課堂對話情境下極限概念的研究

曹榮榮　袁璐　顧慶梅

摘 要 極限是微積分的重要概念，關于極限的大量研究都是學生學習困難研究。本研究是在“交流認知模型”理論框架下探討課堂情境下教師和學生關于極限概念的對話。結果表明參與者對話之間存在著不一致的現象，同時指出教師對話對提高課堂交流效果至關重要。

關鍵詞 極限 交流認知模型 教師對話 學生對話

中圖分類號：O211.4 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.06.023

Research on the Concept of Limit in Classroom Dialogue Context

CAO Rongrong， YUAN Lu， GU Qingmei

（School of Mathematics and Statistics， Wingdao University， Qingdao， Shandong 266071）

Abstract Limit is an important concept of calculus. A lot of research on limit is about students' learning difficulties. This study explores the dialogue between teachers and students on the concept of limit under the framework of "communicative cognitive model". The results show that there are inconsistencies between participants' dialogues， and it is also pointed out that teacher's dialogues are very important to improve the effectiveness of classroom communication.

Keywords limit； communication cognitive model； teacher dialogue； student dialogue

0 引言

作為微積分中最基本的概念之一，極限給學生學習和教師教學都帶來了巨大的挑戰。大量研究表明學生對極限概念的理解大都是基于動態的運動變化過程，這種認知在一定程度上妨礙了學生對極限概念的形式化理解。在Sfard的“認知主義模型”中，[1]她認為學習就是獲得，學習就是在思維表征形式下的信息存儲。她指出理解則是把新知識和舊知識相聯系，從而達到完善已有的思維表征模式。這個“認知主義模型”強調學習的個體化特性。而后來Sfard提出的“對話式模型”則指出學習是參與，把學習看作是在一個對話共同體中個體對話的改變。

1 理論框架

Sfard的“交流認知模型”強調認知和交流之間的密切關系。[2]她認為思維是交流的一種個體化形式，個體的認知過程和個體間的交流是同一現象的不同方面，這是兩個互補過程的結果。理論模型框架中的“對話”這一術語涉及到不同的類型，而這些類型則是按照對話主體、媒介種類、遵循的規則來進行分類的，它分成“語詞使用”、“可視化媒介”、“常規慣例”及“命題陳述”?！罢Z詞使用”是指參與者在對話過程中對語詞的使用；“可視媒介”是指所創造以及使用的所有可視對象；“常規慣例”則是指參與者在對話中反復使用的模式；而“命題陳述”則是描述對象和對象間關系的語言陳述。事實上，數學學科本身也可以看作一個具體的對話類型，它也是按照“語詞使用“、“可視媒介”、“常規慣例”、“命題陳述”來進行區分的。

2 研究過程及分析

研究數據主要是來自教師的課堂教學視頻、學生的問卷調查以及學生訪談。問卷調查[3]主要是了解學生在課堂結束后對極限知識的認知。而訪談部分則主要是進一步來研究學生關于極限的理解，每個學生的訪談時間大概是一個小時左右。

教師和學生的對話要從“語詞使用”、“可視媒介”、“慣例規則”以及“命題陳述”四個角度進行分析?！霸~語使用”會依據參與者的語言劃分為“口語化”、“運算化”和“對象化”三種表達方式；[4]“可視媒介”則包含書寫、圖形和符號表征；“慣例規則”則是教師習慣性的思維模式，比如擅長代數思維或喜歡作圖等等。而“命題陳述”涉及的則是關于極限概念的定義、定理以及相關事實，這里關注的陳述即極限是個過程還是個數。

2.1 教師關于極限的對話分析

教師用了八節課的時間來講解函數的極限與連續，在對視頻分析過程中發現：教師講解中一共有734句與極限有關的話，其中13句是口語化，129句是運算性的，592句是對象化的描述。因此，教師80%的話語是把極限看作數學對象即極限是一個數。

在講解極限的非形式化定義和計算極限時，教師則會在“運算化”和“對象化”之間進行轉換。比如，他說“當越來越趨近于零的時候，函數值是越來越逼近于1的”，教師一般會接著說“因此，極限等于1”。當涉及極限的形式化定義和利用定義證明極限時，他的“語詞使用”基本都是對象化的詞匯，只是使用了一些逼近思想的詞語，比如“只要任意的無限接近，函數值就可以任意逼近”。教師“語詞使用”表明，在非形式化定義和極限計算情境下，他使用兩種不同的“元規則”即連續運動觀念和離散對象觀念。而在形式定義和證明情境下，則他只使用離散對象觀念。

從教師的對話中，我們可以發現三種“可視媒介”即書寫、圖形和符號表征。他并沒有把口頭的運算性話語寫下來，而在黑板上書寫的則是對象化的詞匯。當教師計算函數極限或者解釋某個定義、定理時，他會考慮采用畫圖。

總之，教師關于極限的對話呈現兩種不同的觀點：“極限是一個數”和“極限是一個過程”。他所使用的對象化的詞語、在黑板上的板書以及運用的符號表征，這些都表明把極限看作數；而那些運算化的詞語以及計算極限時借助圖形卻表明他把極限看作是一個過程。

2.2 教師對話和學生對話的比較

2.2.1 學生問卷調查結果分析

學生問卷分析研究表明，學生把極限概念理解為一個過程而不是數。第一個問題包含關于極限和連續的六個命題，學生只需要回答正確與錯誤；第二個問題要求學生從給定的六個描述中選擇出一個最能描述極限概念的陳述。

從表1看，28位同學認為命題1是正確的，這反映出學生大都是基于動態的觀點來理解極限的，且有15位同學認為它是描述極限概念的最好陳述。關于極限的形式化觀點，32位同學中有22位認為命題3是正確的，但是卻僅僅有1位同學認為這是極限的最好描述。命題3和命題4的回答也充分表明大多學生認為極限是不可達到的或者是一種近似狀態，其主要原因在于學生所關注的是函數值“越來越接近”極限值，而不是這個過程的最終結果。研究結果表明，即便是在學完極限和連續內容后，大部分學生仍然認為“極限是一個過程”，并沒有把極限對象化一個具體的數。

2.2.2 學生訪談研究結果分析

根據問卷結果，訪談從中選擇了4位同學來進一步研究學生對極限概念的理解。

教師：你對極限是如何理解的？

學生甲：它是越來越接近于1。

學生乙：這其實就是趨于零時函數的極限，當時的值是1。

教師：那么，函數極限是什么？

學生乙：它趨近于1，或者說越來越接近于1。

教師：在這種情況下，極限是什么？

學生丙：是1，但是極限不僅僅是一個數。

教師：那是什么？

學生丙：極限描述的是一個過程，它描述的是變化到這個點的所有過程。

教師：那么你能說說函數極限是多少呢？

學生丙：它接近1。

教師：為什么？

學生?。簶O限從右邊是趨近于1，從左邊也是趨近于1，所以極限是1。

從訪談內容來看，學生并沒有認為函數值是逼近極限，而是認為極限趨近于一個數。他們所談論的極限是一個數，把它看作是運動的變量。教師盡管在“語詞使用”、“常規慣例”和“命題陳述”之間不斷進行轉化，并且教師也能將極限過程和極限值清楚地加以區分。但研究結果表明，學生并非如此，極限的對象化過程對學生來說是個巨大的挑戰。

（1）針對極限的嚴格形式化定義，教師的“語詞使用”全部是基于離散的對象化描述，而學生是基于運動變化的運算化描述。學生是把極限看作是任意接近一個數，而不是函數值任意接近于極限值。

（2）針對“可視媒介”，在整個階段的課堂講解過程中，教師采用的主要媒介是符號，而學生更多地使用了圖形。在極限計算時，教師會偶爾使用圖形，但還是偏向于代數方法。

（3）就“元規則”來說，教師一般會在黑板上板書對象化的概念，而關于極限的過程化的詞語則是在口頭交流時使用。但是學生卻把教師口頭性的描述的一些語詞作為極限的定義。

（4）學生的“命題陳述”一致地關注了極限是個過程，即便是在個別事例中談及到“極限是個數”，但是學生的話語還是基于動態觀念這樣一個元規則。

總之，學生學習極限的諸多問題困惑和教師在“語詞使用”、“可視媒介”、“慣例常規”以及“命題陳述”等四個方面的轉化是相一致的。但是，教師似乎并沒有意識到到這種轉化對課堂交流的有效性具有重要的意義。因此，教師清晰地轉化對提高課堂交流效果至關重要。

參考文獻

[1] Sfard，A.（2001）.There is more to discourse than meets the ears： Looking at thing as communicating to learn more about mathematical learning. Educational Studies in Mathematics， 46（1/3）：13-57.

[2] Sfard，A.（2008）.Thinking as communicating： Human development， the growth of discourses and mathematizing. New York： Cambridge University Press.

[3] Williams，S.R.（2001）. Predications of the limit concept： An application of repertory grids. Journal for Research in Mathematics Education，32（4）：342-367.

[4] Sfard， A.（1991）.On the dual nature of mathematics conceptions： Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics，22（1）：1-36.