原型啟發 畫圖表征 題組比較 凸顯算理
——“隔位退位減”教學思考

江蘇省太倉市榮文小學 黃 巍

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》中指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”正確運算、理解算理、靈活運算是運算能力的主要內涵。為了實現正確運算，不少教師希望通過大量重復的練習，實現“熟能生巧”。練習固然是達成技能的必要手段，但運算能力是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力及想象能力等有關的由低級到高級的綜合能力。計算教學的價值在于發展學生的思維，培養學生的推理素養。因此，計算教學要以計算為載體，引導學生理解算理，知其所以然，以加深學生對所學數學知識本質的理解。算理是算法的根基，是靈活運算的前提。在“隔位退位減”一課的教學中，我借助生動有趣的情境，原型啟發悟算理；利用直觀的模型，畫圖表征明算理；發揮題組的功能，對比辨析說算理，凸顯了算理，發展了學生的數感，提升了他們的思維品質,并適時滲透了基本的數學思想方法。

一、原型啟發，悟算理

二年級學生的思維水平還是以形象思維為主，適合的情境能喚醒學生的已有經驗，也會讓學生主動調用生活經驗解決問題，初步感悟算理。“隔位退位減”一課，教材上呈現的情境是：二年級同學畫了204幅兒童畫，一年級同學比二年級同學少畫108幅。一年級同學畫了多少幅？考慮到學生有購物的經驗，又學習過人民幣的簡單換算，我把情境進行了適當調整。

教學片段1：

呈現情境：老師原來有204元，買書用去108元。根據這兩個條件，你們想提出什么數學問題？

生：還剩多少元？

師：用什么方法計算？怎樣列式？

生：已知原有的錢和用去的錢，求還剩的錢用減法計算，算式是204-108。

師：204-108，個位上4元減8元不夠減，怎么辦？

生：可以從十位上拿出1張10元來，換成10張1元，就夠減了。

生：可是十位上是0，說明1張10元也沒有啊！

生：百位上有，可以從那拿出1張100元，換成10張10元的，再從10張10元里拿出1張10元換成10張1元的。

師：204-108，個位上4減8不夠減，需要從十位退1，可是十位上是0，怎么辦呢？剛才同學們自己想出辦法：先從百位上拿出1張100元，換成10張10元的，再從中拿出1張10元換成10張1元的，就解決問題了。

“老師原來有204元，買書用去了108元，還剩多少元？”當學生列式后嘗試計算出現困難時，他們直接想到是找人民幣幫忙，主動進行實物操作以解決計算中遇到的困難—“個位不夠減，要十位退1，而十位上是0，怎么辦？”購物情境里蘊含著算理的原型，學生在熟悉的情境里，主動調用換錢的經驗解決問題。可見，數學教學不能只求結果，而要從“根”上思考，根據學生的情況創設給學生帶來學習經驗的體驗和積累的情境，讓學生在解決情境中計算問題的同時初步感悟隔位退位減的道理：個位上4減8不夠減，需要從十位退1，可是十位上是0，需要先從百位上拿出1張100元，換成10張10元的，再從中拿出1張10元換成10張1元的，這樣就可以解決問題了。

二、畫圖表征， 明算理

根據小學生的認知特點和心理特點，算理的理解需要教師“架橋”，寓抽象的知識于具體形象之中，把學生的直觀認識逐步引導到抽象的彼岸。在學生初悟算理后，我出示計數器圖，讓學生動手畫一畫，把抽象的算理畫圖表征出來。

教學片段2：

師：那你們能不能把剛才計算的過程在計數器上畫出來呢？要撥入的珠請小朋友用鉛筆直接畫上去，撥去的珠可以直接劃去。

學生試畫，教師巡視。

師：先畫好的小朋友同桌兩人先交流，互相介紹一下你是怎么畫的？

學生交流：

個位上不夠減，從十位退1，十位上是0，所以要從百位退1；

百位退1到十位，1個百是10個十，所以要在十位上畫10顆珠；

十位退1到個位，1個十是10個一，所以要在個位上畫10顆珠；

個位上現在是14顆珠，劃去8顆珠，剩下6顆珠。

小組討論：十位上是怎么變成9的？

集體梳理：

個位上：4-8不夠減，從十位退1，十位是0，從百位退1，十位是10，十位退1到個位，14-8=6；

十位上：10退了1看作9，9-0=9；

百位上：2退了1看作1,1-1=0，不寫。

答案是96。

個體思考：這里百位的2上打點看作1，那十位0上打點看作幾呢？

理想的數學課堂不僅要讓學生“知其然”，還要讓學生“知其所以然”，要引導學生把對法則的演練轉變成對算理的思考，把運算從操作層面轉向思維層面，才能真正發展學生的運算能力。畫的過程，不僅可以激發學生的興趣，而且可以把抽象的算理具體化，化難為易，特別是課上人人動手，可以啟發學生積極思考，明晰算理，增強運算的積極性。

實踐操作之后，還需要把學生自己的思維過程通過豎式表達出來，從畫圖表征逐步過渡到符號表征。我引導學生回溯計算過程，“隔位不夠減，十位是0，是怎么退位的？”“差的十位上的9是怎么算出來的？”解決了這些疑難問題，算理的理解也就通透了。學生在回溯知識的形成過程，與自己對話、與同桌對話、與教師對話，不斷反思、不斷辨析，他們通過自己的努力漸漸清除了算理理解中的阻礙，實現了對算理的深刻理解。

三、題組比較，說算理

語言是思維的外殼。在課堂上，不但要讓學生明算理，更要重視讓學生說算理。說算理是數學理解和語言表達的綜合體現，加強算理的表達也是在培養學生縝密的思維。在教學中我們能發現，很多時候，學生會算，心里也知曉，但就是說不出來。因此在教學中，我們要創造更多的鍛煉機會，給學生提供更多表達的機會，讓每個學生都能表達自己的想法，闡述自己對算理的個性化理解。在“隔位退位減”一課的練習環節，我充分發揮題組的功能，讓學生對比辨析說算理，深化了對算理的理解。

教學片段3：

1. 填一填。

在隔位退位減中，百位上都要退1，十位上都是0上打點看作9后再進行計算。這一組三道題重在考查學生對算式特點的把握。在學生填完這一組題后，我引導他們說說：為什么這些題都是“隔位退位減”？讓學生通過語言描述加深對隔位退位減算式特征的理解。

2.選一選。

圖1是連續退位減，2上打點表示個位不夠減從十位退1，此時圈出部分表示的數值是1（個十）；圖2是隔位退位減，0上打點表示9。這一題組指向的是算理的理解，讓學生用自己的語言說思考過程，辨別連續退位與隔位退位的不同，再次突破了“0上有點就是9”這一隔位退位減算理的難點。

3.猜一猜：星星背后躲著幾？

下面的題都是我們今天學習的隔位退位減。

星星后面躲著哪個數呢？看哪位小朋友能把它們都找出來。

這一題組重在考查學生的推理能力。第1顆★是0；第2顆★要填比7大的數，可以是8或9；第3顆★要比3小，可以是0、1、2；第4顆★可以是1到9中的任意一個數。

題組練習的目的是讓學生在交流中糾正并完善自己的認知，在不斷的自我反思中深化對“隔位退位減”算理的理解，提升自己的數學思維。開放而有挑戰性的練習，不同層次的學生都能參與其中，他們盡情地說，有理有據地爭辯，運算技能和邏輯思維能力在題組練習的過程中悄然提升。

總之，在數的運算教學中，算理的理解是核心的環節。我們要精心設計教學環節，緊密聯系生活創設情境，讓學生主動實現對算理的原型理解。課堂是動態生成的，學生中蘊藏著豐富的資源和巨大的潛能，我們要開放課堂，從具象到抽象，讓學生在多樣表征中完成對算理的直觀理解，在多樣化的練習中加深對算理的過程理解，同時要處理好算理與算法之間的聯系，循“理”入“法”，讓學生在收獲運算能力的同時，積淀終身有用的思想方法，最終促進核心素養的形成。