帶有死區環節的電動舵機魯棒控制技術*

李宗星，張銳

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

電動舵機因其具有結構簡單、工藝性好、可靠性高、使用維護方便、成本低廉的特點，在導彈武器系統中應用逐漸增多。特別是近些年來，電動舵機的性能又有了很大的提高，所以受到了工程技術人員更加廣泛的關注。

死區特性是電動舵機中常見的一種非線性環節。通常，將系統當中輸入值無法進行響應的區域定義為死區[1-3]。電動舵機中死區的存在會影響舵機的響應特性和控制精度。在死區特性并不明顯或者死區范圍很小時，將死區環節近似處理成線性環節，在某些工程應用上是可行的[4-7]。但是，隨著導彈武器系統對于控制精度要求的逐漸提高，對電動舵機的響應特性和控制精度的要求也逐漸提高，這種近似處理的方法會縮小系統正常工作的范圍，并且使系統性能顯著下降，嚴重時甚至會造成系統的控制失敗[1]。

魯棒控制是在滑模控制方法的基礎上改進發展來的，它通過加大控制輸入，對系統中的擾動及不確定動態進行有效抑制，并且避免了滑模控制產生的抖振的不利影響[8-15]。近年來，在工程領域中，魯棒控制方法有著廣泛的應用，文獻[8]中提出了一種作用于機床的魯棒控制方法，對系統中的擾動及不確定動態有較好的抑制作用。本文中將電動舵機的死區環節處理為線性環節與擾動的結合，設計魯棒控制器，最后通過仿真與PD控制比較，驗證該控制方法的有效性。

1 系統模型及分析

1.1 電動舵機模型

將電動舵機的模型整理并適當簡化，簡化后的電動舵機系統示意圖如圖1所示，其為一個單輸入單輸出系統。

圖1中，y為舵面偏轉角，yd為輸入指令，u為PD控制器輸出，w(u)為死區環節輸出。圖中虛框部分為線性環節，包括：控制器輸出電流到電機控制電壓的轉換模塊、電機環節(輸入為電機控制電壓，輸出為電機旋轉角速度)、電機旋轉角速度與舵面偏轉角的轉換模塊。其中，Ua為控制器輸出電流到電機控制電壓的傳遞系數，Km為電樞電流到電機力矩的傳遞系數，Ke為電機旋轉角速度到電樞反電勢的傳遞系數，N為電機旋轉角速度(弧度制)到舵面偏轉角速度(角度制)的傳遞系數，La為電樞繞組的電感(H)，Ra為電樞繞組的電阻(Ω)，J為活動部分折算到舵面轉軸上的慣性矩(m4)。

死區模型如圖2所示。

其數學表達模型如下：

(1)

圖1中虛框所示線性部分可進一步整理成式(2)中傳遞函數，其中各符號參數取值如表1所示。

(2)

1.2 電動舵機PD控制器分析

當死區區間為[0,0]時，即無死區時，對圖1所示的電動舵機性能進行分析。此時，系統的奈奎斯特曲線和階躍響應曲線分別如圖3，4所示。

由圖3可知，奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)，且開環傳遞函數的正實部極點個數為0。由奈式穩定判據可知，閉環系統穩定。由圖4可知，系統超調量σ%=5%，調節時間ts=0.039 2 s，上升時間tr=0.007 2 s。可見當不考慮死區特性時，在當前控制參數下電動舵機系統工作性能良好。

下面分析不同死區特性對該電動舵機跟蹤指令的影響。由于仿真結果不僅與死區特性本身有關，也受輸入指令的影響，所以為便于分析，本文僅比較輸入指令為階躍指令和幅值為1頻率為10 Hz的正弦指令時的結果。

令系統初始狀態均為0。輸入指令為yd=sin(20πt)。死區分別取為[0,0]，[-0.05,0.05]，[-0.5,0.5]時，仿真結果如圖5～7所示。

圖1 電動舵機模型Fig.1 Electromechanical actuator model

圖2 死區模型Fig.2 Dead zone model

表1 系統參數Table 1 System parameters

圖3 奈奎斯特圖Fig.3 Nyquist diagram

顯然，死區環節的存在會對PD控制器的控制效果產生影響。在圖5中，無死區時，最大跟蹤誤差為0.081 6°，系統輸出可以有效跟蹤輸入指令。在圖6中，死區區間為[-0.05,0.05]時，最大跟蹤誤差為0.115 4°，系統輸出與輸入指令之間也是基本重合。在圖7中，死區區間為[-0.5,0.5]時，系統輸出與輸入指令之間出現較大偏差，最大跟蹤誤差達到0.431 2°，峰值處時間延遲為0.012 9 s，此時認為在給定正弦指令yd=sin(20πt)下系統輸出不能有效跟蹤輸入指令。

圖4 階躍響應曲線Fig.4 Step response

圖5 PD控制結果(無死區時)Fig.5 Result of PD controller (without dead zone)

圖6 PD控制結果(死區為[-0.05,0.05])Fig.6 Result of PD controller (with dead zone[-0.05,0.05])

圖7 PD控制結果(死區為[-0.5,0.5])Fig.7 Result of PD controller (with dead zone [-0.5,0.5])

進一步量化比較不同死區特性對系統的影響，結果見表2。

由表2可見，死區特性對超調量和跟蹤誤差有較大影響。死區范圍較小時，系統超調量呈增大趨勢(由無死區時的5.01%增大到死區為[-0.05,0.05]時的9.94%)。當死區范圍增大到一定程度時，系統超調量會減小，并逐漸接近于0(死區為[-0.5,0.5]時，超調量已下降到0.67%)。可以將死區環節理解成一種特殊的變增益環節，死區區間越大，增益越小。再將系統近似簡化為二階系統分析(下文設計魯棒控制器時會詳細介紹)，計算其阻尼比，可得變化趨勢為先減后增，則超調量為先增后減。隨著死區范圍的增大，跟蹤誤差也會不斷增大(階躍響應穩態誤差絕對值由無死區時的0增大到死區為[-0.5,0.5]時的0.328 6°，正弦指令下跟蹤誤差上限由無死區時的0.081 6°增大到死區為[-0.5,0.5]時的0.431 2°)。

因此，在死區范圍較小時，可以將其近似處理為線性環節，并進行控制器的設計。此時，系統跟蹤誤差較小，可忽略死區帶來的影響。但是，當死區范圍較大時，采用近似方法處理的結果會使閉環系統的輸出與輸入指令之間產生較大的偏差，嚴重影響了控制效果。本文中認為在階躍指令和正弦指令yd=sin(20πt)下，死區區間超過[-0.2,0.2]時不能近似處理，此時階躍響應穩態誤差0.097 1°，正弦指令跟蹤誤差絕對值范圍為[0,0.223 8]。針對這種情況，在對電動舵機進行設計時需要考慮死區環節的作用。

2 電動舵機魯棒控制器設計

以上的仿真分析表明，當存在死區時，為確保電動舵機的控制精度和響應特性，在設計電動舵機時需要將死區特性的影響考慮進來。下面介紹的一種魯棒控制方法中，將死區的作用分解為了線性增益與擾動的合成，再設計控制器對擾動進行抑制。本文將這種方法引入到電動舵機控制系統設計中。

2.1 滑動變換及其性質

考慮如下n階系統：

(3)

在狀態空間中定義如下變換：

(4)

定義滑動平面如下：

Q={p|p=0 }.

表2 PD控制結果Table 2 Result of PD controller

定理1對于式(4)所定義的滑動變換，信號p(t)與e(t)之間具有以下性質[1]：

2.2 模型簡化處理

考慮到圖1所示電動舵機系統中La，J均為小量，故可先將三階傳遞函數簡化為二階傳遞函數，再設計電動舵機控制器(仿真驗證時仍基于三階模型進行)。簡化后線性部分傳遞函數如下：

(5)

死區環節可處理為線性環節與擾動的合成，處理后死區環節模型為

w(u)=u+σ,

(6)

注意該擾動上下界為已知，即|σ|≤Δ。

2.3 魯棒控制器設計

將圖1所示電動舵機系統模型寫成如下形式：

(7)

設計魯棒控制器如下：

(8)

式中：k為正常數；kr(p)為p的函數。

將式(8)代入(7)得

-kp-kr(p)p-σ.

(9)

定理2當魯棒控制項u2的第2項滿足如下條件時，系統能夠在有限時間內達到邊界層。

(10)

式中:ε為正的設計參數。

證定義李雅普諾夫函數如下

(11)

對式(11)求導，并將式(9)和式(10)代入得

(12)

求解式(12)得

(13)

將式(11)代入式(13)得

(14)

顯然，系統能夠在有限時間內達到邊界層。

定理3下面給出一種滿足式(10)的kr(p)的取值

(15)

(16)

(17)

即p{-kr(p)p-σ}≤0<ε成立。

2.4 仿真結果及分析

魯棒控制器參數設計為a1=100，k=0.02，ε=0.05。系統初始狀態均為0。死區范圍為[-0.5,0.5]。輸入指令為yd=sin(20πt)。注意仿真時使用模型為未簡化模型，即線性環節傳遞函數為式(2)。仿真結果如圖8,9所示。

進一步量化比較魯棒控制結果與PD控制結果見表3。

圖8 魯棒控制結果Fig.8 Result of robust controller

圖9 魯棒控制跟蹤誤差Fig.9 Tracking error of robust controller

由表3可見，死區區間為[-0.5,0.5]時，魯棒控制器超調量為0，階躍指令下穩態誤差僅為PD控制器的4.4%，正弦指令下跟蹤誤差絕對值上限減小至PD控制器的3.8%，峰值處時間延遲減小至PD控制器的1.55%。顯然，魯棒控制器優勢明顯。

通過本文的研究可以得出以下幾點結論：

(1) 在存在較大范圍死區時(死區區間超過[-0.2,0.2])，本文將死區環節分解為線性環節和擾動，并設計由式(8)和式(15)構成的魯棒控制器。該控制方法與PD控制方法相比，控制效果有明顯提高(超調量為0，跟蹤誤差明顯減小)，能夠實現對輸入指令的有效跟蹤。

(2) 在進行控制器的設計時，電動舵機模型的簡化處理是可行的。考慮工程實際中，電動舵機的工作頻率范圍可以解釋簡化處理可行的原因。

表3 PD控制結果與魯棒控制結果Table 3 Results of PD controller and robust controller

3 結束語

本文針對死區特性造成的系統輸出偏離輸入指令的問題，采用將死區環節分解并設計魯棒控制器的方法，提高了系統的控制精度，實現了對輸入指令的有效跟蹤。但是，通過前面的數據對比，也發現了魯棒控制方法對于系統的改善主要在于跟蹤誤差的減小，而如何提高響應的快速性還需要進一步分析研究。

魯棒控制方法的應用不僅僅限于對死區環節的處理，同樣可以擴展到摩擦、齒隙等非線性環節的處理上。在本文中對死區環節的處理是將其分解為線性環節與擾動的結合，這種思路對摩擦、齒隙等非線性環節的處理同樣可行。

在實際工程應用中，舵機系統也存在外界擾動和參數攝動。在對外界擾動和參數攝動的模型具有一定了解的前提下，也可將其與系統中非線性環節處理得到的擾動部分一起處理，并用魯棒控制方法進行抑制。