在“鏈”“錯”“比”的過程中積累數學基本活動經驗

丁鳳良

【關鍵詞】數學 基本活動經驗

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，義務教育數學課程的總目標之一是幫助學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”[1]。將“雙基”變成了“四基”，不僅關注數學基礎知識、基本技能，也要關注基本思想和基本活動經驗。

結合教學實踐和對文獻的分析，本研究認為“數學基本活動經驗”是小學生在參與數學基本活動中，經歷探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等過程，所獲得的由數學知識、技能、智慧、情感與觀念等組成的有機組合性經驗。其中，既包括認知的經驗，動作技能性經驗，也包括情感的經驗，意志、觀念等層面的經驗，并將這些經驗遷移運用到后續的數學學習中去。其核心是關于如何思考的經驗，其最終的目的在于幫助學生建立數學現實和數學學習的直覺，學會運用數學的思維方式進行思考。

本文將以“乘法還可以怎樣算”為例闡釋教師如何進行教學設計以幫助學生積累數學活動經驗。

一、經驗“鏈”中得，讓學生經歷由“淺顯”逐步走向“深入”

為了在教學中幫助學生積累數學基本活動經驗，教學活動的設計一定要有結構、有條理。“乘法還可以怎樣算”的教學過程主要包括四個鏈條。

鏈條一：獨立完成，暴露原有經驗。通過運用豎式計算23×13，激活學生原有借助豎式計算乘法的經驗。在此過程中，尤其強調學生要明確算法、數位以及每一數位上數字表示的含義。

鏈條二：合作探究，碰撞生成經驗。安排學生先依據要求用畫線的方法嘗試獨立計算，在此基礎上進行交流分享。這樣有助于學生個人原有的“以形表數”經驗的激活，進而通過交流分享激發學生生成“以形算數”的新經驗，以幫助學生深化對形與數關系的理解，還可以拓展學生的經驗，認識到乘法計算方法不僅局限于“豎式”一種。

鏈條三：引導提煉，提升再生經驗。教師通過引導、梳理和提煉，幫助學生將在原有經驗基礎上生成的新經驗“結構化”。具體到本環節來說，就是深化“以形表數”的經驗。首先幫助學生驗證借助畫線計算乘法的可行性，然后幫助學生建立借助豎式計算乘法的老經驗與借助畫線計算乘法的新經驗之間的聯系，接下來是深化學生對數位以及數字所代表含義的經驗。

鏈條四：解決問題，拓展新的經驗。介紹“格子乘法”（鋪地錦）的方法，拓展學生計算乘法的方法經驗：各種方法不同，但其方法的本質是相同的，簡單概括就是數位對齊，相同數位相加。

實現學生數學基本活動經驗積累，是一系列有內在聯系的數學活動累積的結果，前一次數學活動的過程和結果是后一次數學活動的基礎，后一次的數學活動經驗是前一次數學活動經驗的鞏固和發展，也是前一次數學活動經驗的演變和升華（見圖1）。我們應當注重讓學生親身經歷觀察、描述、操作、猜想、實驗、思考、推理、交流、應用的數學活動過程，在“經歷、內化、概括、遷移”的過程中喚醒、累積、反思、提升、運用并重新創造經驗，使學生不斷積累數學基本活動經驗，達成高層次的認知目標。

二、經驗“錯”中得，讓學生經歷由“錯誤”逐步走向“正確”

運用畫線的方法計算23×13既是本節課的重點，也是本節課的難點。值得關注的是，學生對于運用豎式計算乘法已經有了熟練而且根深蒂固的經驗，如何引導學生跳出原有經驗，換個思路來計算乘法是非常困難的。但讓學生主動挑戰自己、突破思維局限又是非常有價值的。為此，我在教學設計的時候，采用了提出活動建議并順著學生的思路逐漸生長的策略。

學生每四人形成一個小組進行合作研究，先獨立思考，再以小組為單位進行討論交流;用線表示數，借助線和線的交叉點表示兩個數相乘的結果，嘗試計算23×13;如果不能直接計算出23×13，可以從比較小的數開始嘗試。

在借助畫線方法來計算23×13的過程中，學生出現了如下幾種典型情況：

1.將乘號進一步放大，既有用線表示數，也有用線的交叉表示相乘（見圖2），但總體比較牽強。因此，也反映出學生沒有讀懂并理解活動建議。

2.23用23條橫線來表示，13用13條豎線來表示，它們的交叉點一共有299個，因此，23×13的結果就是299（見圖3）。完全符合用線表示數，用線與線的交點表示相乘的結果。此種方法反映出學生不僅讀懂并理解了活動建議，同時也反映出學生對于23×13這個算式的含義有著深刻的理解。我把它概括為直覺層面的敏感，我也為學生的建構和聯系能力驚嘆。當然，此種方法弊端也很明顯。如果數非常大的時候，就要畫很多線，這種方法就太麻煩了！

3.23不用23條線來表示，而是分開表示，一條線表示一個十，兩條線表示兩個十;一條線表示一個一，三條線表示個三一。用紅色表示23，用藍色表示13（見圖4、圖5）。

4.23不用23條線來表示，而是分開表示，一條線表示一個十，兩條線表示兩個十;一條線表示一個一，三條線表示三個一。而且，用紅色來表示十位，用藍色表示個位（見圖6）。

縱觀以上探究過程，如果從正確與否的角度來說，很顯然第三、第四種方法才是教師最期待的。但是，仔細分析不難發現，如果沒有第一和第二種方法的啟發和提示，學生很難立即想到后兩種方法。因此，也恰恰體現出前兩種方法的價值和意義。如果學生不經歷嘗試、錯誤、修正的過程，其經驗也不會穩固。正所謂經驗歷中生，經驗錯中得，無錯不經驗，化錯累經驗。這樣，課堂教學中的差錯就轉化為教學資源，再相機將其融入后續的教學過程中，就能將教學活動引向學生心靈深處，變“事故”為“故事”。

三、經驗“比”中得，讓學生經歷由“單一”逐步走向“多元”

在學生匯報的基礎上，教師幫助學生建立運用豎式計算乘法和借助畫線計算乘法之間的聯系（見圖7、圖8）。

數字3×數字3：左側豎式中，23的個位數字3與13的個位數字3相乘得出數字9;右側畫線方法中，表示23中個位數字3的三條線與表示13中個位數字3的三條線相交叉出現9個點;數字9和9個點均可以表示3個1和3個1相乘的結果是9個1，而且結果一致。

數字2×數字3：左側豎式中，23的十位數字2與13的個位數字3相乘得出數字6;右側畫線方法中，表示23中十位數字2的兩條線與表示13中個位數字3的三條線相交叉出現6個點;數字6和6個點均可以表示2個10與1個3相乘的結果是6個10，而且結果一致。

數字3×數字1：左側豎式中，23的個位數字3與13的十位數字1相乘得出數字3;右側畫線方法中，表示23中個位數字3的三條線與表示13中十位數字1的一條線相交叉出現3個點;數字3和3個點均可以表示3個1與1個10相乘的結果是3個10，而且結果一致。

數字2×數字1：左側豎式中，23的十位數字2與13的十位數字1相乘得出數字2;右側畫線方法中，表示23中十位數字2的兩條線與表示13中十位數字1的一條線相交叉出現2個點;數字2和2個點均可以表示2個10與1個10相乘的結果是2個100，而且結果一致。

在以上兩種方法對比的基礎上，教師進一步介紹我國古代“鋪地錦”的方法（見圖9），并對這三種方法進行對比，建立三種方法之間的聯系，最終明確三種方法只是形式不同，但計算的道理本質上是一致的。為了幫助學生更好理解，還可以旋轉“鋪地錦”（見圖10）。

在“比”的過程中，學生建立和打通了以上三種方法的聯系，深化了對于計算方法背后算理的理解，同時也深切感受到我國傳統的乘法計算方法的簡潔、精要。

就經歷的過程而言，教師基于學生的數學基本活動經驗引領學生經歷的“數學化”過程，也是學生數學基本活動經驗“生長”的過程，這個過程可以讓模糊的變得清晰起來，讓片面的變得完善起來，讓錯誤的變得正確起來，讓零散的變得結構化起來。就獲取經驗的過程來講，數學基本活動經驗的積累需要教師設計有助于學生嘗試體驗和發展思維的數學活動。在此基礎上，衡量一節課的教學設計是否有助于學生數學基本經驗的獲得，要看最終的教學效果是否有助于學生的思維發展。

綜上所述，學生的數學基本活動經驗是學生在數學學習過程中，原有知識、法則、聯系與新的基本概念、原理、方法等教學內容相互作用而產生和發展的。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：8.

本文系北京市教育科學“十三五”規劃2017年度一般課題“小學數學基本活動經驗積累與評價的案例研究”（CDDB17209）的成果。

（作者系北京市海淀區雙榆樹第一小學校長）

責任編輯：孫昕

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