指向數學素養生長的三維結構化加工

席愛勇 吳玉國

摘? ? 要??指向數學素養生長的三維結構化加工是指通過基于數學的原本加工，追溯數學知識的本原，理解核心概念的意義，建構以核心概念為中心的知識結構;通過基于心理學的認知加工，以多元表征為載體，將數學學科知識結構內化于心，逐步轉化為學生的認知結構;通過基于教育學的學程加工，序列轉換系統設計，將學生認知結構外化于行，逐步轉化為學生素養結構。

關鍵詞 結構化加工 數學素養生長 育人價值

數學學科核心素養是學生通過數學學科的學習逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力[1]。它是數學課程目標的集中體現，是學科育人價值的進一步凝煉，也是當下數學教育教學研究的重要方向。數學學科核心素養如何落地生根？筆者嘗試通過三維結構化加工，探索數學學科核心素養生長的可能路徑。促進學生數學核心素養的不斷生長，實現數學教育的育人價值。

一、原本加工：建構以核心概念為中心的知識結構

從數學知識原點出發，層層遞進，理解核心概念的意義，建構以核心概念為中心的知識結構框架。在此基礎上，抓住新知識與核心概念的內在關聯，將新知識統整到以核心概念為中心的知識結構框架中去，不斷完善、擴充知識結構，形成新的更大的知識結構體系。例如在“小數的意義”教學過程中，教師利用小正方形的動態圖形表征，引導學生從自然數1開始進行數數言語表征，逐步累加，經歷10個一到1個十、10個十到1個百、10個百到1個千……的轉變過程，感受滿十進一，在系統體驗的基礎上總結提煉十進制這個核心概念，架構以十進制為核心概念的自然數系。在此基礎上，教師巧妙引導學生對自然數系基于十進制進行反向操作，即按照十進制進行均分：把1個百進行10等份均分，每份就變成1個十;把1個十進行10等份均分，每份就變成1個一;把1個一進行10等份均分，每份就變成1個十分之一，寫成小數就是0.1，從而產生一位小數;把1個0.1進行10等份均分，也就是把1個一進行100等份均分，每份就變成1個百分之一，寫成小數就是0.01，從而產生兩位小數;把1個0.01進行10等份均分，也就是把1個一進行1000等份均分，每份就變成1個千分之一，寫成小數就是0.001，從而產生三位小數……利用十進制融通小數系與自然數系的結構關聯，在建構小數系的同時，將其自然納入到以十進制為核心概念的數系知識結構體系中去，與自然數系共同形成更大的具有內在邏輯聯系的學科整體知識結構。在這個過程中學生逐步明白：自然數是按照十進制的不斷累積，小數和十進分數是按照十進制的不斷均分。因此，小數既是十進分數的一種表達形式，也是按照十進制不斷均分的結果，從而建構如圖1所示的知識結構體系。

二、認知加工：建構以多元表征為載體的認知結構

從學科知識結構走向學生認知結構，不是自然發生的，需要一個載體，這個載體就是多元表征。PISA2015更加強調數學是描述、構建、理解和預測世界的一種語言，而多元表征恰恰就是數學語言表達和呈現的方式[.2] 。另一方面，學生數學核心素養尤其是數學理解能力和問題解決能力在很大程度上依賴于學生心理表征的復雜性、抽象性和結構性[3] 。所謂多元表征，就是數學知識或信息在學生頭腦中的多種記錄、編碼和表現方式，分為心象表征系統、言語表征系統和由這兩個系統整合起來的圖式表征系統。其心理運行機制如圖2所示。

從圖中可以看出，教師將數學學習對象以言語信息（口語、文字、符號）和非言語信息（實物、模型、圖片、活動、情境）兩種形式呈現給學生進行外在表征加工。言語信息通過符號語義分析原理進行加工，形成言語表征，以言語碼形式進入言語表征系統;非言語信息通過結構對應原理進行加工，形成圖像表征，以心象碼形式進入心象表征系統。新編碼在系統內與原有的舊編碼進行聯想性加工，實現系統內信息的相互轉換，建構意義聯系，形成言語碼組織（命題、圖式、CPFS結構等）和心象碼組織（視空間表征、心智模式等），同時在系統間進行參照性加工，實現系統間信息的相互轉譯，建構意義聯系，整合成圖式表征系統，形成數學認知結構，必要時外化應用于新的數學學習對象。可見，數學多元表征學習的內化過程本質上就是對數學學習對象進行多元理解、多元編碼、轉換轉譯、建立數學認知結構的過程;數學多元表征學習外化的過程本質上就是數學認知結構外顯化、可視化，應用于新的數學學習對象的過程。“外在表征—內在表征—認知結構—數學對象”構成了學生數學多元表征學習的認知循環系統[4]。例如，在“小數的意義”一課中，首先借助正方形圖形動態表征和言語文字表征，引導學生通過數數，在系統復習自然數計數單位滿十進一中建構十進制的概念，借助十進制引出十分之幾和一位小數，并用文字符號表征進行表達。再通過舉例，即情境表征、言語表征、文字表征、符號表征等多元表征進一步溝通、確認、鞏固十分之幾和一位小數的內在關聯。接著用同樣的表征方法建構百分之幾和兩位小數之間的內在關聯。而建構千分之幾和三位小數之間的內在關聯，則脫離圖形表征，主要通過直觀想象，利用心象表征、言語表征、文字表征和符號表征來實現。小數的意義多元表征整體設計如圖3。

三、學程加工：建構以序列轉化為載體的素養結構

所謂學程加工，就是將數學知識結構轉化為學生認知結構，將學生認知結構轉化為學生素養結構的學程實踐序列轉化系統設計，主要包括數學知識結構的展開序列系統設計、學生認知結構的多元表征轉換序列系統設計、學的序列系統設計和教的序列系統設計。模型建構如圖4。

數學知識的展開序列可以通過環環相扣的主題問題鏈實現，如“小數的意義”一課我們可以圍繞如下幾個問題展開數學知識的序列設計：

連續環節問題一：小數從哪里來？

關聯環節問題二：小數的意義是什么？

推進環節問題三：小數的意義有什么用？

循環環節問題四：你想對小數說些什么？

學生認知表征轉換序列依據學生的思維發展轉換序列“直觀思維—程序思維—抽象思維—形式思維”可以設計為：直觀表征—言語表征—文字表征—符號表征。在教學過程中，學生認知表征轉換序列過程往往會多次往復循環出現。

依據數學知識展開序列和學生認知表征轉換序列，教的設計可以分為如下幾個環節：問題情境—互動交流—總結提煉—拓展延伸，學的設計可以對應的分為如下幾個環節：直觀操作—描述分析—抽象概括—實踐應用。

教的設計以數學知識展開序列為依托，彰顯數學知識結構的形成過程;學的設計以學生思維發展序列和認知表征序列為依據，彰顯學生認知結構的形成過程;教與學的設計有機統一，便將數學知識結構與學生認知結構形成過程有機統一起來，相互滲透、相互融合，共同促進學生素養結構的不斷生長。

學程加工，讓教師教有結構、教有思路、教得深刻、教得靈動，讓學生學有結構、學有思路、學得深刻、學得輕松。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 鐘啟泉，崔允漷.核心素養與教學改革[M].上海：華東師范大學出版社，2018.

[3] 斯泰西，特納.數學素養的測評：走進PISA測試[M].曹一鳴，等，譯.北京：教育科學出版社，2017.

[4] 席愛勇，吳玉國.結構關聯：讓結構化學習深度發生[J].中小學教師培訓，2018（04）.

[責任編輯：陳國慶]