一類非線性多智能體系統指定性能容錯控制

王東陽,李永明

(遼寧工業大學 理學院， 遼寧 錦州 121001)

近幾十年來，多智能系統的協同控制由于其在科學和工程領域的廣泛應用而受到越來越多的關注，已成為一個十分重要的研究方向。與傳統的單一非線性系統相比，多智能系統由于其在有向拓撲下的多個智能體之間可以通過互相協調合作來共同完成指定的控制目標，使得多智能系統具有更強的魯棒性和更好的可調控性，并被應用在例如航天器的編隊飛行，移動機器人的協調控制以及船舶的編隊控制等領域。協同控制是多智能系統協調控制的基礎問題，目前已有很多研究成果。文獻[1-3]基于圖論和矩陣理論，研究了線性系統的協同控制問題；文獻[4-6]中提出的協同控制算法要求系統的非線性函數滿足Lipschtiz條件。但在實際控制系統中，傳感器的精度和外部條件的變化都會導致系統存在不確定性。文獻[7-10]提出了基于模糊邏輯系統或神經網絡的自適應協同控制算法；文獻[9]針對帶有不確定擾動的非線性多智能體系統，提出了基于神經網絡自適應協同控制算法；文獻[10]針對帶有輸入飽和的非線性多智能體系統，提出了基于模糊邏輯系統的自適應協同控制方案。

隨著科學技術的不斷發展，為了滿足人們日益增長的研究需要以及現代化生產，控制系統變得日漸大型化、復雜化，系統中的傳感器、執行器等部件的數量和復雜性也日益增加。那么，整個系統運行的穩定性和完整性變得更加重要，且更有難度，一旦系統內的元部件哪怕出現一個小的故障，系統運轉的安全性就可能得不到保證。因此，容錯控制得到了廣泛的重視，與傳統的單一非線性故障系統不同的是，多智能系統的故障可以分為兩類：一類是智能體之間通信網絡的故障，另一類是自身的故障。目前，關于多故障系統協同控制問題的文獻研究很多[11-15]，文獻[13]研究了在嚴格反饋條件下的非線性多智能系統的自適應模糊容錯控制。在文獻[14]中，研究了具有時變執行器故障的多智能系統的協同自適應模糊跟蹤控制。

本文針對滿足指定性能的帶有執行器故障以及控制方向未知的非線性多智能體系統，研究其容錯協同控制問題。通過使用模糊邏輯系統逼近系統內的未知非線性函數，引入特定的Nussbaum增益函數解決未知控制方向的問題。提出容錯協同控制器的設計方案，用以保證所有“跟隨者”的輸出與“領導者”的輸出同步?；诶钛牌罩Z夫穩定性理論，證明了當系統發生故障時，本文所設計的控制器可保證系統仍能保持穩定，而且跟蹤誤差一致最終有界。

本文共分為4部分：第1部分主要介紹預備知識，并對所研究的多智能系統控制問題進行描述；第2部分給出容錯控制器的設計方案，并進行穩定性分析；第3部分給出仿真結果，從而進一步證明所提出的控制方案的有效性；第4部分給出本文結論。

1 預備知識和問題描述

1.1 圖論

通常用有向圖描述多智能系統的信息通信?？紤]由N個“跟隨者”和1個“領導者”組成的多智能體系統，“跟隨者”之間的信息通信可以由有向圖ζ=(ν,μ,Λ)表示。其中ν={n1,…,ni}是節點集合，ni表示“跟隨者”i;μ={ni×nj∈ν×ν}是邊集合，Λ=[aij]∈RN×N是鄰接矩陣；(ni,nj)∈μ表示“跟隨者”j能夠直接獲得“跟隨者”i的信息；aij定義如下：

節點i的鄰接集合定義為Ni={j|(ni,nj)∈μ}。

有向圖ζ的拉普拉斯矩陣L=[Lij]∈RN×N定義如下：

拉普拉斯矩陣L=D-Λ，其中D=diag{d1,…,dN}。

如果有向圖ζ的每一個節點到其他任意節點都存在有向路徑，則稱圖ζ是強連通的。如果有向圖ζ至少存在一個根節點(根節點到其他任意節點都存在有向路徑)，則稱圖ζ包含有向生成樹。如果任意的(ni,nj)∈μ且(nj,ni)∈μ，則稱有向圖ζ是雙向圖或無向圖。顯然，無向圖是一類特殊的有向圖，無向圖中強連通和包含有向生成樹是等價的，此時無向圖是連通的。

定義“領導者”鄰接矩陣Λ0=diag(a10,…,aN0)，其中ai0=1當且僅當“跟隨者”i能夠獲得“領導者”的信息；否則ai0=0，通常為了分析方便，定義H=L+Λ0。

假設1[7]：有向圖ζ中包含有向生成樹，并且根節點能夠獲得“領導者”的信息。

引理1[7]：若有向圖ζ中包含有向生成樹，并且根節點能夠獲得“領導者”的信息，則矩陣H的所有特征值具有正實部。

1.2 指定性能

通過確保每個誤差面si,1(i=1,…,N)嚴格地在規定區間內來保證其有指定的性能：

-κ1iηi(t)

(1)

ηi(t)=(ηi0(t)-ηi∞(t))e-qit+ηi∞(t), ?t≥0

其中qi>0，ηi0(t)>0，ηi∞(t)>0是常數，ηi0(t)>ηi(t)，q∞·ηi0被選擇為-κ1iηi(0)

引理2[12]：ηi∞(t)表示si,1在區間內所規定的最大值。qi表示si,1的收斂速度。si,1的最大變化區間小于[-κ1iηi(0),κ2iηi(0)]。因此，選擇適當的性能函數ηi(t)以及常數κ1i，κ2i，當初始條件滿足規定的性能邊界時，誤差變換函數的表達式為：

(2)

1.3 問題描述

考慮由N個“跟隨者”和1個“領導者”組成的不確定非線性多智能體系統。第i個“跟隨者”的動態模型如下：

(3)

本文所考慮的執行器故障為增益和偏差故障，分別定義故障模型如下：

偏差故障模型：

(4)

其中ωi(t)是有界信號(有界函數)。

增益故障模型：

(5)

其中hi是未知的失效率并且0≤hi≤1。

將式(4)(5)聯立，系統的輸入向量可表示為：

(6)

控制目標：對于帶有執行器故障和未知控制方向的非線性多智能系統，設計一個自適應模糊容錯控制方案，保證“跟隨者”的輸出最終能夠跟蹤“領導者”的輸出，且同步誤差始終在指定界內。

為了設計出所需的模糊控制方案，需要以下的引理和假設。

通過使用萬能逼近定理，未知非線性函數fi,k(·)(k=2,…,ni)可以通過FLS近似為：

(7)

(8)

為了解決控制方向未知的問題，引入了Nussbaum增益技術。定義Nussbaum函數N(?)具有以下屬性：

常用的Nussbaum增益函數包括：

?2cos(?),?2sin(?)和exp(?)2cos(?)2

在本文中，選取exp(?)2cos(?)2。

引理3[15]：對于非線性多智能體系統(1)，定義N(?)=exp(?)2cos(?)2以及在 [0,tf)上是平滑函數的?i(t)。如果存在正定徑向無界函數v(t,x)以及正常數C和D，則滿足以下不等式：

(9)

令

χi=xi/βi=[xi,1/βi,xi,2/βi,…,xi,ni/βi]T=

[χi,1,…,χi,ni]

這樣改寫為與原系統相等的如下系統：

(10)

2 容錯控制器設計和穩定性分析

2.1 容錯控制器的設計

在本節中，通過將返步遞推方法和動態面技術結合，設計出所需的容錯控制器。

控制器的設計過程共有ni步，并且每一步的設計都基于誤差面，從第1步到第ni-1步，設計虛擬控制器αi,k+1(k=1,…,ni-1)保證系統每一步的穩定性，并且在最后一步中設計所需的實際控制器ui。定義誤差面si,k和濾波誤差zi,k如下：

(11)

第1步： 根據式(11)可將誤差面改寫如下：

(12)

根據式(12)和χi,k=si,k+zi,k+αi,k，同步誤差i,1對時間的導數如下：

(13)

其中fi,k(·),k=(1,…,ni)是一個未知函數。

通過使用模糊邏輯系統對未知函數逼近可得：

(14)

將式(14)代入式(13)得到：

(15)

考慮李雅普諾夫函數如下：

(16)

其中：γ1i,1>0；γ2i,1>0是設計參數。

結合式(15)和(16)，對v1求導，得到：

(17)

定義：

利用Young不等式，可得：

(18)

將式(18)代入式(17)，得到：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中ci,1>0；σi,1>0；δj,1>0是設計參數。

將式(20)～(23)代入式(19)得到：

(di+ai0)ρiβii,1(si,2+zi,2)}+

(24)

(25)

第1個虛擬控制器(20)包含了與他相鄰的智能體的狀態信息模糊邏輯系統的信息。如果使用返步遞推設計方法，隨著系統階數和多智能體個數的增加，“復雜性爆炸”這一問題將變得更加嚴重。因此，采用動態面的設計方法，讓虛擬控制函數(20)通過一階濾波器(25)，避免對其求導，簡化設計方案。

第k步(2≤k≤ni-1)：根據式(10)得到：

(26)

將式(26)代入si,k的導數，并且聯立χi,k+1=si,k+1+zi,k+1+αi,k+1，得到：

(27)

考慮李雅普諾夫函數如下：

(28)

對式(28)求時間導數并聯立式(25)和(27)，可得：

si,k[βi(si,k+1+zi,k+1+αi,k+1)+

(29)

(30)

(31)

(32)

第ni步：由式(10)可得：

(33)

考慮李雅普諾夫函數如下：

(34)

對式(34)求時間導數并聯立式(32)和(33)，可得：

(35)

(36)

(37)

其中γ1i,ni，σi,ni是設計參數。

標注1值得注意的是：上述設計參數只是保證控制系統穩定性的充分條件，通過增大設計參數γ1i,ni和ci,ni，或者減小設計參數σi,ni，可以使跟蹤誤差盡可能小。

將式(36)(37)代入式(35)，可得：

(38)

2.2 容錯控制器的穩定性分析

主要結果由以下定理說明：

定理1：對于多智能體系統(3)在考慮其存在執行器故障，控制方向未知等問題的情況下，設計虛擬控制函數(20)(30)，參數自適應律(22)(23)(31)(37)，一階濾波器(25)(32)。在滿足假設1和引理3的條件下，所有“跟隨者”的輸出能夠跟蹤“領導者”的輸出，且同步誤差始終在指定界內。

證明：為了對多智能體系統(3)進行穩定性分析，選取李雅普諾夫函數如下：

(39)

其中zi,k+1的導數可以表示為：

(40)

其中：

(41)

Bi,k+1(·)=Bi,k+1(si,1,…,si,k+1,zi,2,…,zi,k+1,

(42)

將式(41)和式(42)代入Vk的時間導數，利用Young不等式：

可得：

(43)

定義：

其中：B0>0；P>0；∏和∏i,k是在R3和Rdim∏i,k上的緊集，dim(∏i,k)是∏i,k的維數且∏×∏i,k也是緊集。這樣可以得到|Bi,k+1|在∏×∏i,k上有一個最大值Bi,k+1M。

選擇設計參數如下：

定義

(44)

(45)

其中，i=1,…,N,k=1,…,ni,h=2,…,ni,j∈Ni。則由式(40)得到：

(46)

因此，可將上式改寫為：

(47)

3 仿真結果

在此部分，給出數值仿真算例驗證所提方法的有效性。

考慮下面的二階非線性多智能體系統：

(48)

ηi(t)=2.75exp(-0.5t)+0.05。

選擇模糊隸屬函數為：

智能體之間的通信由圖1描述：

圖1 通信網絡圖

仿真如圖2～5所示。其中，圖 2表示“跟隨者”的輸出yi和“領導者”的輸出yr(i=1,2,3)的軌跡；圖 3表示控制輸入ui(i=1,2,3)的軌跡；圖 4表示同步誤差i,1(i=1,2,3)在指定性能下的軌跡；圖5表示誤差面si,2(i=1,2,3)的軌跡。由仿真結果可以看出，在系統存在未知控制方向且執行器發生故障的情況下，文中提出的控制算法仍能實現系統的一致性控制。

圖2 “跟隨者”的輸出yi和“領導者”的輸出yr的軌跡

圖3 控制輸入ui的軌跡

圖4 同步誤差i,1的軌跡

圖5 誤差si,2的軌跡

4 結束語

本文針對有向圖下的具有未知控制方向和執行器故障的多智能體系統，提出了一種容錯控制方案。引入特定的Nussbaum增益函數解決未知控制方向的問題。結合模糊逼近和動態面控制技術，開發分布式容錯控制方案用以保證所有跟隨者的輸出與具有指定性能的領導者的輸出同步。最后，通過仿真結果驗證了所提出的控制方法的有效性。