三角函數給式求值問題解題研究

胡碩

[摘? ?要]三角函數在高中數學中有著不可或缺的地位，但三角函數公式之多、變換之多常常是困擾學生的難題.總結三角函數給式求值問題的解決思路，能幫助學生攻克三角函數的難關.

[關鍵詞]三角函數; 給式求值;轉化思想

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0026-02

解決三角函數問題的方法有很多，尤其是給式求值問題.但學生的解題效率不盡相同.本文通過幾道例題的解決方法說明轉化思想的重要性.應用轉化思想，可將復雜的給式求值問題轉化為熟悉的公式和方程組，使解題過程變得簡單，從而輕松求解.

一、真題實練

題設是結論的外露，結論是題設的歸宿.我們在解決任何數學問題時都不能忽略題設和結論之間的內在聯系，三角函數問題也是如此.甚至有些題目將條件等式適當地變換就可以得到答案.因此，在條件和結論之間建立“通道”是解決給式求值問題的一種行之有效的方法.

二、舉一反三

上述例題是將所求表達式轉化為條件中的公式的運算形式，然而還有另一類問題是直接或間接給出某一三角函數的值，求解復雜多樣的公式值.這類題往往條件看起來簡潔明了，但求解起來卻要焦頭爛額.從上面的方法我們自然而然會想到：能不能把復雜多樣的函數表達式轉化為同名函數來求解呢？事實告訴我們，這是行得通的.只要利用三角函數的性質經過適當的轉化，問題就會變成如我們想象的那么容易，而這種轉化的最終目標就是將表達式轉化為同名函數.

三、觸類旁通

既然轉化思想在給式求值問題中這么好用，那么我們可以將其轉化為熟悉的方程組或不等式問題.說到這兒，問題已經上升一個層面了，能做到這一步的學生對自己的要求絕不僅僅是“做出來”，而是如何“做得快”.對于基礎知識扎實的學生來說，在三角函數的問題中，熟記一些常用的不等式往往在解題過程中會收到意想不到的收獲，可以使解題變得既簡單又快速.

四、綜合應用

三角函數中“和積互化”是依賴“積化和差”與“和差化積”八個公式來實現的.近幾年來，無論是高考題還是各地的模擬題、競賽題，需要利用“和積互化”來解決的問題數不勝數，其中就有很多是給式求值類型的.下面，以一道給式求值問題為例分析一下“和積互化”的解題策略.

五、提煉升華

以上介紹了幾種三角函數給式求值問題的解題策略，都是從分析條件與結論的關系入手.但值得注意的是，這些解題思路同樣適用在三角函數的化簡、證明等問題中，學生可以借此進行推廣，舉一反三.實質上，不論哪一種方法，都是以已知、求證的式子中的角的關系作為切入點，分析它們之間的聯系，進行巧妙地轉化并運用恰當的數學方法求解.因此，好的解題方法絕不只有這三種，我們平時在解題過程中要多注意對思想方法的積累并對它進行靈活應用，這才是學好數學的關鍵所在.

（責任編輯? ?黃桂堅）