基于雙平行互質陣列的二維非網格DOA估計

曾富紅 司偉建 彭占立

摘要：????? 近年來， 基于稀疏表示的DOA估計方法已經被廣泛提出， 這些方法都需預設離散的網格點， 而實際信號來波方向在空間域內具有隨機性， 任何來波方向都是等概率出現， 很有可能信號的來波方向不在網格上， 因而會存在網格誤差， 使DOA估計結果產生較大偏差。 為提高DOA估計精度， 本文提出了非網格的DOA估計模型。 同時， 為提高測向自由度， 本文應用由兩個均勻線陣組成的互質陣列， 并且將兩個均勻線陣平行放置在同一平面。 通過將兩均勻線陣的互協方差矩陣向量化成互協方差矢量， 可得到一維虛擬擴展的接收數據矢量， 并且在稀疏表示框架下應用相應的稀疏恢復算法恢復出跟DOA參數相關的向量， 從該向量中得到唯一的并且自動配對的二維DOA估計參數。 仿真實驗結果驗證了本文算法較傳統算法具有更好的DOA估計性能。

關鍵詞：???? 互質陣列; 二維DOA估計; 非網格; 稀疏表示

中圖分類號：??? ??TJ765;? TN911.7 文獻標識碼：??? A文章編號：??? ?1673-5048（2019）03-0027-06[SQ0]

0引言

目前， 波達方向（Direction of Arrival，? DOA）估計[1-2]問題已經出現在多種應用領域中， 如雷達、 聲吶、 射電天文學等[3-5]。 眾所周知， 對于具有N個天線陣元的均勻線性陣列[6]， 常用的稀疏表示類[7]以及子空間類算法[8-9]均最多可分辨N-1個信號源。 為了檢測更多的源， 一類新的非均勻線性陣列幾何結構已被提出， 如嵌套陣列[10-11]和互質陣列[12-17]等。 對于非均勻陣列， 可以利用兩種主要方法來增強自由度， 即協方差矢量化[13]和協方差擬合[18]。 通過矢量化接收信號的協方差矩陣， 形成具有較寬孔徑的虛擬差集陣列以實現擴展的自由度。 冗余陣列的協方差矩陣具有Hermitian Toeplitz結構， 因而通過協方差擬合可以恢復， 并且可以獲得擴展的自由度。 利用擴展的自由度， 文獻[10]中的嵌套陣列結構可以僅用N個天線陣元分辨O（N2）個信號源。 但是， 由于其中一個子陣列的陣元位置很近， 因而嵌套陣列會遇到互耦問題， 從而影響DOA估計性能。 互質陣列結構[12]的陣元間距可大于半波長， 因此可以減少互耦效應， 甚至去除互耦效應。? 本文中互質陣列的兩個子陣列是平行放置在同一平面的， 因而利用O（M+N）個陣元能夠最多分辨O（MN）個信號源。

近年來基于互質陣列擴展自由度的DOA估計算法已被廣泛提出。 文獻[13]提出了基于子空間的空間平滑MUSIC（SS-MUSIC）算法， 并表明了該方法能夠估計比陣元數更多的信號源。 但SS-MUSIC算法需要知道信源的數量， 為此文獻[19]提出了一種類MUSIC的子空間方法， 其中信源數是低秩去噪階段的副產物。 然而， 文獻[13， 19]中的子空間類算法需要連續的差集陣列和應用空間平滑技術， 這使得可利用的有效虛擬陣列孔徑為連續虛擬陣列孔徑的一半， 從而損失了一部分的擴展陣列自由度， 導致最終DOA估計性能受損。 最近， 一類基于稀疏度的估計方法[20]被提出， 利用空間信號譜稀疏的優勢， 不需要應用秩恢復操作， 可利用所有擴展的虛擬陣列自由度， 因而相比于子空間類算法具有更優的DOA估計性能。 這些稀疏表示類算法需將感興趣的角度范圍離散為網格點， 并假定源的位置必須落在預定義的網格上。 但是， 實際中不管網格點設得有多密， 真實的DOA不可能均位于預先指定的網格點上， 從而導致網格不匹配問題的產生以及信號恢復性能惡化。 因而基于稀疏表示框架下的網格不匹配問題，

提出了基于非網格的DOA估計方法， 通過彌補網格偏差， 從而實現提高DOA估計精度的目的。? 利用二維平行互質陣列的平行特性， 提出了一種高效的、 且DOA估計參數能夠自動配對的二維DOA估計算法。

1信號模型

陣列幾何結構如圖1所示， 互質陣列的兩個稀疏均勻線陣平行放置在x-y平面上， 沿Y軸擺放的N個陣元構成子陣列1， 各陣元間間距為Md， 與子陣列1平行且相距d的子陣列2由M個陣元組成， 且各陣元間間距為Nd， 其中M和N為互質數， d設為入射信號半波長。 假設有K個遠場窄帶信號（αk， βk）， k=1， …， K入射到該陣列上， 其中αk為入射信號與Y軸正向的夾角， βk為入射信號與X軸正向的夾角， 圖1中的θ和對應傳統的仰角和方位角， 與本文中使用的角度α及β之間有轉化關系cos α=sin θ sin 及cos β=sin θ cos 。? 兩個子陣列的接收信號可表示為

將整個空間域[0°， 180°]以網格間隔τ均勻劃分為L個網格點， 網格點集合可表示為（1， 2， …， L）， 則對應所有網格點計算陣列流形矩陣， 將AM和AN擴展為ΘM和ΘN，? 且對應所有網格點將對角陣Λ擴展為

實際上， 式（3）所表示的互協方差矩陣只能通過有限快拍數據進行估計， 即R～c=（1/T）∑Tt=1xM（t）xHN（t）， 這將會導致協方差矩陣估計誤差的存在， 從而使得算法的稀疏恢復性能受到影響， 因而應當考慮這一估計偏差， 構建一個擴展的稀疏表示框架。 用ε表示向量化的互協方差矩陣估計誤差， 則根據文獻[17]， ε服從均值為0且協方差矩陣為Q=1T（RTNRM）的近似高斯分布， 如下式所示：

3.1精度比較

利用式（23）中定義的均方根誤差來衡量本文算法與文獻[17]算法的精度。 假設兩個不相關的窄帶信號（α1， β1）=（55.7°， 68.4°）， （α2， β2）=（65.2°， 46.6°）入射到圖1所示陣列上。 圖2表示快拍數固定為500， 均方根誤差隨信噪比變化情況， 信噪比在-5 dB到15 dB之間以間隔2 dB取值; 圖3表示信噪比固定為10 dB， 兩種算法的均方根誤差隨快拍數變化曲線， 快拍數設置為從100到800以間隔50取值。

由圖2可以看到， 隨著信噪比的增加， 兩種算法的均方根誤差都在減小， 且本文算法的均方根誤差一直小于文獻[17]算法。 由圖3中可以看出， 隨著快拍數的增加， 兩種算法的均方根誤差都在減小， 且本文算法的均方根誤差一直小于文獻[17]算法。 因而可得出結論： 本文算法的DOA估計精度高于文獻[17]算法。

3.2多信源條件下DOA估計性能比較

（1） 超定情況： 考慮8個窄帶信號源入射到圖1所示陣列上， 設入射信號信噪比為10 dB， 采樣快拍數為500。 所有入射信號角α在[30.8°， 170.8°]中均勻取值， 角β在[25.8°， 175.8°]中均勻取值， 得到兩種算法的DOA估計結果如圖4所示。

（2） 欠定情況： 考慮11個窄帶信號源入射到圖1所示陣列上， 設入射信號信噪比為10 dB， 采樣快拍數為500。 為方便觀察， 選取的所有入射信號角α及角β相同， 設為21.81°， 29.68°， 38.22°， 47.92°， 59.97°， 68.92°， 80.61°， 98.89°， 115.66°， 134.99°， 155.88°， 得到兩種算法的DOA估計結果如圖5所示。

由圖4可看出， 兩種算法都能估計出所有信源的大概位置， 但本文算法估計出的DOA與真實角度位置大概重合， 而文獻[17]算法的角度估計值在某些信源處與真實角度位置差異較大。 圖5中， 入射信源為11個， 大于實際物理陣元個數（9個）， 此時利用本文算法還能正確估計出入射信源位置， 由此可知， 本文算法有效地擴展了陣列自由度， 而文獻[17]算法雖能估計出大部分信源， 但還有2個信源估計失敗， 因而可得出結論： 多信源情況下，? 本文算法具有更好的估計性能， 尤其是在信源數多于陣元數（欠定）情況下， 相對于文獻[17]算法， 本文算法估計性能更佳。

4結論

本文提出了一種基于雙平行互質陣列的二維非網格DOA估計算法。 首先對互質陣列的兩個子陣列的接收信號求互協方差矩陣， 并向量化該互協方差矩陣得到互協方差矢量， 再在整個空間域內稀疏擴展互協方差矢量， 從而能夠通過僅僅一維字典矩陣獲得唯一的、 自動配對的二維DOA估計。 同時， 該算法能夠利用互質陣列的特性， 應用M+N個物理陣元實現MN的自由度。 應用相似的陣列結構， 本文算法擁有比傳統算法更優良的DOA估計性能， 所應用的稀疏表示方法能夠解相干， 可以分辨出相關甚至相干信號。 但本文算法計算復雜度較高， 引入非網格誤差， 增加了計算量， 且算法需要迭代， 比較費時， 因而未來的研究方向是快速實現算法， 提高算法的運算效率。

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