量、位置關系的提煉，以圖形、圖標呈現出來，主要對應于內部表征的圖式。第三個層次是以語言、符號來表征的對事件和事物的最高層次的抽象，主要對應于內部表征的概念、命題、產生式規則等。在個體既定的知識結構水平下，去除個體認知水平的影響，外部表征是否合適的最大問題在于外部表征的層次性把握得不準，從而對學習效果造成影響。

數學知識是符號化的、結構化的、高度抽象的，這是由數學知識表達的總趨勢所致。要獲得這樣的高度概括的結構，需要經歷一個過程。數學知識的建構并不是越抽象越好，也不是越形象越好，而是讓數學結構逐漸剝離具體的情境并形成體系。在教學過程中，需要根據實際情況調整外部表征的層次，使之適應個體的內外表征交互的需要。因此，在探準內部表征的基礎上，適當調整外部表征的層次結構是構建一個實驗平臺的關鍵。

例如認識有余數的除法的教學。在學習有余數的除法時，就需要利用學具實際分一分，從而形成有余數的除法的概念。要進行有余數的除法操作，首先學生得知道怎樣進行平均分，當把手上的小棒全部分完時，每份不一樣多，就不符合平均分的要求，然后將不該分的部分拿回來，丟在一邊。下一次進行平均分的時候，先看一看、數一數手里剩下的小棒還夠不夠平均分，如果不夠則丟在一邊，這部分小棒的數量就是余數。但是如果通過紙筆操作，或者教師直接在黑板上畫，就很難自如地將不該分的拿回來，很不方便在分掉的小棒與剩下的小棒之間進行操作比較。因此，學習有余數的除法利用器材操作比較好一點。

因此，一個合適的實驗平臺，必定能提供合適的外部表征，否則這個實驗就沒有實際價值，就不是必要的。

三、從認知的過程性來看，數學實驗要恰當地參與認知建構

給你一本數學百科全書，你不一定會成為一個數學精通者。因為數學的大廈不僅是概念、定理、計算等知識的堆積，還需有個體的經驗支撐。個體的知識建構需要一個過程。以上采用比較靜態的方法，說明合理構筑某一個實驗平臺的必要性和重要性。在分析的過程中，學習者的水平始終是既定的。而數學學習活動目的的最終落腳點是學習者個體，所以最后還得回到學習者個體的具體學習過程中來討論數學實驗對學習者的知識建構的意義。一個具體的數學學習過程如何依賴于一個有效的數學實驗？如何把握住開展數學實驗的時機？

學習者的網狀知識結構應該是穩固的，每一個結點應該是確定的，但這只是一種理想狀況。況且，隨著學習活動的推進，前后知識也會相互遷移，原來穩固的、確定的知識，有可能發生動搖。同理原來模糊的不確定的知識，可能會進一步得到固化。因此，對學習者知識結構的特點，要動態地去看，要精確到個體的某一個特定的知識點。

數學實驗對知識建構來說，其本身是提供一個經驗支撐的作用。如果實驗的開展時機合理、控制得當，由它推演出的知識就應該是確定的。如果學生的某個知識點已經是確定穩固的了，那么再進行實驗就顯得冗余了，這樣勢必會降低課堂學習的效率;相反，如果學生的某一個知識點不太確定、不太穩固，就需要重新開展實驗，讓知識的邊界明晰起來。

例如“將一張長6分米，寬4分米的長方形紙卷成一個圓柱體，圓柱體的體積最大是多少？”在這一問題的教學過程中，如果學習者已經知道“以長邊為底面周長，以短邊為高，所得到的圓柱體體積最大”這一知識點，那么就可以直接列式計算，不需要通過計算比較得出“怎樣圍體積最大”這一知識點。相反，如果學習者知識結構不穩固，還未掌握這一知識要點，就要重新進行實驗探究。初次探究這個問題時，首先得知道長方形紙與卷成的圓柱的關系。如果知道長方形紙就是圓柱的側面，長方形相鄰的兩邊會轉化為圓柱的底面周長和高，下面的操作程序就很簡單了。在計算比較后，一定要問“為什么以長邊為底面周長，以短邊為高得到的圓柱體體積最大”這個問題，以便學生繼續進行實驗推理，從而形成一個確定的結論，并固化到知識結構中去。

一個教學環節的安排，一個教學手段的使用，在其使用條件允許的情況下才是有效的。數學實驗在某些條件下是必不可少的，在某些條件下是冗余的。只有那些學生學習所需要的，與學生的心理操作相匹配的，有利于學生形成確定的穩固的知識結構的數學實驗才是必要的、有效的。

[責任編輯：陳國慶]