例析導數中常見錯誤及應對策略

易文峰

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2019）22-0161-02

導數是高中數學新課程中新增加的重點內容之一，是以函數為載體考查函數的重要性質，特別是在求曲線的切線方程，探究函數的單調性與極、最值等問題方面能給解題帶來不少便捷。剛好這段時間我們在學習《導數及其應用》章節，在批改作業時發現諸多因理解不周而導致的錯誤。下面列舉出幾種常見的錯誤，通過分析致錯原因以及應對策略，希望能對同學們有所幫助。

1.對導數的定義理解不周致誤

例1、已知函數f（x）在點x0處的導數為m，則lim△x→0f（x0-△x）-f（x0）△x=.

錯解：m

錯因分析：對導數定義里“增量”理解不周導致，由“增量”含義可知：（x0-△x）-x0=-△x，

正解：因為lim△x→0f（x0-△x）-f（x0）△x=-lim-△x→0f（x0-△x）-f（x0）-△x = -m

應對策略：其實定義中的“增量”是一個整體思想，自變量的增量從函數值的 “增量”中△y=f（x0-3△x）-f（x0）可以知道為-3△x，

如：f′（x0）=lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x=lim-n△x→0f（x0-n△x）-f（x0）-n△x（其中n為常數）

練習：已知函數f（x）在點x0處的導數為m，

則 =lim△x→0f（x0+3△x）-f（x0-4△x）△x=.

2.對導數的幾何意義理解不周致誤

例2、已知曲線f（x）=2x2+3，求過點p（2，9）處的切線方程。

錯解：由導數的幾何意義可知切線的斜率k=f′（2）=8，所以切線方程為：y-9=8（x-2），化簡得切線方程為：8x-y-7=0

錯因分析：誤以為P點為切點，對導數幾何意義理解不周所致。對于這種題型首先要驗證已知點是否在曲線上，然后確定該點是否為切點？

正解：易知P點不在曲線上，設切點坐標為（x0，y0），由導數幾何意義知切線的斜率k=f′（x0）=4x0，故切線方程為：y-2x20-3=4x0（x-x0），因切線過點P（2，9），所以：9-2x20-3=4x0（2-x0），求得x0=3或x0=1，故過P點的切線方程是4x-y+1=0或12x-y-15=0.

應對策略：①先確定點的位置，并確定該點是否是切點？若是，則切線的斜率即為導函數在切點橫坐標處的導數值，反之先設切點坐標（x0，y0），② 求k=f′（x0），寫出切線方程：y-y0=f′（x0）（x-x0），再把已知點的坐標代入此方程求出x0的值，即可求出切線方程。

練習：求曲線y=x3-x+3過點（1，3）處的切線方程。

3.對復合函數概念理解不周致誤

例3、已知曲線f（x）=xe1-x在點（1，1）處的切線平行直線ax+y-1=0，則實數a的值為。

錯解：f′（x）=e1-x+xe1-x ， 由導數幾何意義知：切線斜率k=f′（1）=2，

故a=-2.

錯因分析：對復合函數概念理解不周，其中y=e1-x是復合函數，其導函數是 -e1-x.

正解：由f′（x）=e1-x-xe1-x，故k=f′（1）=0，所以a=0.

應對策略：當遇到復合函數y=f（g（x））求導時，可先將復合函數拆分成兩個基本函數y=f（u），u=g（x），則y′x=y′u·u′x，即可準確地求出復合函數的導函數。

練習：已知直線y=kx+b是曲線y=lnx+2和y=ln（x+1）的公切線，求實數b的值。

4.忽視函數定義域致誤

例4、求函數f（x）=lnx+x22的單調區間

錯解：f′（x）=1x+x=x2+1x，故f（x）的單增區間是（0，+∞），單減區間是（-∞，0）

錯因分析：忽視了函數的單調區間與其定義域之間的被包含與包含的關系，定義域是函數的存在域。求函數單調區間的步驟是：①求定義域，②求導數，并求解f′（x）≥0或f′（x）≤0的解集，同時驗證使f′（x）=0的x值是否是有限個，③找出解集與定義域的公共解集，寫成區間即為相應的單調區間。

正解：單調遞增區間為（0，+∞）。

應對策略：當遇到用導數求單調區間問題時，嚴格按照求函數單調區間的步驟，特別不能忘記定義域。

練習：函數f（x）=2xx+1的單調區間是（ ）

A.在R上是單調遞增

B.在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調遞增

C.在（-∞，-1）∪（-1，+∞，）上單調遞增

D.在R上單調遞減

5.對導數與單調性關系理解不周致誤

例5、已知函數f（x）=2-ax2在（0，+∞）內單調遞增，求實數a的取值范圍。

錯解：f′（x）=2ax3，且f′（x）=2ax3≥0在（0，+∞）內恒成立，所以2a≥0，即a≥0即為所求。

錯因分析：f′（x）>0或f′（x）<0是函數f（x）在相應區間上單調遞增或單調遞減的充分不必要條件；而f′（x）≥0或f′（x）≤0f（x）在相應區間上單調遞增或單調遞減，但必須滿足使得f′（x）=0的x值為有限個。若f′（x）=0恒成立，則函數f（x）為常函數，而常函數無單調性可言。

正解：由f′（x）=2ax3易知：當a=0時有f′（x）=0，但此時函數f（x）=2為常函數，故a>0即為所求。

應對策略：一般地，如果函數f（x）在區間[a，b]上單調遞增（遞減），則等價于不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在區間[a，b]上恒成立，然后可借助分離參數等多種方法求出參數的取值范圍。在利用這種方法求解時，還要注意，得到參數取值范圍后，要檢驗端點處的參數值能否使f′（x）恒等于0？若恒等于0，則應舍去這個端點值，若f′（x）不恒等于0，則其符合題意。

練習：1.已知函數f（x）=x3+ax2+3x-1（a>0），若函數f（x）在其定義域內為增函數，求實數a的取值范圍。

2.已知函數f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1沒有極值，則實數a的取值范圍（ ）

A.-36 D.a≤-3或a≥6

6.對導數與極、最值關系理解不周致誤

例6、已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，則f（2）=（ ）

A.11或18 B. 11 C. 18 D.17或18

錯解：f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（1）=0且f（1）=10，即2a+b+3=0且a2+a+b+1=0，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3，代入f（x）即可求得f（2）=11或18，故選A.

錯因分析：對于可導函數而言，導數為0的點不一定是極值點，但極值點的導數肯定為0.函數f（x）在x=x0處取到極值的充要條件是：①f′（x0）=0，②在x=x0左右倆側的導數值的符號相反。顯然錯解的原因只考慮了滿足條件①。

正解：明顯當a=-3，b=3時，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2，易知在x=1的左右導數都有f′（x）>0，即函數f（x）在R上是單調遞增的，因此f（x）在x=1處并不存在極值，故a=4，b=-11符合條件，故選C.

應對策略：f′（x0）=0是x0為極值點的必要不充分條件，對于給出函數極大（?。┲档臈l件，一定既要考慮f′（x0）=0，又要考慮檢驗是否符合左右導數符號異號的條件。

練習：求函數f（x）=x3-2x2+1在區間[-1，2]上的最大值與最小值。