小“題”大做促思維

包鳳花

【摘 要】在日常教學中發現，平時數學教師對習題的使用比較單一，沒有充分挖掘習題潛在的數學價值，習題的內涵、功能、目標等方面存在問題。本文結合教學實踐，闡述了讓學生自主利用習題中的“母題”進行“一題多變”的路徑，從“變中有實，挖掘了習題內涵，豐富了課程資源”“變中有深，強化了習題功能，拓展了數學思維”“變中有化，厚實了習題目標，提升了數學素養”中用實、用深、用活“母題”，開發習題資源多樣化，催化學生真正學習的發生，提升學生的思維水平。

【關鍵詞】母題;資源多樣化;思維

一、數學“母題”資源開發的現狀

所謂“母題”，就是指能衍生出一系列新問題的初始問題原型。小學數學習題是“溝通知識與能力的橋梁”，課本中的練習題是開放、完整的數學課程資源中的有機組成部分。而習題中的“母題”集多種數學思想和方法于一身，是學生數學技能、方法的基點，是形成學生思維路徑的出發點，也是豐富數學課程資源的基點。然而，小學高段數學教師在教材習題資源的利用上存在以下現狀：

1.就題講題，弱化了習題的內涵，沒有課程資源的豐富性

2.就題做題，簡化了習題的功能，沒有形成數學思維的靈活性

3.就題論題，淡化了習題的目標，沒有為實現數學素養服務

二、數學“母題”資源多樣化的開發

如何指導學生，讓學生自主對“母題”進行變式拓展的學習呢？

1.“母題”資源多樣化開發的基本流程

首先是“母題”的確定，筆者所采用的“母題”均是教材中的習題。當然，選擇的母題要針對教學目標、考查的知識點以及學生的學習現狀，既要注意到對知識點的覆蓋面，又能通過練習讓學生掌握規律，發展并概括數學知識、數學思想方法，達到“以一當十”“多題歸一”的效果。

其次，“母題”資源多樣化開發的一個重要環節是學生自主變式，學生可從條件、問題、逆向、圖形等途徑進行變式，生成更有價值的新子題，在解答子題的過程中，經歷了知識的發生、發展、形成過程，使“母題”不斷深化，知一題而懂一類，觸類旁通，從而歸納出這一類習題的主要方法。

整個“母題”資源多樣化的開發當然離不開教師的悉心指導、精心引領。

2.“母題”資源多樣化開發的主要策略

“母題”就是所學知識重點的一個縮影，能遷移到其它知識點，以點帶面，從而帶動知識綜合運用的典型題和復合題，課本中的很多習題看似平常，提出的問題卻很有針對性，在教學中仔細分析會發現，有的習題具有十分豐富的內涵，蘊含著很多值得我們挖掘、探索的問題，能夠培養學生的思維品質與數學能力。教師可以在尊重教材的基礎上，對習題予以完善或加工，必要時還需進行適度補充，努力挖掘教材的內在價值，使習題“豐滿”起來，讓它更好地為教學服務，為學生的思維發展服務。

如：“北師大版“圓的面積”中“做一做”中的第一題就是一道非常適合變式的“母題”。

“圓形草坪的直徑是20m，每平方米草皮8元，鋪滿草皮需要多少錢？”

該題是在學生學過圓的周長，熟知半徑、直徑、周長之間關系的基礎上，學生積累了一定關于圓的知識，所以學生針對這道習題有題可變。

（1）條件變式

條件變式即在問題不變的情況下，改變習題中的條件，可從改變習題數據與把簡單條件變成較復雜的條件兩種方式入手。

比如：在做一做完成解析之后，筆者啟發學生從習題的條件入手變一變時，學生們躍躍欲試。

變式1：圓形草坪的半徑是20m，每平方米草皮8元，鋪滿草皮需要多少錢？

變式2：圓形草坪的周長是20m，每平方米草皮8元，鋪滿草皮需要多少錢？

教學中出現變式2時，一位思維較快的同學馬上提出：“若周長是20cm的話可以求出面積，但計算很麻煩。”此時，學生一下安靜了下來，沉浸在各自的思考中，不一會兒就有幾位學生不約而同地說道：“應該改成幾π的數就好算了！”變式2的學生馬上補充道：“最好是偶數π的數，這樣計算半徑變簡單了，面積也好算多了。”于是又出現了變式3：

變式3：圓形草坪的周長是188.4m，每平方米草皮8元，鋪滿草皮需要多少錢？

通過對已知條件的循環變式，大大激發了學生的興趣，提高了他們的求知欲望。這一組變式題目只是改變了習題中的幾個字而已，卻讓學生感慨：“這么小的變化便能使結果完全不同，太神奇了！看來，我今后要更加仔細讀清題目。不然太虧了！”有這樣的感悟，無疑來自于學生在習題變式中一環環的思考，特別是上述變式3對圓周長數據的更改，足以發現學生在經歷由“思→變→解→反思”的過程中，體現了思維的變通性和縝密性。

（2）問題變式

簡單來說就是保條件、改結果，可依如下：

①給出條件，讓學生根據條件自由提出不同的問題。

②改變原來的問題。

③一問改兩問或者連續兩問改一問。

當然，在《圓的面積》“母題”變式拓展時，主要是后兩種情況。例如：在條件變式之后，教師引導學生：“剛才同學們只改動了幾個字就變出了這么多道題，你還能通過哪里變一變呢？”這時，學生很自然就想到了將問題進行變式，于是有了下列變式題組：

變式4：圓形草坪的直徑是20m，沿草坪外加柵欄，需要多長的柵欄？

變式5：圓形草坪的直徑是20m，每平方米草皮8元，鋪滿草坪800元夠不夠？

變式6：圓形草坪的直徑是20m，每平方米草皮8元，鋪滿草坪需要多少錢？

變式7：圓形草坪的直徑是20m，每平方米草皮8元，草坪面積是多少？鋪滿草皮需要多少錢？

學生在對習題問題進行變式的過程中，更加清晰數量與數量之間、數量與問題之間的關系，通過對比發現，解決這組變題中的每道題都要先求出圓的面積，才能解決問題。特別是對比變式6與變式7時，只是添加了一個“”而已，但是，這樣的變式卻從圓到半圓，依然是圖形的變化，現實中也確實存在這樣的半圓草坪，學生是依據自己的生活體驗而變，與生活接軌，也對后續“扇形面積”的學習起到了鋪墊作用。

（3）逆向變式

所謂“逆向變式”即已知條件與問題的轉化，而形成有別于原本習題的變式題型。針對條件與問題的變式，我未做任何提示，學生緊接著提到：“問題與條件相互交換，也可以變出題目。”新的變式如下：

變式8：圓形草坪直徑20m，需花2512元才能把它鋪滿，那么每平方米草皮需要幾元？

變式9：圓形草坪需鋪滿每平方米8元的草皮，共2512元，那么草坪直徑是多少米？

這時，學生的變式勁頭十分高漲，一開始好像思路沒有打開，但在同學們條件變、問題變、條件和問題互相變的氛圍下，就連基礎較弱的學生也躍躍欲試，說道：“我會！我會！只要把求面積的方法倒回來就行了！”課堂氣氛格外活躍。

（4）圖形變式

教學中應該逐步讓學生從認識簡單圖形的形狀、大小和相互位置關系，階梯式地認識一些特殊圖形或組合圖形的特征，培養學生的空間觀念和圖形設計能力。學生通過之前的一系列變式后，已熟練掌握圓的面積及其基本知識，在此基礎上，應該引導學生拓展：“剛才我們研究的都是獨立的圓，你還能將圓與什么發生關系呢？”學生馬上與生活所見聯系起來，出現了如下變式題：

變式10：圓形草坪的直徑是20m，每平方米草皮8元，若在里面加個直徑為4m的噴水池，剩下草坪的面積為多少？

學生順理成章變出了教材中例2的組合圖形——圓內圓，教師隨著學生的變題，畫出題意，緊接著讓學生嘗試圓內圓求剩余面積的方法，這時達到了課堂的高潮，基礎弱的同學也喊出了只要“大圓面積—小圓面積=剩余面積”的一般方法，但程度好的學生還不滿足，一位同學振振有詞地說道：“我還有更簡便的算法，只要運用乘法分配率就行了！因為大圓面積等于102π，小圓面積等于62π，所以只要（102—62）×π就可以了。”

鈴聲雖響，但孩子們意猶未盡，課后就布置作業讓學生繼續變式，果不其然，孩子們又變出了諸多有關圓的圖形，為學習外方內圓、內圓外方、扇形及圓的組合圖形奠定了良好的基礎。

學生會進行圖形變式，說明已經真正把握了圖形的本質，將圓面積運用得翻轉靈活，不僅克服了學生認識圖形的局限性，而且知識前后也完美銜接，既鞏固了知識，又在階梯式的思維學習中拓展了知識，開發了智力。圖形變式真可謂妙趣橫生！

（5）巧妙整合

現行數學教材中的習題設置簡約，但簡約不等于簡單。如果我們緊緊圍繞教學目標，根據教學需要對教材中的習題進行巧妙整合，便能拓寬習題的廣度。

例如：二年級下冊第七單元教學“認識分”這一課，教材提供了4道練習：教材編排這組習題的意圖是讓學生通過練習鞏固對鐘面上時間的認讀寫。如果按教材中現有的習題組織學生練習，固然能鞏固認讀，但對學生數學思維層面的培養卻弱化了，學生解決問題的技能也存在缺陷。教學時，本人利用第2題的情境，對教材上的這組題目進行了重整。

教學中，可以通過一個情境將4道練習有效進行重組，擴大習題的功能，學生在做這一習題時目標明確、操作方便，可將基礎知識的落實與思維訓練有效結合起來，引導學生在獨立思考的基礎上，通過互動交流達成共識，而這種共識是學生通過自己的發現提煉出來的，更具生命活力。

三、數學“母題”資源多樣化的成效

“母題”變式，它讓學生自己通過變式適當拓深、演變，使其源于教材，又不拘泥于教材，能充分發揮習題價值、挖掘習題潛力，放大習題資源的學習功能，享受快樂，提升學生的數學素養。數學“母題”資源多樣化的成效主要有三點：1.變中有實，挖掘了習題內涵，豐富了課程資源;2.變中有深，強化了習題功能，拓展了數學思維;3.變中有化，厚實了習題目標，提升了數學素養。

總之，教材資源有限，但課程資源無限，我們應該做到“題”盡其用，少些題量，多些質量;少些說教，多些自主，使“母題”資源多樣化開發繼續前進在路上！

【參考文獻】

[1]韓玉和.“一題多變”教學，培養學生創新能力[J].數學學習與研究，2012（14）

[2]陳慶憲.小學數學練習課教學實踐和思考[J].小學教學研究，2013年11月

[3]楊豫輝.課程標準（2011年版）案例式解讀[M].教育科學出版社，2012年8月