小學生日常數學經驗的理解及其啟示

俞蓉 劉效麗

摘? ?要?《義務教育數學課程標準（2011年）》明確提出，教師的教學應以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，并指出教師應注重數學知識與學生生活經驗等方面的聯系。學生從日常生活中獲得的數學經驗應引起重視。從對學生日常數學經驗的進一步理解中可以獲得一些教學啟示，如賦予學校數學現實意義、分析隱藏在學生錯誤背后的日常數學經驗、重視學生思維過程及數學語言的使用等。

關鍵詞 數學經驗 學校數學 數學語言

我國《義務教育數學課程標準（2011年）》明確提出，教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，并指出教師應注重數學知識與學生生活經驗等方面的聯系[1]。學生從日常生活中獲得的數學經驗應引起重視。那么，學生日常數學經驗是什么？這些經驗與學校數學經驗之間是什么關系？教學活動中該如何利用學生日常數學經驗呢？

一、學生日常數學經驗的含義與特點

首先，經驗是一個哲學范疇的詞語，根據哲學詞典上的解釋，經驗通常指感覺經驗，它是人們對經由感覺器官所獲得的、關于直接接觸的客觀事物的現象和外部聯系的認識，因此經驗常與理性對立或聯系在一起。在《現代漢語詞典》中名詞性經驗是指由實踐而得來的知識或技能;《牛津高階英漢雙解詞典》中經驗對應的英文單詞experience除具有上述含義外，還指出個體在獲得知識或技能的過程中所經歷的事或活動會改變其想法與行為，即經驗對個體會產生某種程度的影響等。

杜威認為，經驗既包含著一個主動因素，即嘗試，又包含著一個被動因素，即承受結果，這兩個因素以特有形式結合著[2]。換言之，經驗就是個體在有所經歷后有所得。所得既可能是有利方面、日后可直接利用的，也可能是不利方面、日后需修正的。無論是哪種所得，它們都對經歷的個體的知識、能力或情感等多方面產生了一定影響。

其次，“日常數學”是相對“學校數學”（亦稱“正式數學”）而言，也被稱為“校外數學”或“非正式數學”，它是人類在參與社會文化實踐活動中為解決現實問題而自然形成的。國外學者Bishop指出，在其所研究過的所有文化群體中普遍存在6種基本的數學活動：計數、定位、測量、設計、娛樂及闡釋現象[3]。由此可以推斷，即便是從未學習過學校數學的人，也可以從普遍存在的這些基本數學活動中獲得一些數學經驗。

綜上，這里的學生日常數學經驗是指學生在日常生活中通過感官直接體驗和感受身邊事物的數量關系與空間特征而獲得的一種認識，是學生在解決日常生活中的實際問題過程中獲得的具體知識或能力、解決問題的策略、某種情感體驗或是某種意識信念等，會對學生的學校數學學習產生或大或小、或積極或消極的影響。

根據前文分析，學生日常數學經驗具有以下幾個主要特點。

首先，學生日常數學經驗依托豐富的情境，具有較強的情感體驗特征，是學生在多樣化的社會活動中為解決對自己具有某種特殊意義的現實問題而獲得的，所使用的方法是具體而非抽象的，與此同時，這種情感體驗會對學生某些方面產生一定的影響，使學生對自身經驗留有較深印象，即日常數學經驗在學生身上可能存在某種程度的穩固性。

其次，學生日常數學經驗是他們在日常生活中通過感官直接獲得的，這就決定了這種經驗基本停留于對數學的感性認識層面且缺乏系統性。學校數學教學任務就是將學生對數學的感性認識提升至理性認識，并再運用于現實生活中，以更好地解決現實問題。

二、學生日常數學經驗與學校數學經驗之間的關系

數學概念既來源于現實世界，又高于現實世界，是經過多次概括和抽象的結果。因此，數學不是直接研究現實對象，而是處理它們的抽象反映，處理它們的模型[4]。

一方面，正因為數學概念來源于現實世界，所以為數學教學聯系學生日常數學經驗提供了可能性。學生在接受正式數學教育之前從現實世界中獲得了自己的數學經驗。學者Resnick認為，小學生的數學思維發展一般經歷準量、量、數與運算這四個階段（見表1）[5]。

根據Resnick所提理論，小學生接受正式的數學教育之前，其數學思維一般已由準量階段進入量的階段，從某種意義上來說，學生正是在這兩個階段積累了自己的數學經驗，而這些經驗可以看作是學校數學經驗的“萌芽”。一般進入小學后，即開啟了通向數的階段的大門，這是學生日常數學經驗逐步向正式數學經驗過渡的一個重要階段。

另一方面，數學高于現實生活，日常數學與學校數學之間是有很大差異的，這種差異表現在多方面。例如有研究認為，日常生活中的數學是一種“復雜的即興發揮”，而學校數學可以說是按照標準程序進行的，也就是說日常數學具有隨機性，而學校數學有自身嚴密的邏輯性與高度的抽象性[6]。因此，學生的日常數學經驗尚須進一步改造才能提升為正式數學經驗。

學生的日常數學經驗與正式數學經驗之間的關系如圖1所示。

學生帶著自己的日常數學經驗走進課堂，在接受數學教學的過程中，思維受到激發，會自覺或不自覺地將自身已有經驗與學校數學知識技能等進行比對：二者一致時，學生就能很快掌握新知;二者沖突時，則可能會出現三種不同情況——新知替代原有經驗，或與原有經驗重整組合，或直接遭到拒絕。前兩種情況下學生也能較快形成新的數學經驗，但須不斷鞏固加深才能使之穩定，否則學生可能會為了考試而暫時記住新的知識方法等，但考完后即回到原有經驗，但第三種情況下，學生可能在較長一段時間內仍停留在原有日常經驗層面。

三、啟示

1.賦予學校數學現實意義

如圖1所示，當學校數學知識技能等與學生的日常數學經驗一致時，學生很快就能掌握新知，而學生的日常數學經驗具有較強的現實情境等特點，所以，教師在教學時可以為抽象的數學概念等賦予現實意義，以幫助學生理解與吸收。

例如，當前小學數學教學常常借助道具操作、實物模型等（如點子圖、小棒等）進行直觀教學，這是一種必要的教學方式。但Resnick等人通過研究發現，直觀的道具操作本身并不足以提取與利用學生已有數學經驗并基于此進行教學，教師自身還須形成“算術是建立在豐富的意義基礎之上”的基本教學態度，并在整個教學過程中注意將數賦予學生樂于接受的現實意義[5]。所以，教學中不僅要考慮教學形式，更要考慮形式背后的意義，否則課堂中可能師生操作得不亦樂乎，但學生也只是回顧了已有的日常數學經驗而無提升。比如讓學生計算2+17.5=？時，就會有學生算出17.7等錯誤結果，但如果問學生買作業本花了2元，買書花了17元5角，一共花了多少錢？學生就能根據日常數學經驗算出一共花了19元5角，因為錢是小學生熟悉且感興趣的話題，多數學生已從日常生活中積累了關于錢的數學經驗，所以給運算賦予學生熟悉的現實意義，無疑有助于學生理解抽象的計算方法。

此外，教師在教學中設置問題情境時，也要注意結合學生的現實生活背景，如此可以一舉兩得：第一，可以調動和利用學生的日常數學經驗，為學生學習抽象的數學知識搭建支架;第二，可以縮短學校數學與日常生活之間的距離，使學生切身感受到學校數學在生活中的有用性，有助于學生將獲得的學校數學經驗自發主動地應用到生活中去。

2.分析隱藏在學生錯誤背后的日常數學經驗

如上所述，當學校數學知識技能等與學生的日常數學經驗相沖突時，學生會以代替、重組原有經驗或拒絕新知等方式解決，在這個過程中，學生免不了會頻繁犯一些類似的錯誤，直至新知完全轉化為正式數學經驗。

建構理論認為學生是基于自己已有的知識與經驗來建構和理解新的知識，這就意味著教師需要關注學生走進教室時所具有的經驗，尤其是其中所包含的一些片面的理解、錯誤的觀念等。

一方面，學生所獲得的片面的經驗會對后期的學習產生負遷移，例如，小數、分數、負數等的運算學習，與學生在生活中積累的數學經驗——“相加/相乘會使數變大，相減/相除則會使數變小”會出現相悖之處，尤其是此前這種日常經驗還被所獲得的正整數運算經驗強化。

同樣，不嚴謹的日常數學經驗也會給學生日后的數學學習造成干擾。比如，學習“角的認識”這部分知識時，如果呈現圖2所示的兩組角讓學生比較大小，每組都會有學生認為∠1<∠2。

為什么初學角時，總會有學生犯這樣的錯誤呢？根據已有的關于兒童數學概念發展方面的研究，日常生活中有很多這種涉及比較的活動，比如兩杯水，水位線越高的水就越多;越長的就越大等，長此以往，就會使兒童形成一種“某方面越……則另一方面也越……”的直覺[7]。換而言之，這種直覺可被看作是學生獲得的一種比較穩固的日常經驗。

另一方面，學生日常數學經驗與正式數學經驗相比是有不少“漏洞”的，即比較膚淺。比如，學生從生活中獲得了一些關于“0”的認識，知道“0”有“無、沒有”的意思，當0+5時0不用考慮，結果依然是5。因此當學習退位減法、乘除法時，就會有學生根據原有日常經驗類推得出0×5=5、0-5=5之類的錯誤結果。

簡言之，教師需要仔細分析學生錯誤背后隱藏的原因，具體問題具體分析，在實施教學活動前，應識別學生已有的經驗處于什么水平，再根據學生的實際情況安排有針對性、有層次性的教學活動。同時，教師還要注意不斷強化學生獲得的新經驗，可輔以適量的、不同層次的變式練習等。

3.重視學生的思維過程

有些情況下，學生會借助日常數學經驗來解決學校數學問題，雖然可能與學校數學所規定的標準化算法或步驟等不一樣，但這并不意味著學生做得不對。比如，有小學生在計算132-47時寫成如下：

顯然，這種解法與教師所期望的列豎式的方法不一樣，但這種解法不能說是錯誤的。那么學生為什么會這么解答呢？其實結合日常數學經驗并不難理解學生的解法，比如購物時會出現整箱拆箱的情況，打比方說一整箱橙子有100個，某人要買47個，但是已拆的箱里還剩32個，所以賣家一般會先給買家32個，還欠15個就再拆一整箱，最后賣家剩85個（100-15）。

從上例可以看到，在實際教學中，教師要盡量給學生提供機會，讓學生多說、多表達自己的想法，從而使學生的思維過程外顯，尤其是面對學生的錯誤解法或“與眾不同”的想法時，如此教師方能找到問題或關鍵所在，從而“對癥下藥”，用不同的方法幫助不同的學生在數學上獲得自己的發展;同時應接受學生運用非正式的問題解決策略，引導學生自己發現原有策略的問題或不足，幫助學生進行修正，最終促進學生數學思維向更高、更正式的層次發展。

4.重視數學語言的使用

日常數學語言與正式數學語言之間的沖突也是日常數學經驗與正式數學經驗沖突的一種表現，比如日常數學經驗中的“直線”概念與學校數學中的“直線”概念之間是有很大區別的：前者是不彎曲的、能看見首尾的線，實為學校數學中的“線段”，而學校數學中“直線”雖也是不彎曲的，但卻無首無尾。這就導致在剛學習“直線”這一概念時，有些學生較難接受學校數學中“直線”的概念。

數學是靠語言來表達的，這種語言通常有文字、符號和圖像三種形式，學生學習數學正是從認識和理解這些語言開始的[8]。根據一些教學實踐，掌握不好數學語言的學生，對數學知識的理解能力就會較差，從而影響對數學問題的理解與解答。數學思維的發展離不開數學語言的同步發展，數學語言發展對數學思維發展、數學能力和素質的培養均有著重要的現實意義[9]。

因此，小學階段的數學教學還應該承擔起一個重要的任務，即將學生日常數學經驗中的非正式、不規范的數學語言逐步糾正為正規的數學語言，為日后更加深入、愈發抽象的數學學習奠定基礎。那么具體怎么處理這兩種語言之間的關系呢？一方面，教師可以借助日常數學語言對抽象的數學概念做出必要的解釋，以幫助學生很好地理解，但同時還需幫助學生對數學概念的理解從日常意義過渡到嚴格的數學意義上;另一方面，教師要鼓勵學生說出自己對所學數學概念的理解，采取引導的方法，從而幫助學生過渡到正規的數學語言[10]。簡而言之，教師自身首先要注意用詞準確，板書時注意使用正確的數學符號等，潛移默化地培養學生養成用正確的數學語言來表達數學思維的習慣。

5.重視學生的經驗，而非教師的經驗

學生的日常數學經驗與學生個體所處的環境關系較大，所以，學生所處地域、家庭經濟狀況、家庭教育程度等都可能會不同程度地影響學生的日常數學經驗。這就要求教師在聯系學生的日常數學經驗時，先要調查清楚學生的現實情況，而不是以教師自己的經驗來取而代之。

但是，學生的經驗在實際教學實踐活動中往往容易被忽視或者未得到應有的重視。有些教師為了節省時間，便根據自己以往的教學經驗進行備課，覺得學生這里容易弄懂，那里會是理解難點，等等。誠然，教師的經驗也很重要，可以為教師開展教學活動提供參考依據，但歸根結底，學生才是學習的真正主人，學生走入課堂時所帶有的經驗會直接影響到學生學習的效果，而教師的經驗是為學生的學習（即學生的經驗積累）服務的。杜威曾說過，教育者的任務就是安排一些既使學生不厭惡又能引起學生活動興趣的經驗，這些經驗可以促使學生獲得未來渴望的經驗，所以它們的作用比直接獲得適意的經驗還要大得多[2]。如此看來，學生的經驗才是教師教學活動的出發點。

總而言之，教師若想充分調動與利用學生的已有日常數學經驗，幫助每一位學生獲得思維提升、數學學習上的發展，其前提是教師須先對學生的已有經驗進行充分的調查與了解。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 約翰·杜威.民主主義與教育[M].第2版.王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[3] Bishop A J.Mathematics Education in Its Cultural Context[J].Educational Studies in Mathematics，1988，19（02）.

[4] 鄭毓信.數學哲學與數學教育哲學[M].南京：江蘇教育出版社，2007.

[5] Resnick L B.From Protoquantities to Operators：Building Mathematical Competence on a Foundation of Everyday Knowledge [M].Pennsylvania： Pittsburgh University， 1991.

[6] Strauss C.Reviewed Work（s）：Cognition in Practice：Mind， Mathematics and Culture in Everyday Life By Jean Lave [J]. Contemporary Sociology，1990，19（01）.

[7] Stavy R，Tirosh D.How students （mis-） understand science and mathematics： intuitive rules [M].NY：Teachers College Press，2000.

[8] 郜舒竹.“分公”的啟示——數學語言的一般意義與數學意義[J].人民教育，2009（21）.

[9] 邵光華，劉明海.數學語言及其教學研究[J].課程·教材·教法，2005（02）.

[10] 鄭毓信，肖紅.語言視角下的數學教學[J].課程·教材·教法，2009（09）.

[作者：俞蓉（1983-），女，江蘇鹽城人，首都師范大學初等教育學院在讀碩士研究生;劉效麗（1960-），女，北京朝陽人，首都師范大學初等教育學院副教授。]

【責任編輯? 白文軍】