基于改進PDE的人口預測建模與仿真

廖松　付鵬霖, 王哲浩　周鋼

摘要：此文基于我國人口政策的變動及第五、六次人口普查數據，指出了其他人口預測模型的缺陷并采用改進PDE人口預測模型對我國人口數量和結構進行了建模和仿真。選取了2010年后的20年作為仿真的時間范圍，分別在不同的人口政策導致相應生育率變化的情況下建立模型，按照月份進行迭代。得到所需人口數據并進行分析，最終獲得三種政策下對應的2010-2030年人口數量變化和人口結構變化情況。

關鍵詞：PDE模型;人口預測;生育率;死亡率;差分迭代法

中圖分類號：TP24 ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）15-0266-06

Abstract： According to the changes in Chinas population policy and the data from the fifth and sixth population censuses，In this paper， the shortcomings of traditional population forecasting models are analyzed. and uses the improved PDE population forecasting model to model and simulate the population size and structure of China. The 2010-2030 is selected as the simulation interval， and the population model under the one-child policy， the individual two-child policy， and the comprehensive two-child policy is iteratively iterated monthly to obtain the required population data and analyze it， and finally adopt the proper three policies. Population size and structure changes in 2010-2030. The results show that the current policy of “individual second child” gradually transitioning to”full second child” is an ideal choice.

Key words： PDE model; population policy; fertility rate; mortality rate; difference iteration

1 引言

人口政策作為我國的基本國策之一，必須符合我國的國情民情，與環境、社會發展狀況相統一[1]。幾十年里，計劃生育政策有效地降低了人口增長率，提升了人口素質。另一方面，與之同時而來的生育率持續走低、男女比例失調、人口老齡化嚴重等問題已開始影響到我國發展。為了解決上述問題，近年來我國人口政策先后經歷了“獨生子女”“雙獨二孩”“單獨二孩”“全面二孩”階段。本文在每一種人口政策下，都抽象出對應的數學模型對人口總量和年齡結構展開預測及仿真，分析了不同政策對中國人口未來變化的影響，為今后人口政策的修訂提供了信息支持，具有重要研究意義。

2 人口預測模型建立

出于保證統計數據的真實性、有效性考慮，本文采用的數據都是最近兩次的人口普查數據。為便于研究和仿真，本文提出以下假設：

（1）本文所采用的數據均準確、有效;

（2）本文只考慮出生、死亡對人口變化的影響，不考慮人口遷移因素;

（3）在本文提供預測的年限內，不考慮不可抗力和人為因素的干涉。

2.1 模型選取

當前，可供人口預測的模型包括線性回歸模型、聯合國模型、平均增長量法、指數平滑法、平均增長率法、灰色系統G-M法以及人口-發展-環境分析模型（PDE）。

上述模型和方法中，線性回歸模型假定人口數量的歷史趨勢不變，這不符合實際。聯合國模型相對于用于全國性人口的研究，更適合用于城鎮/鄉村人口比例的研究。平均增長率法、平均增長率法和指數平滑法的脫離實際應用環境，精準度度較低。灰色系統G-M法缺乏統計檢驗，同樣不適合我國人口的預測[2]。

本文選取基于PDE的按月迭代，按年儲存的人口-發展-環境人口預測模型來預測我國人口數量和結構的變化。

2.2 模型建立

PDE（人口-發展-環境）人口模型的核心思想是，第n年的人口是第n-1的人口經過出生、死亡、遷入和遷出等變化過程后得到的。所以，如果已知某年人口數量和該年出生率、死亡率、遷入遷出率等數據，就可以通過迭代方法得到后面每一年的人口數量。

本文采用按月迭代和按年存儲的思路，即：本月人口數=上月人口數+上月出生數-上月死亡數+上月遷入-上月遷出，本月結果作為下個月的基數，再將一年12個月的數據匯總算作一年的變化，作為本年度的新出生人口。首先分別對模型內部各個參數（如生育率、死亡率、性別比等）進行合理預測分析得出數值，再根據往年人口總量進行按月迭代運算，設置仿真的時間范圍，最終得到所需數據。

人口預測模型數學表達式如下：

2.3 模型參數分析

2.3.1生育率

事實上，由于出生人口的漏報，由初始始統計數據得到的總生育率嚴重偏低于真實水平。用人口漏報率作為一個因素，對總體的生育率進行修正，修正后，可得到精確度較高的生育率。

研究表明，2010年第六次全國人口普查漏報率為0.12%，遠低于第五次全國人口普查1.81%的漏報率[3]。計入漏報率的影響，可以將生育率數學表達式修正如下：

2.3.2 獨生子女政策因素

本方案假設我國維持獨生子女政策不變，時間為2010-2030年。該方案與近期的人口情況最為接近，同時該方案的預測結果很可能是嚴重的人口老齡化，人口數量在某一年份到達峰值后會迅速減少，對未來人口政策調整具有一定的參考價值。

2.3.3單獨二孩政策因素

本方案的提出背景為2013年底正式實行的“單獨二孩”政策。在此政策背景下，將人口增長率分為兩個階段，第一階段為2010-2013年，第二階段為2014-2030年。將“獨生子女”和“單獨二孩”政策下的增長率分別作為第一階段和第二階段人口增長率。第二階段的生育率以最近一次人口普查得到的生育率為參照，考慮“單獨二孩”政策的影響，得到單獨二孩政策下較為準確的生育率公式：

2.3.4 全面二孩政策

2017年，生育第二個孩子的限制徹底解除。故本方案中，將人口增長率分為三個階段，第一階段為2010-2013年，第二階段為2014-2016年，第三階段為2017-2030年。將“獨生子女”“單獨二孩”“全面二孩”政策下的增長率分別作為第一階段、第二階段和第三階段的人口增長率。第二階段的生育率以第六次人口普查得到的生育率為基礎，第三階段的生育率以第二階段的生育率為基礎。考慮“全面二孩”政策調整后的生育率，具體調整方案數學表達式如下：

2.3.5 死亡率

目前，死亡率預測模型包括隨機死亡模型，包括APC 模型、Cairns-Blake-Dowd 模型[4]、Lee-Carter 模型[5]及其擴展模型。

Lee-Carter模型中，死亡率變化和年齡因子x和時間因子t有關。基于這樣的思路可以構建函數表示時間為t年齡為x歲的人群的死亡率，其數學表達式如下：

2.3.6 性別比因素

本文對人口預測的研究涉及只出生率和死亡率，性別比是對人口數據分析得到的一個結果，對人口數量預測問題本身無影響。

2.3.7 人口遷入與遷出因素

遷移人口量相對于國內人口總量顯得過于小了，可忽略不計。外國人口遷入與我國遷出不在本文考慮之列。

3 人口模型仿真

3.1 仿真設計

本文以Microsolt Visual Studio 2017為開發平臺，以上述建立的人口預測模型為基礎，對不同時期人口政策（包括獨生子女政策、單獨二孩政策以及全面二孩政策）對未來人口數量、年齡結構的影響進行仿真設計。

為了獲取較高的仿真精度，迭代方案采用有限差分算法進行按月迭代。預設仿真開始年份為2010年，截止年份為2030年，后臺支持仿真至2050年，但仿真結果在2035年以前的年份精確度更高。

仿真界面軟件具備以下功能：

（1）選擇不同人口政策，對選定人口政策下2010年至2030年前任意年份時間區間內的人口數量進行預測，顯示預測后的統計數據和圖表;

（2）選擇不同人口政策，對選定人口政策下2010至2030年前任意年份時間區間的人口結構進行預測，顯示仿真時間范圍內的人口年齡結構圖以及仿真截止年份的人口年齡結構的圖表。

圖1為仿真程序流程圖。

3.2 軟件功能

軟件加載完畢后，進入軟件運行主界面，可以看到本仿真平臺的各個主要功能模塊和仿真說明。本次仿真預設區間為2010-2030年，可以得到三種政策下人口特征的變化。主界面包括以下：仿真截止年份設置、人口政策選擇與切換、預測數據及相應圖表顯示。按照程序提示，輸入數據，選擇功能，即可推演不同人口政策下的人口特征的演化。

3.3 仿真結果分析

3.3.1 人口數量分析

仿真得到我國2010-2030年的人口數量變化如下方的圖3和表5。獨生子女政策下的推演結果表明，我國人口總量將于2021年前后達到人口最高峰13.760億，之后人口數量開始加速減少，將在2030年前后降至13.491億;在單獨二孩政策下的推演結果表明，我國的人口總量從2010-2016年緩慢增長至13.60億，2016年起增速加快，于2020年后增速開始放緩趨于穩定增長，至2030年，將達到14.377億;全面二孩政策下的仿真結果顯示，我國的人口增長與單獨二孩政策下的增長模式幾乎一致，在2020年前后，人口增速繼續加快并逐漸放緩，人口數量持續增加，到了2030年，將達到14.831億。

3.3.2 人口結構分析

通過模擬三種政策下的人口變化，還能夠得到我國2010-2030年在不同人口政策下的人口結構變化情況。

仿真結果說明，如果繼續實行獨生子女政策，2030年我國0-16歲的少年兒童占總人口的比重降至12.9%，老年人（60歲以上）的比重升至26.3%，人口結構老齡化嚴重。單獨二孩政策下仿真結果顯示，2010-2030年間我國兒童人口比重為16%-18%，比重略微下降;老年人人口比重為12%-22%，上升將近一成，老齡化現象依然凸顯，但較獨生子女政策下的預測比重有了明顯改善。全面二孩下，即2010年后的20年，經過獨生子女、單獨二孩、全面二孩政策后的人口預測仿真結果顯示，2010年后的20年，我國兒童人口比重由17.9%降至16.85%，在三種政策下，下降幅度是最小的;老年人人口比重增至25.5%，介于前兩者。見圖4、表2所示。

3.3.3 綜合分析

由于本次仿真中不同政策僅會對出生率造成影響，即模型的人口變化主要反映在新出生人口上。因此，在2010-2030年間每隔5年選擇0-15歲的人口數據進行對比分析，如圖5所示。

由圖5可知，按時間變化，單獨二孩政策到全面二孩政策確實對新出生人口數量的穩定增加，從而改善人口年齡結構起到了相當重要的作用。三種政策下人口數目和構成特點各有不同，對其進行橫向對比，可以得到如下結論：

（1）若繼續幾十年的獨生子女政策，某一時間后（可以認為是2021年）我國的新生人口將發生銳減，同時老年人比重也將逐年升高，加深我國社會老齡化水平;

（2）若實行單獨二孩政策，中國新生人口數量平穩增長，我國老人老齡化能夠得到一定改善;

（3）若實行全面二胎政策，我國嬰幼兒、少年兒童數量將增加，青壯年占人口比例將增加;

綜上所述，本文認為目前實施單獨二孩政策并逐步向全面二孩過渡的政策是目前較為理想的選擇。

4 總結及展望

4.1 仿真平臺優勢

本仿真平臺設置大量功能接口以便于模塊化設計，平臺可操作性和可觀性較強;與此同時，還有部分功能接口冗余，使本仿真平臺在未來具備了功能擴展的巨大潛力。

4.2 ?不足與展望

由于時間倉促，未能將人口預測模型進一步細化具體至各省市自治區，從而得到區域性人口密度等人口數據，提升人口預測分析的覆蓋面和精確度。

本次仿真更多的是基于現有數據，對于環境和其他各方面擾動因素考慮不夠充分，在未來會進一步做出改進。

最后衷心希望本次仿真能夠為未來人口政策的修訂提供一定幫助。

參考文獻：

[1] 趙艷芳. 論我國實施的全面二胎人口政策[J]. 山西青年， 2016（20）.

[2]孟令國，李超令，胡廣.基于PDE模型的中國人口結構預測研究[J].中國人口·資源與環境，2014，24（2）：132-141.

[3]王金營.2000 年中國第五次人口普查漏報評估及年中人口估計[J].人口研究，2003，27（5）：53-62.

[4] Cairns A，Blake D，Dowd K. A Two-factor Model for Stochastic Mortality with Parameter Uncertainty： Theory and Calibration [J].Journal of Risk and Insurance，2006，73（4）：687 -718.

[5]李志生，劉恒甲.Lee-Carter死亡率模型的估計與應用——基于中國人口數據的分析[J].中國人口科學，2010（03）：46-56，111.

【通聯編輯：梁書】