小學數學建模教學中數學語言的轉換

盧清榮

數學建模是學生的核心素養之一，是學生“對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”[1] 。它的內涵包括“面對某個綜合性情景，能夠理解并建構現實情境模型，會將該模型翻譯為數學問題，建立數學模型，然后會用數學方法解決所提數學問題，再根據具體的情境，解讀與檢驗數學解答，并驗證模型的合理性”[2] 。數學建模過程包括模型準備、模型形成、模型應用和模型拓展。數學語言轉換就是“在數學問題解決過程中，保持數學問題的某些不變性質，改變信息形態，將要解決的問題進行數學轉化，使之達到由繁到簡，由未知到已知，由陌生到熟悉的目的”[2]。如果學生在數學建模過程中能準確、靈活地轉換數學語言，就能順利分析問題和解決問題，有效促進思維的發展和深化，有效培養他們的核心素養。否則，學生就難以閱讀、理解、思維和表達，更談不上提升數學核心素養。因此，教師要引導學生在建模過程中靈活轉換數學語言，逐漸培養并提升他們的數學核心素養。

一、模型準備中轉換數學語言

模型準備就是教師根據教學需要恰當創設情境，組織學生從中抽取數學問題，為后續建構數學模型奠定基礎。模型準備時，教師可以創設童話情境、游戲情境、生活情境、比賽情境、問題情境……如果教師能用情境有效激活學生已有的知識經驗和數學活動經驗，就能促使他們在模型準備中迅速輸入信息并靈活轉換數學語言;如果學生能根據情境中的數學信息抽象出數學問題，就說明他們已經基本厘清所要解決的問題。學生有了明確的建模方向，就為他們發展數學建模素養提供了可能。

教學釘子板上的多邊形時，教師指出釘子板上相鄰兩個釘子間距離是1厘米后，用皮筋在上面任意圍了一個多邊形，讓學生說說多邊形的面積。有的學生嘗試數皮筋所圍的方格數，有的學生嘗試把多邊形分割成規則圖形，有的學生不知所措……學生忙碌中，教師隨口說出答案。等了好一會兒，才有學生認可了教師答案的正確性，也有學生猜測教師可能早就知道所圍多邊形的面積了。于是，教師讓提意見的學生到釘子板上圍一個多邊形，師生進行比賽。師生商議用點陣圖代替釘子板后，學生一畫出多邊形，教師就輕松地說出正確結果并贏得了比賽。學生很驚訝，他們懷疑老師有解決問題的秘密“武器”。

皮克定理是點陣中頂點在格點的多邊形面積計算模型。教師創設師生比賽情境激活了學生探究欲望。學生數方格或計算多邊形面積的過程是他們讀懂圖形語言并轉換為符號語言的過程，他們先把實物表示的圖形語言轉換為點陣圖表示的圖形語言，再轉換為符號語言表示多邊形面積。分割計算面積比較慢，而且還有小部分圖形可能因為不規則而無法準確計算，尋找數學語言轉換新方向就變成學生的迫切希望。比賽情境引發學生積極轉換數學語言的興趣，他們不但了解了皮克定理模型的知識背景，而且喚醒了已有的知識經驗和數學活動經驗，為后續轉換數學語言，形成數學建模素養奠定了基礎。

二、模型形成中轉換數學語言

對小學生而言，數學模型形成過程是提出假設并加以驗證的過程。假設就是學生根據已有認知或直覺大膽提出自己的想法;驗證就是學生對自己或同學提出的假設用實驗、舉例或證明等方法判斷其正確性。假設通過驗證就成為模型，如果無法通過驗證就要提出新假設再驗證。數學語言轉換能幫助學生在假設和驗證過程中進行正確判斷和說理。教師要鼓勵學生大膽假設后通過測量、實驗、操作、交流、抽象、概括等方法經歷數學模型“再創造”的過程。

教學平行四邊形面積時，教師出示一個平行四邊形（圖1），讓學生猜測它的面積是多少。有的學生用5×4計算，有的學生用4×3計算，有的學生用5×3計算。教師引導學生用面積1平方厘米的正方形紙片在圖中有序擺放，他們發現20個小正方形鋪成的圖形比平行四邊形大，隨即否定了5×4的假設;發現12個小正方形無法鋪滿平行四邊形，隨即否定了4×3的假設;15個正方形是否正確呢？學生切分小正方形并擺拼，數出平行四邊形的面積。教師追問有沒有更簡潔的方法，學生發現可以把平行四邊形轉化為長方形，在動手操作和小組交流中，他們根據長方形與平行四邊形的對應關系——長方形的長=平行四邊形的底、長方形的寬=平行四邊形的高，進而推導出平行四邊形面積=底×高，用字母表示是S=a×h，順利形成了平行四邊形的面積模型。

提出假設時，學生把圖形語言轉換為符號語言，用三個算式分別表示平行四邊形的面積;驗證假設時，學生觀察平行四邊形包含面積單位個數的過程是把圖形語言轉換為新的圖形語言的過程，同時否定了兩種假設，肯定了第三種假設。教師的追問引導學生繼續尋找新的數學語言轉換方向，他們想到把平行四邊形剪拼成長方形，實現圖形語言的相互轉換。根據兩種圖形的對應關系推導平行四邊形面積公式的過程是把圖形語言轉換成文字語言的過程，最后把文字表示的公式模型用字母表示是文字語言轉換為符號語言的過程。學生在猜測驗證和合作交流中不斷進行數學語言轉換，最終順利形成平行四邊形面積公式模型。學生的數學建模素養在模型形成過程中得到了有效培養。

三、模型應用中轉換數學語言

小學生學習數學的意義不只是掌握知識的多少，更在于能否靈活解決實際問題。學生如果能應用所形成的數學模型解決實際問題，并從中發現新問題、理解新知識、實現新認知，甚至自覺形成數學建模意識，就表明他們不但能真正理解并掌握所建構的數學模型，而且能初步感悟數學模型思想的價值，同時表明他們的數學建模素養得到了有效提升。

學生形成梯形面積模型后，為了幫助他們及時鞏固應用，教師設計一些習題：

1.計算下列梯形的面積（圖2）。

2.一塊梯形菜地上底與下底的和是120米，高50米。如果每棵白菜要占地2平方分米，那么，這塊菜地一共可以種多少棵白菜？

3.計算下面每個圖形的面積（圖3），說說你有什么發現？

學生解決第1題的過程，就是他們簡單應用模型解決實際問題的過程，也是他們把圖形語言轉換為符號語言的過程;解決第2題的過程，是他們靈活應用模型的過程，也是他們把文字語言轉換為符號語言的過程;解決第3題的過程，是學生溝通知識聯系的過程（梯形面積公式可以變為三角形面積公式或平行四邊形面積公式），也是數學語言轉換的過程：先把圖形語言轉換為符號語言、再把符號語言轉換為文字語言。他們從中發現數學模型不是孤立、零散的，而是相互聯系，甚至可以相互轉化的，梯形面積模型因此有了更深的意義，并由此變得結構化和系統化。有層次的練習引導學生把不同類別的數學語言進行不同層次轉換，學生的數學建模素養在問題解決中得到有效提升。

四、模型拓展中轉換數學語言

模型拓展就是教師引導學生對已經建構的數學模型適當改變，衍生出新的數學模型。教師可以根據教學需要和學情引導學生在模型應用中完成一些拓展性練習，幫助他們對所形成的數學模型進行適度拓展或重塑。有效的模型拓展不但能加深學生對已形成的數學模型的理解，而且能拓展學生的數學視野，使他們學會從不同角度理解并掌握數學模型，進一步培養他們的數學語言轉換能力和數學建模素養。

學習間隔排列時，學生經過簡單的模型應用，初步理解并掌握了所形成的數學模型“兩種物體排成一行，兩端物體相同時，兩端物體個數-中間物體個數=1”后，教師出示了兩道拓展練習：

1.小紅把正方形和圓形一個隔一個地排成了一行。如果正方形有6個，圓形最少有多少個？最多有多少個？

2.圓形池塘周圍一共栽了75棵柳樹，如果每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，可以栽多少棵桃樹？

解決問題1時，學生形成一條直線上物體間隔排列的基本圖式，是他們靈活應用已有模型并形成新數學模型（兩種物體排成一行，如果兩端物體不同，它們的個數就相等）的過程，也是他們把文字語言轉換為圖形語言再轉換為文字語言的過程。解決問題2時，學生經歷了封閉圖形用文字語言表達“外化”，語義轉換為圖形語言具像“內化”的過程，也是他們形成新的數學模型（物體首尾相連圍成一圈，兩種物體的個數相等）的過程。學生在解決實際問題的過程中靈活應用模型，甚至拓展、形成新的數學模型，有利于他們從更高的水平上重新認識模型，他們的數學語言轉換能力和數學建模素養都得到了明顯提升。

總之，學生在數學建模過程中有效進行數學語言轉換，不但能充分感悟數學模型思想、體驗數學建模價值，而且能切實提升數學語言轉換能力。數學語言轉換越充分，學生建模就越順利，數學建模素養提升越自然。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 徐斌艷.數學學科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（06）.

[責任編輯：陳國慶]