邊界積分方程再認識及其軟件研發

張見明

序言：值杜慶華院士誕辰一百周年之際，感念與杜先生交往的點滴及杜先生對邊界元法研究的貢獻，對比有限差分法、有限元法和邊界元法各自適用問題的特點，呼吁學者們勇敢面對邊界元法及其自主CAD/CAE軟件研發勞動強度大、研究經費難的現狀，直面邊界元法被日漸邊緣化的困境，遇山鉆洞、遇塹搭橋，繼承和發揚杜先生開創的邊界元法，并以此紀念杜先生！

值此杜慶華院士誕辰一百周年之際，我的導師姚振漢教授建議我寫一篇紀念短文。盡管研究杜先生倡導的邊界元法已有二十多年，可是我與杜先生的接觸不多，所以就寫一寫我與邊界元法的淵源以及在邊界元研究中的體會，以此來紀念杜先生。

我與邊界元法的緣分可追溯到20世紀80年代末，那時我在西安交通大學本科學習。由于杜先生的倡導和支持，西安交通大學的許多老師在研究邊界元法，包括樓志文教授、樂美峰教授以及當時的系主任嵇醒教授等。當時，在本科課程里有邊界元法的簡介，所以我從本科起就知道了杜先生的名字，印象中杜先生是一位高山仰止的大人物。記得那時我就被邊界積分方程的優美所吸引，產生了幾點幼稚的想法，寫了一篇小短文，通過我的本科畢業設計指導老師李中華教授給樂美峰教授看，樂教授還以為是研究生寫的。由于種種原因，本科畢業后我沒有繼續讀研究生，而選擇去企業工作，這樣，我與邊界元法的緣分就中斷了。

到20世紀90年代末，我投身到姚振漢教授門下研究邊界元。親眼看到我仰慕的大學者時，杜先生已經八十多歲了。雖然有點老態龍鐘，但大學者的風范猶存。有一次，杜先生去上海交通大學訪問，姚老師指派我陪同，終于有機會與杜先生第一次親密接觸，發現杜先生是一位和藹可親的慈祥老人。后來，我去日本做博士后研究，杜先生為我寫了推薦信，還特意向我介紹了我在日本的合作者田中教授，提醒我在日本生活的注意事項。至今想來，仍心存感激。

在杜先生主導國內邊界元法研究的一二十年間，可以說是邊界元法研究最輝煌的時期，我卻錯過了。拉格朗日遺憾沒有生在牛頓的時代，而我生在正確的年代，卻錯過了極好的機緣。當十年后我返回高校學習、研究邊界元法時，邊界元法已經開始衰落了。由于姚老師的倡導，研究快速多極算法在國內曾掀起一陣熱潮。但是，整個大背景就要落幕，這一熱潮恐怕也只能算是最后的一點“余輝”罷。當我從日本回國專門從事邊界元軟件研發時，邊界元法更是日薄西山，基本上被邊緣化了——獲得研究經費愈加困難，文章不易發表。

我始終相信，邊界元法是一種科學的方法。有限元法是一種工程的方法，而科學的方法應該是工程問題的最終解決方案。工程方法容易實現、效率高，因為其計算模型對真實結構進行大量抽象簡化。但是，一旦對結構進行幾何和拓撲改變，網格自動劃分就變得極為困難。這就是幾十年來，盡管有實力雄厚的國際大公司的大量人力和財力投入，但CAE/CAD一體化研究至今沒有真正實現的原因。另外，有限元方程是原微分方程的一種近似（弱形式），有限元法得到的解不能滿足原微分方程。所以，其精度，特別是結構危險部位的應力精度，通常不能令人非常滿意。邊界積分方程可與原微分方程完全等價，而且對試函數的連續性要求比有限元法還要低。邊界積分方程的基本解其實就是物理定律在位勢理論中的表達式。工程師也許不欣賞基本解的奇異性，但奇異性是所有物理定律的共同特性，比如黑洞就是廣義相對論方程的一個奇異解。愛丁頓不相信黑洞存在，以致于錢德拉塞卡博士后出站時在英國找不到工作，然而30年后錢德拉塞卡獲得了諾貝爾獎。所以，正因為奇異基本解的存在，邊界元法才可以稱得上是科學的方法。

求解邊值問題有三大類數值方法：有限差分法、有限元法和邊界元法，三者進行對比見表1。

由上面的對比可以看到，邊界元法是一個近似“圓滿”的方法。然而，如此“優雅完美”的理論方法卻沒有產生一定規模的工程應用，迅速地面臨被邊緣化的尷尬境地。每當翻看杜先生編寫的《邊界積分方程方法——邊界元法》，我就想到前賢們做了那么多精深細致的工作，難道這些工作就要被淹沒、被淘汰、被遺忘？！每念及此，心沉鼻酸。“孤標傲世偕誰隱，一樣開花為底遲？”Heaviside曾說“Logic can be patient for it is eternal”。我相信，“邊界積分方程可以等待，因為它是科學的。”當今世界，技術雖然日新月異，但基礎理論幾乎不變。所以，基于科學方法開發的軟件，必定會經久不衰。

邊界積分方程理論（即高等數學里的第二格林公式）的提出，最早可追溯到19世紀，比有限元理論早100多年。邊界元法的研究幾乎與有限元法同時起步，兩者“并駕齊驅”。有限元軟件越做越大越強，而邊界元軟件在初期雖有幾款，但不久都日漸式微、曇花一現。個中原因，我試想有以下幾種：

（1）早期計算機硬件不夠發達，計算機資源十分有限，算法的效率和內存需求成為最突出的問題。

（2）邊界元法研究者沒有認識到邊界積分方程的本質優點，錯誤地以為其最大優點是降維（只劃分表面網格）。對于非均質非線性問題，花費大量精力用于避免體積分，甚至在避免奇異積分方面也浪費了不少精力。雖然這些研究得到了一些數學形式上漂亮的結果，但最終都是徒勞。

（3）邊界元法的軟件實現套用有限元法的網格，對結構的邊界變量描述不完備，也不能逾越有限元法在CAE/CAD一體化過程中面臨的鴻溝。

現今，邊界元軟件開發環境得到了極大改善。首先，計算機硬件已經發展到相當水平，足以適應基于不加簡化的原始科學算法進行一定規模的計算;其次，也特別重要的是，快速算法的出現將邊界元法的計算復雜度降低到線性或幾乎線性量級。在強調自動化、智能化的今天，針對有限元軟件在CAE/CAD一體化中難以克服的困難，利用邊界積分方程與生俱來的、與CAD完全無縫銜接的天然優勢，開發一套CAD與CAE完全融合的計算力學軟件，應該是振興邊界元法的一個重要契機。“蒼龍日暮還行雨，老樹春深更著花。”

十多年來，在“缺米愁柴”的境況中，我夜以繼日地工作，即使身體不好，也仍然不分節假日，只要有生存下去的條件，就潛心于程序研發中，心無旁騖。繞過九九八十一道彎，終于搭建成了一個完全融于CAD環境中的CAE分析軟件框架。該軟件框架全部用C++編寫，目前已有90個項目，近2 000個源文件，涉及4 714個類，共約80萬行代碼。在這個“舉世紛紛寶魚目，投人慎勿以明珠”的時代，僅憑一己之力，在短期內從最基礎的數據結構做起，開發一套與已經發展了幾十年的商業有限元軟件相抗衡的分析軟件，談何容易！其艱難心酸，有幾首歪詩為證：

十年辛苦不尋常，此身難逃名利坊。

不尋天路攀玉桂，單向荒蠻踏冰霜。

癡僧西天求圣法，頑猴東海乞寶藏。

今日握得金箍棒，莫復冷灶愁米糧。

心事總在程序中，奮不顧身十年同。

算法亦有蓬萊景，編程豈無鴉片功。

狷狂本是書生色，疏愚不合世流叢。

早知前路非坦蕩，九轉千回夢未空。

十年編程似遠征，風雨無阻費勞神。

難忍壓力幾度棄，已無退路續前程。

麓山腳下見孤影，湘江岸邊遺淚痕。

敝履柴車一瘦客，不是黃粱夢里人。

與現有的商業有限元軟件和邊界元軟件相比，我們研發的這個軟件框架是一個全新的計算力學軟件平臺。在研發過程中遇山鉆洞、遇塹搭橋，面對每一個難于越過的坎，沒有采用變通的辦法繞過去，而是進行硬生生的攻堅戰，將他們徹底征服。算法上盡量做到自然而科學，避免投機取巧和拼湊。新的主要算法有：

（1）邊界面法。將邊界積分方程和計算機圖形學結合起來，繼承邊界元法的所有優點，同時盡量避免結構的幾何簡化，直接在結構的三維實體模型上進行應力分析，是一種真正的等幾何分析方法。

（2）雙層插值法。將單元插值與無網格法相結合，統一連續和不連續單元，同時還盡量完備描述邊界積分方程的邊界變量。雙層插值法既可以插值非連續函數，也可以用不連續網格插值連續函數，使得變網格計算簡單易行，因而適用于非線性問題。利用簡單的二叉樹網格生成算法產生非連續網格，可實現任意復雜結構的全自動CAE分析，徹底將CAE從網格劃分的牢籠中解放出來。

（3）自適應快速多極算法和自適應幾何交叉近似算法。實現分級矩陣的所有代數運算及其Out Of Core算法（包括直接求逆和LU分解），使得邊界積分方程在大規模問題上的應用不再是難題。

（4）單元球面細分法。實現對任意基本解類型、任意單元形狀、任意源點位置的近奇異、奇異和超奇異積分的任意精度計算。

該軟件從原始CAD模型到CAE分析再到后處理全過程全自動，稱之為5aCAE（詳見http：//www.5aCAE.com）。用戶不需要懂得計算力學專門知識，不需要選擇單元類型，只需根據實際情況定義材料、載荷和邊界約束即可。施加約束和載荷也在CAD環境中完成，且均具體直觀地施加在幾何體上。

雖然，我以為邊界元法比有限元法更科學，但并不認為他可以取代有限元法，正像量子力學計算中從頭算法比密度泛函更科學但不能取代密度泛函、分子動力學不能取代連續介質力學一樣。不管是工程問題還是科學問題，在計算機資源條件允許的情況下，應優先選取更科學的算法。對于如機械這樣一類精細結構的應力分析，邊界面法可能是更好的選擇。

我以為，繼承和發揚杜先生開創的事業，是紀念先生最好的方式。下面用一首七律紀念杜先生，并以之結束本文：

仿真原本萬年計，廿載毋論百年功。

振臂一聲開新域，搖旗幾度聚舊朋。

多極運算遠近別，雙層插值斷連同。

先生有靈應喜甚，邊元振興紹宗風。