課堂結構的變化是課堂教學改革的重要表征之一。合理的課堂結構有助于落實學生的主體地位,優化教學活動,有效達成教學目標。浙江省朱向陽名師工作室團隊近年來一直致力于小學數學“學情診斷”“變式教學”“課堂結構”等探索,通過“同課異構”“異課同構”等多形式的教學課例剖析問題,在教學現場提出解決方案,并在實踐中進行檢驗。
本期專欄選取了他們多元探索“小學數學課堂結構”的部分成果?!督鈽嫛そ嫛ぶ貥嫞汉侠斫M織課堂結構,有層次地推進教學》提出小學數學課堂結構多元優化的基本策略和解決路徑,并加以例證;《運用變式讓學生經歷知識生長過程》和《設計循序漸進的學習過程》則踐行了運用變式合理組織課堂結構,有層次地推進教學的實施策略。
【關鍵詞】課堂結構 解構 建構 重構 多元重組
我國的課堂教學結構大致經歷了“教師中心”“倡導自學”“教學協作”等階段,其發展變化是課堂教學改革的重要標準。不同的組織引導者、不同的學習者、不同的課程既存在共性的特征,也存在個性化的差異,持續開展課堂結構的探索和優化,以滿足個性化需求,實現有效且優質的教學,具有現實意義。
課堂結構的探索和優化經歷“解構——建構——重構”的過程(見圖1),先從三個序列“解構”課堂,再凝聚三類共性“建構”基本課堂結構,進而關注三方面個性“重構”課堂,有層次地推進教學。
一、解構:解析三個序列
將數學課堂的知識序列、認知序列、活動序列等進行模塊化的解析,通過精準化的解讀,從而對數學課堂結構有更精準、更深入的認識。
1.解析知識序列
數學知識的解析,既要分析知識發展的序列,解析教學內容的數學內涵本質,也要分析數學思維的序列,解析數學知識背后蘊藏的思想方法。
(1)手術式“點”的分解
從數學知識的內涵本質、知識構成、知識原型、能力要求等方面多角度精準解析知識序列,從而全面剖析學習內容,為教學活動找到“要塞”和“突破口”。
例如,北師大版四年級下冊“等量關系”一課,首先從知識的內涵本質解析,等量關系式是列方程的基礎,核心是方程思想;從知識構成解析,等量關系由數量、數量間的關系、等式等構成;從知識原型解析,等量關系可以從玩蹺蹺板、天平秤等簡單易懂的生活原型抽象出來;從能力要求解析,需具有用語言、圖形等表征能力以及不同表征之間的轉化能力;等等。由此,可確定教學的“要塞”是“什么是等量關系”和“如何找到并表示等量關系”;教學的突破口是用好天平等模型理解等量關系、“=”的意義,同時借助模型將等量關系的文字、圖式表征轉化為等量關系式。
(2)進程式“線”的鏈接
數學知識本身具有結構性和邏輯性,因而需要教師有整體視野,將相同或相關領域的內容作為一個整體來解析,以“直升機”視角俯視數學知識,看清楚知識所在的位置和層級,更好地把握數學知識的本質和知識發展的主線與核心。圖2是北師大版四年級下冊“認識方程”單元內容關聯對比分析。
從內容結構分析,右側是“字母與方程”內容的結構和邏輯,左側是“數與運算”內容的結構和邏輯,中間是事關兩者的關鍵和連接。從課時安排觀察,右側的①②③④是學習“字母與方程”的四個關鍵要點,左側的①②③④是學習“數與運算”的四個關鍵要點。
(3)區塊式“面”的聯通
教材在編寫時已經充分考慮學習內容的整體性和系統性,但是教材會因為分冊、分課時等因素讓學習內容的整體性割裂,需要教師“瞻前顧后”“左顧右盼”,將數學知識進行區塊式鏈接,讓學生體驗學習內容的結構性和整體性,助推學生自主建構知識結構,學生才能“左右逢源”、融會貫通。
例如,平面圖形面積計算內容序列,長方形、正方形的面積→平行四邊形的面積→三角形的面積→梯形的面積,編排上具有很強的邏輯性,教師“應注意突破這種由于教學先后順序所形成的邏輯線索的束縛,并從更為廣泛的視角解釋這些概念之間的內在聯系,從而真正建立起整體性的概念體系”?!懊妗钡慕馕?,可以從知識聯接、方法鏈接兩方面入手,知識聯接是從整體視角看知識的發生發展過程,并據此梳理知識點間的內在聯系和遞進序列;方法鏈接則以數學思想方法為線索,設計多元學習材料,在滲透思想方法的同時促進對學習材料知識本身的理解。
2.解析認知序列
數學的認知結構實質就是學生頭腦里的、經過學生主觀改造后的數學知識結構,是數學知識結構與學生心理結構相互作用的產物,已有的數學認知結構是學習新知識的基礎。美國認知心理學家奧蘇伯爾說:“每當我們致力于影響學生的認知結構,以便最大限度提高意義學習和保持時,我們就深入到了教育過程的核心?!?他認為,就一個具體的新學習對象而言,合理的認知結構具有可利用性、可辨別性和穩定性的特征。
小學生受限于知識水平和心理發展水平,其數學認知結構有以下四個特征:經驗性,依賴生活經驗學習數學知識,具有較強的直觀形象性;融合性,比較容易受外部世界的影響,知識往往和外部事物、事件融合在一起;成長性,容易受數學學習活動的影響,數學認知結構的自我改造能力由弱逐漸變強;順應性,更多的是依賴直觀的經驗,認知結構的結構化和數學化的過程尚未完成,需要不斷順應形成新的數學認知結構??赏ㄟ^改造和豐富經驗、恰當處理差異和融合,增強學習改造能力和順應性,梳理認知結構,提升學生的學習能力。
3.解析活動序列
可從學生活動、教師活動、教學素材有層次安排三個角度展開分析課堂活動的要素。
學生在課堂上的活動一般可歸結為:閱讀、思考、表達、應用、自我管理。活動的時間結構、所占比重、思維參與程度等有差異并影響學習效果。
教師在課堂上的活動一般可歸結為:表達(將學習內容轉化為問題、任務等)、閱讀(通過對話、表情、行為等讀懂學生想法)、調節(通過提問、追問等形式引導學生思考)、組織(通過評價、提醒等形式保證活動高效推進)。不同教師的課堂活動會受教師個人的經驗、數學知識結構、組織水平等影響呈現不同的比重結構、不同的活動進程節點,從而影響課堂活動的效果。
教學素材的有層次安排,可從橫向和縱向兩個方向思考,即顧泠沅教授在變式研究中提出的過程性和概念性。橫向看,可以安排多元的學習素材,支撐學生進行多元表征,對學習對象獲得多角度的理解??v向看,學習的素材可以從直觀、半直觀、半抽象、抽象有序安排,讓學生經歷學習對象數學化的全過程;還可以將較復雜的學習內容,分解、轉化成幾個有層次的問題,為學生學習的過程鋪設“階梯”,在舊知和新知之間搭建橋梁,使學生對學習對象的結構有一個清晰的認知,并幫助學生形成一個有層次策略的經驗系統。
二、建構:聚焦三類共性
課堂結構的外顯形式就是課堂活動環節的推進過程。在開展廣泛的“同課同構”“異課同構”等形式的課例實踐與研討基礎上,聚焦數學課堂的共性,建構典型課堂結構模型。
1.聚焦課堂活動進程的共性
例如,“兩位數減兩位數退位減法”和“平行四邊形面積”兩個不同領域課例的課堂活動進程的相同之處(見表1)。
解釋與應用 利用理解并掌握的方法解釋算理、進行計算并解決問題。 利用理解并掌握的方法解決平行四邊形面積問題。
兩節完全不同領域的課例,卻呈現出極為相似的課堂活動進程:喚醒原有認知結構——設置認知障礙——進行多元表征——選擇關鍵鋪墊——轉化與互譯——新認知結構的解釋與應用,均取得良好的教學效果。由于學生原認知結構與新認知結構之間存在一定的難點和障礙點,兩節課都選擇搭建了“腳手架”——表象操作,“兩位數減兩位數退位減法”的“計數器上的‘懸珠”和“平行四邊形面積”的“方格圖”和“極限推拉操作”,幫助學生順利跨越認知障礙,并通過多元表征之間的轉化與互譯加深知識理解,建立新的認知結構。
2.聚焦學習材料設計的共性
課堂教學活動進程是利用學習材料展開的。這里的學習材料即呈現給學生的學習載體,也包括教師設計的問題和學習任務。我們聚焦學習材料設計,尋找優秀課例的相似之處。
選擇①和②或①和③這兩條信息,比較這兩題有什么相同點?(其中一個量相同,直接通過比較,相減,把相同部分抵消,兩個未知量轉化成一個未知量。)
2. 第二組問題:兩個量都不同,但有著倍數關系。
如果選擇①和④,該怎么解決?通過轉化,把一個未知量變成相同,然后通過相減抵消,兩個未知量剩下一個未知量。
3. 第三組問題:兩個量都不同,且不存在倍數關系。
如果選擇①和⑤,該怎么求呢?
4. 這三個問題的解決有什么相同的地方?
(通過比較或轉化,使其中一個量相同,再相減抵消,將兩個未知量的問題變成為一個未知量的問題。) 1. 請你設計一道按比例分配的問題。
生1:淘氣和笑笑按7︰3分84個橘子,淘氣和笑笑各分到多少個橘子?
生2:淘氣和笑笑按7︰3分橘子,結果淘氣比笑笑多分到84個橘子,淘氣和笑笑各分到多少個橘子?
生3:淘氣和笑笑按7︰3分橘子,淘氣分到84個橘子,笑笑分到多少個橘子?
2. 還有其他問題嗎?
3. 獨立嘗試解答。
4. 這三個問題在解決過程中,有什么相同的地方?
(有一個共同的特征,都是先求出一份是多少,再求相應份數的量。)
可以發現,好的學習材料往往具有許多相似之處:一是挑戰性,可以促進學生主動思考和參與;二是開放性,學生可以進行“多元重組”,在變中體會不變的本質,從不同角度理解;三是引導性,學生思考的大方向由教師的問題引領,始終沿著教學主線方向行進,活動不會“南轅北轍”;四是層次性,整個課堂活動通過有層次的學習材料(問題)引導,層層遞進,有序推動。
3.聚焦認知結構形成的共性
學習活動的過程,實質是學生利用原認知結構,對新的學習內容進行同化或順應,認知加工,把原認知結構改造成新認知結構的過程。通過“兩位數減兩位數退位減法”和“平行四邊形面積”課例比對分析,我們可以看到學生認知結構形成和穩固的過程是相似的:對新學習內容進行多元表征——多元表征的轉化和互譯(需要關鍵鋪墊)——形成新認知結構(同化、順應)——解釋與應用(尋找意義、加深理解)。
基于更多課例的實踐與研討,我們構建了“變式教學理念融合雙編碼理論的典型課堂結構”模型(見圖3)。我們認為,有效的課堂教學活動是教師通過學習材料、活動組織等選擇和設計,引領學生從初始認識結構向目標認知結構進行的全過程。其間會經歷“將學習對象進行多元表征——多元表征間進行轉化和互譯(尋找意義,有層次推進學習)——經同化或順應形成新認知結構——應用新認知結構(應用鞏固、拓展提高)四大關鍵活動環節。
三、重構:關注三方面差異
針對不同內容、不同課型、不同學生、不同目標以及課堂特點,在“典型課堂結構”的基礎上,通過“同課異構”“異課異構”等形式的課例研討,對可控的課堂要素變量進行多元重組,完善課堂的個性化并進行優化。
1.基于學生認知結構差異的多元重組
楊騫認為,完整的認知結構應包括五方面的要素:認知形式、認知策略與方法、個體知識經驗及其結構、認知風格、元認知。同學段的不同學生,經歷過不同的知識建構過程,認知結構上有相似之處,也會存在極大的差異。例如,從關注不同認知結構要素的角度,進行“平行四邊形面積”的“同課異構”課例實踐研究。
設計1:關注認知風格,突出學習規律
學生在數學學習的歷程中,具有豐富的知識遷移經驗,遇到新問題會不自覺地進行遷移,其間會有正遷移和負遷移(把平行四邊形通過割補法轉化成長方形和通過推拉法轉化成長方形),教師可以抓住“從學習經驗出發,探索新知”的嘗試,認知學習規律,設計課堂教學活動。
(教師在練習上直接出示一個平行四邊形。)
師:先想一想,你準備怎么計算平行四邊形的面積?再量出需要的數據,列式計算出平行四邊形面積。
(學生獨立嘗試后板書。)
生1:鄰邊相乘,7×4=28(平方厘米)。
生2:底乘高,7×3=21(平方厘米)。
生3:用求周長方法,(7+4)×2=22(厘米)。
師:同一個圖形的面積,怎么可能有幾種不同的結果?怎樣算才是正確的呢?能看懂這些方法嗎?怎么想的?說一說。
生1:長方形的面積=長×寬,也就是兩條邊相乘,所以我認為平行四邊形的面積也應該這樣計算。
生2:我看過書,平行四邊形的面積應該是“底×高”。
生3:他們說的好像都有道理,看來用求周長的方法肯定是不對的。面積是算面的大小,周長是求線的長度。
師:那同一個平行四邊形不可能有“兩個面積”,究竟哪個是正確的呢?有什么辦法可以驗證?
生1:平行四邊形易變性,把它“推”一下,也可以變成長方形,平行四邊形面積可以用“底邊×鄰邊”計算。
生2:把右邊的“三角形”割下來,補到左邊,剛好是一個長方形,平行四邊形面積等于長方形面積。因為“長方形面積=長×寬”,所以“平行四邊形面積=底×高”。
生3:可以放到格子圖上數一數。
(經驗證,21個格子,與“底×高”的結果相同。)
師:兩種方法有什么共同的地方?
生:都先變成長方形。
師:那為什么“推拉”變成長方形面積會不同呢?
(演示推拉過程,引導學生觀察,學生很容易就發現,推拉之后面積變了。)
此教學課例的課堂活動進程大致可梳理為:學生類比遷移——解釋遷移過程——辨析不同方法(“推拉”和“割補)——改造認知結構。學習過程充分尊重了學生學習經驗和認知規律。
設計2:關注知識結構,突出概念本質
從知識結構、概念本質出發,深刻理解“是什么——算面積就是用面積單位去度量”,“怎么做”的問題自然而然就解決了。從概念本質中得出的方法具有本源性,更有生長力。
(1)利用方格圖“數”面積
方格圖(每格1平方厘米)上有3個圖形:不規則圖形和長方形、正方形。
①不規則圖形的面積是多少?(數面積單位的個數得到)。
②長方形和正方形的面積是多少?怎么會數得這么快?
——橫著數,一排有幾個,有幾排。
——豎著數,一列有幾個,有幾列。
——“一排有幾個×有幾排”就得到一共有幾個面積單位。
——長和寬對應的就是“一排幾個和有幾排”。(解釋長方形面積計算公式意義。)
(2)利用方格圖探究平行四邊形的面積
(方格圖上出示平行四邊形。)
①試著數出平行四邊形的面積。
②如何數得快?(每排左右割補轉化成長方形或沿高線一次割補拼成長方形。)
底和高對應的就是“一排幾個和有幾排”。(解釋平行四邊形計算公式意義。)
③舉例應用并驗證方法
④比較“長方形”和“平行四邊形”面積計算有什么相同和不同之處?
(3)解釋與應用(略)
此教學課例的課堂活動進程可梳理為:強化圖形面積的意義(圖形面積就是數出面積單位的個數)——探索平行四邊形面積(數出有幾個面積單位)——優化數的方法(割補轉化)——知識與方法結構化(比較長方形和平行四邊形面積計算方法)。
設計3:關注認知形式,突出思維特點
小學生的思維以具體形象思維為主,逐漸向抽象邏輯思維過渡。因此,小學生認識事物離不開具體表象支撐。有了具體表象的支撐,知識構建的過程會更順利,理解會更深刻。我們可以依據學生的思維特點,凸顯圖形轉化的具體表象,并讓學生充分理解,幫助學生順利掌握和理解平行四邊形面積計算
方法。
(1)動手操作,發現聯系
①回顧長方形知識(圖形特征、面積計算方法和意義)。
②剪拼活動:在長方形上剪一刀,拼成之前學過的圖形。
③對比聯系:新圖形和長方形有什么相同點和不同點。
形狀變了,面積不變——等積變形。
④聚焦平行四邊形和長方形。原來長方形的長和寬,在平行四邊形中對應的是什么?
(2)猜測驗證,探索方法
①猜測平行四邊形的面積計算方法?
你能來推測一下平行四邊形的面積該如何計算嗎?
②任意給一個平行四邊形,如何計算它的面積?
a.出示一個平行四邊形,能否用“底乘以高”來計算它的面積?
b.小組合作,說明理由(提供多種素材)。
c.集體反饋:
——沿著高剪開,將平行四邊形轉化成長方形(課件演示)
——還可以怎么剪?(滲透平行四邊形的面積等于底乘以和它對應的高。)
③小結:平行四邊形的面積=底×高 ? ? S=a×h。
此教學課例的課堂活動進程可梳理為:強化圖形表象(長方形和平行四邊形的轉化)——強表象刺激下猜測——多元方法驗證(割補轉化)——形成新認知結構。通過直觀的剪拼操作,強化長方形和平行四邊形雙向轉化體驗,建立清晰、深刻的具體表象,讓學生輕松跨越認知障礙。
設計4:關注認知策略,突出實驗驗證
猜想是人類進步和發展的助推器,而實驗是驗證猜想的最基本形式。實驗方法在小學數學學習中幾乎很少涉獵,讓學生完整經歷知識探索實驗的全過程,可以拓展學生的思維,培養嚴謹認真的科學態度。我們可以把課堂活動設計成知識探索的實驗過程。
(1)情境引入,提出猜想
①在一塊平行四邊形的展板上鋪一層綠色的卡紙,需要多少卡紙?(求平行四邊形展板的面積。)
②要求展板的面積,需要測量哪些數據?
③平行四邊形的面積可能和什么有關系?
猜測:底的長度、斜邊的長度、高的長度。
(2)實驗確定關鍵因素
①這三個因素和平行四邊形的面積都有關系嗎?如何確定?
②設計實驗
數學實驗模型:指定一個量變化,另外兩個量不變,看面積有沒有變化。如果有,那這個變化的量和面積就有關系;如果沒有,它們之間就沒關系。
③逐個條件實驗驗證
底變,斜邊和高不變(平行四邊形橫向拉伸),容易觀察發現面積變化。
高變,底邊和斜邊不變(推拉平行四邊形),容易觀察發現面積變化。
斜邊變,底和高不變,這種情況,不易直接觀察,需借助格子圖,發現面積不變。
確定:平行四邊形的面積與“底”和“高”有關。
此教學課例的課堂活動進程可梳理為:提出相關關鍵因素的猜想——確定實驗因素——驗證與面積計算相關的因素并建立方法模型——形成新認知結構。從實驗出發,讓學生經歷猜想、實驗設計、實驗觀察、發現并得出結論、結論應用的全過程。不但能讓學生學得深刻,培養嚴謹認真的態度,也為學生埋下科學研究的種子。
2.基于教學活動差異的多元重組
同一個學習內容,不同教師和學生進行教學活動的目標是一致的,但知識呈現的形式和序列卻是可以不同的。面向風格不同的教師和認知結構不同的學生,所產生的效果也是有差異的。我們以不同的知識呈現形式和序列為主題,進行“同課異構”課例實踐研究,對課堂結構進行多元重組。
以北師大版五年級下冊“確定位置”為例。
課例1:單線遞進
(1)根據提示找一找“獅虎山”在哪里
①獅虎山在東北方向,你知道它在哪兒嗎?(一塊區域)
②獅虎山在噴泉廣場的東北方向,你知道它在哪兒嗎?(不同的一塊區域)
③“以噴泉廣場為觀測點”這個條件有價值嗎?
(2)還需要什么信息才能確定“獅虎山”的位置
①加上“東偏北40度”,你知道“獅虎山”在哪兒嗎?(一條射線上)
②加上“距離噴泉廣場400米”,你知道“獅虎山”在哪兒了嗎?(一個點)
(3)討論“確定一個點的位置”需要哪些信息
我們確定獅虎山的位置,需要哪些條件?你覺得哪個條件最重要?
課例2:多線并進
(1)呈現每人得到的線索,誰最有可能最先找到寶箱?并說明理由
淘氣:寶箱在噴泉的東北方向。
笑笑:寶箱在噴泉的北偏東20°方向。
奇思:寶箱距離噴泉300米。
(2)哪兩個人合作會比較有利?請分析各種情況
(3)要準確描述一個點的位置,需要說清楚什么信息
課例3:倒推還原
(1)引入:臺風來了,它在哪兒
——你認為利用臺風預報中的哪些信息,能確定臺風中心的位置?
(2)試試:確定臺風中心位置
在空白的紙上標出臺風中心的位置,并分享交流。
(3)理理:展示確定位置的過程
①經驗分享:你是怎么畫出來的?每條信息在確定位置中的價值:“方向”(一條射線),“距離”(一個圓周),交叉點即臺風中心位置。
②總結方法:按怎樣的順序可以確定位置?
此教學課例,知識呈現的形式和序列完全不同,所呈現的課堂結構也各有差異:課例1中確定位置的要素是以單線遞進的形式呈現的,逐條解析,通過不斷添加條件使確定的范圍逐漸縮小到一個點,再明晰確定位置的要素有哪些;課例2中確定位置的要素是以多線并進的形式呈現的,通過比較解析每條信息確定的范圍,再以三種組合對比,二次分析要素組合確定的范圍,最后明晰確定位置的要素有哪些;課例3則以“倒序”形式呈現,先告知所有信息,嘗試找一找臺風中心的位置,再通過“理一理”找的方法,還原找的過程和每條要素的價值,明晰確定位置的要素。三個課例,目標一致,路徑不同,產生的效果也略有不同,教師應依據自身特點和學生認知水平做出合理的選擇與調整優化。
3.基于學習驅動差異的多元重組
具有良好學習驅動形式和材料的課堂教學活動對學生的學習效果起著至關重要的作用?;騿栴}導向任務驅動,或生活情境興趣驅動,不但能讓學生對學習產生濃厚的學習興趣,同時能利用學生學習的心智模式,促進學生主動建構,實現自主學習,提高學習效率,增強學習效果。教學可以不同的學習活動設計為線索,進行“同課異構”課例實踐研究,對課堂結構進行多元重組。
課堂教學是個動態的活動過程,其課堂結構表現出不斷變化的特征。課堂結構只有適應數學的邏輯結構、學生的認知結構、教學的活動結構,才是合理的。以“解構——建構——重構”的策略和路徑,多維解析、聚焦共性、關注差異,合理組織課堂結構,有層次地推進教學,能不斷優化教學活動,提高課堂教學效益。
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本文系浙江省教育科學規劃2019年立項課題(2019SC310)“變式理念下小學數學課堂結構多元重組的例證研究”階段性研究成果。
(作者系浙江省義烏市實驗小學教育集團黨委書記,浙江省特級教師,正高級教師)
責任編輯:肖佳曉
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