基于混合基的稀疏表示響應面構建方法

王科峰

摘要：隨著現代產品的仿真模型求解時間也越來越長，響應面可用來替代仿真模型，減少仿真時間。稀疏表示響應面則是利用稀疏表示的思想，尋找仿真模型在基函數上的稀疏表示，可通過較少的采樣點構建高精度的稀疏表示響應面，從而替代仿真模型，提高仿真效率。但是復雜產品種類繁多，特征各異，其仿真模型很難在單一基函數上找到稀疏表示。本文將以多種多項式組合成的集合作為基函數集，提高基函數的表達能力，然后基于模擬退火的全局收斂思想，在給定基函數挑選個數的前提下，找到最優的基函數組合來對仿真模型進行稀疏表示。同時引入二分法的思想，調整構建響應面的基函數的個數，從而構建一個足夠稀疏且高精度的響應面。

關鍵詞：響應面;稀疏表示;仿真優化

中圖分類號：TP393 ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）15-0277-02

面對機電產品市場的激烈競爭，制造企業必須不斷地提高其設計效率，同時保證產品質量，以滿足多元化的市場需求。對于復雜機電產品 （如飛機、汽車以及船舶等） 的設計，其本質上是一個涉及多學科、多目標以及“昂貴”仿真的優化過程[1]，例如，有限元分析 、計算流體動力學分析以及多體動力學仿真等。但是隨著產品設計越來越復雜，仿真模型的復雜度和規模也不斷增加，仿真分析的時間進一步拉長。

針對復雜產品的仿真模型計算時間長、效率低等問題，可以用響應面或代理模型的方法來替代計算密集的仿真模型，從而大大降低仿真優化時間，縮短產品的研發周期。常用的響應面模型有：多項式響應面、kriging響應面、徑向基函數響應面，支持向量機等。通過計算機仿真采樣，尋找設計變量和響應值之間的內在關系，即可構建響應面來代替復雜的仿真模型。同時，響應面是基于采樣點數據構造的，而采樣點的估值彼此獨立，所以可通過并行計算進行仿真分析，快速得到其響應值，因此響應面方法可以極大地提高機電產品的優化設計效率。越復雜的響應面所需的采樣點個數越多，調用仿真模型進行采樣的次數也更多。為了進一步提高仿真優化效率，引入稀疏表示理論。

稀疏表示理論[3]指的是將函數（或信號）投影到基函數空間時，大部分基函數系數的量級很小，只有少數幾個基函數系數的量級較大，也就是說使用少量的基函數即可完全重構該函數（或信號）。類似地，可以把仿真模型看作源模型，選擇一組合適的基函數，使得黑箱函數在這組基函數下具有稀疏表達。一方面，可以根據采樣點的多少適當增減基函數的數目，以增強基函數對源模型的表達能力;另一方面，利用稀疏表達理論，剔除冗余的基函數，防止產生過擬合現象。這樣，便可以為源模型構造一個更加精確的逼近模型。范才彬等[4]基于稀疏表示理論提出稀疏表示響應面，只選取少量對描述設計變量和響應值之間的關系有重要作用的基函數來構建響應面，因此，計算基函數系數所需的采樣點也相應減少，同時在一定程度上減少了過擬合現象，提高響應面的精度。但是稀疏表示響應面采用單一多項式作為基函數，這使得一些特征復雜多樣的仿真模型很難在單一基函數上找到其稀疏表示。

因此，本文將多種多項式進行組合，得到混合基函數集，以混合基函數集的所有多項式作為基函數，使得基函數的特征更加豐富，提高響應面對復雜仿真模型的逼近能力。利用模擬退火的全局收斂特性，不斷挑選用于構建響應面的基函數，使得不斷有新的基函數用于構建響應面。在給定基函數挑選個數[S]的情況下，找出構建的響應面的預測精度最高的[S]個基函數組合。同時，由于仿真模型在基函數集上的稀疏度未知，在挑選基函數的時候引入二分法的思想，不斷調整挑選基函數的個數，以達到構建一個高稀疏、高精度的響應面的目的。

1稀疏表示響應面的數學模型

2響應面構建

本文所述方法利用了二分法和模擬退火的思想，模擬退火旨在給定基函數挑選個數[S]的情況下，找出構建的響應面的預測精度最高的[S]個基函數組合。同時，由于稀疏度未知，在外循環利用二分法的思想，適當地減少或增加挑選個數[S]，使得構建的稀疏表示響應面既足夠稀疏又具有較高的精度。

由二分法得到最優基函數組合[Abest]之后，使用最小二乘法計算基函數的系數[β]，最終得到稀疏表示響應面如下：

本文提出了一種基于模擬退火的稀疏表示響應面的構建方法，利用模擬退火和二分法的思想，找到仿真模型在混合基上的稀疏表示，從而構建一個高精度的稀疏表示響應面。對于在單一基上無法精確逼近的復雜仿真模型，本文所提的構建方法將有一定的參考意義。

參考文獻：

[1] 張萌，陳曉云.基于稀疏表示模型的顯著目標檢測[J].福建大學學報（自然科學版），2019，4（7）.

【通聯編輯：光文玲】