一類帶記憶項擬線性發展方程的適定性

(長沙理工大學數學與統計學院,長沙，410001)

1 引言

(1.1)

(1.2)

另外, 對于記憶核和非線性項有如下假設：

(H1)對記憶項核的假設:

μ∈C1(R+)∩L1(R+),μ(s)>0,?s∈R+

(1.3)

且存在δ>0, 使得

μ′(s)+δμ(s)0,?s∈R+.

(1.4)

記

(H2) 對非線性項的假設: 假設f∈C1,f(0)=0, 且滿足如下增長條件

α1|s|p-β1|s|2≤f(s)s≤α2|s|p+β2|s|2,?s∈R,p≥2

(1.5)

和耗散條件

f′(s)≥-l

(1.6)

且β1<λ, 其中αi,βi(i=1,2)和l都是正數.

方程(1.1)作為數學物理模型，通常應用于流體力學、固體力學和熱傳導理論等領域[1,2]，其主要考慮了兩個方面的影響，其一是粘性，其二是u的過去歷史影響(例如聚合物、高粘度液體等[3]); 當考慮這兩個影響因素時，就構成了揭示擴散的全部過程的能量方程，即上述帶記憶項的發展方程(1.1)，也就是我們常說的非經典擴散方程.

當方程(1.1)不帶記憶項的時候，其無界域上解的存在性及其漸近行為已經被很多人研究過[4-6].據我們所知，對方程(1.1)這種帶有記憶項的問題的相關研究還很少，本文將應用分析技巧和Galerkin方法解決該問題.

由于在無界域上、非線性項滿足任意階多項式增長以及記憶項這三個因素的影響，本論文存在兩個主要的困難：一方面是Sobolev緊嵌入不再適用，另一方面是積空間的Galerkin方法不能用來逼近.本文應用Xie[4]與 Ma[5]的基本思想和方法，結合分析技巧來克服上述困難， 由此證得解的存在性，進而獲得解的唯一性和解對初值的連續依賴性.

2 預備知識

那么, 方程的相空間為

M1=H1(Rn)×V1,

u的時滯變量uτ(-s)滿足以下條件:存在R>0和ρ≤δ(δ來自于(1.4), 使得

(2.1)

3 解的存在性

定義3.1設f(u)滿足(1.5)-(1.6),z0=(u0,η0)∈M1.z=(u,ηt)稱為方程(1.1)的整體弱解,如果對?T∈R,z滿足方程(1.1)并且

u∈C([0,T];L2(Rn))∩L2([0,T];H1(Rn)),ut∈L2([0,T];L2(Rn)),

另外，對任意ω(x)∈H1(Rn),φ(x,t)∈V1有

對于t∈R幾乎處處成立.

對于解的存在性，通過下面的一些引理，可得到定理3.5.

首先，對任意的正整數n,我們給定一個球

Bn={x∈Rn:|x|

(3.1)

因為Bn是有界域, 所以利用標準的Faedo-Galerkin方法可以獲得如下初邊值問題解的存在性

(3.2)

其初始條件為：

(3.3)

邊界條件為：

(3.4)

其中χn(x)為一個光滑函數，滿足

引理3.2假設T>0,f∈C1(R)且滿足條件(1.5)-(1.6)，核函數μ滿足(H1),而g∈H-1(Rn),則對于任意的t∈[0,T],有如下估計：

其中C1僅依賴于T,但不依賴于n.

證明對(3.2)中的第一個方程乘以un，在Rn上積分并利用條件(1.5),可得

(3.5)

(3.6)

于是(3.5)可改寫為

(3.7)

由Gronwall引理, 對一切的t∈[0,T]有

(3.8)

并且(3.7)兩邊對t在[0,T]上積分, 有

(3.9)

取

結合(3.8)-(3.9)知引理結論成立.證畢.

其中C2僅依賴于T,但不依賴于n.

(3.10)

由Gronwall引理及引理3.2，對一切t∈[0,T]有

(3.11)

再對(3.11)在0到t上進行積分，可得

(3.12)

引理3.4假設引理3.2的假設條件成立，則存在不依賴n的正常數C3,C4,使得對所有的t∈[0,T],

α3|un|p-β3≤F(un)≤α4|un|p+β4,

(3.13)

其中αi,βi(i=3,4)均為正數.

對(3.2)中的第一個方程乘以unt,再在Rn上積分，得到

(3.14)

由H?lder不等式和Young不等式,我們有

(3.15)

這里m0來自假設(H1),且

(3.16)

令

(3.17)

則有

(3.18)

仿照文獻[4]中引理3.4的證明可得，存在與n無關的正常數C3,使得對一切的t∈(0,T]有

進一步，由(3.13)式, 可得

(3.19)

對(3.18)式關于t在(0,T]上進行積分，并結合引理3.2和引理3.4，即知存在與n無關的正常數C4,使對一切t∈(0,T]有

證畢.

由以上的論述，可以得到如下關于方程(1.1)解的存在性定理.

定理3.5假設條件(H1)-(H2)成立,則對任意的T>0和z0=(u0,η0)∈M1,方程(1.1)存在弱解z=(u,ηt),且滿足u∈L∞(0,T;H1(Rn)),ηt∈L2(0,T;V1).

un在L∞(0,T;H1(Rn))∩L2(0,T;H1(Rn)) 一致有界,

unt在L2(0,T;H1(Rn)) 中一致有界,

un?u在L2(0,T;H1(Rn))中弱收斂,

unt?ut在L2(0,T;H1(Rn))中弱收斂,

(3.20)

取ρ0=CC3+CC1T，由引理3.4可得

(3.21)

同理，當un?Bn時，取un=0,將un延拓到整個Rn上, 則有

f(un)→χ在Lq((0,T]×Rn)弱收斂.

f(un(x,t))→f(u(x,t))于[0,T]×Rn上幾乎處處收斂.

(3.22)

所以在Lq([0,T]×Rn)?H-1([0,T]×Rn)中f(un)?f(u),且由弱極限的唯一性可知:χ=f(u).

另外，由于gn(x)∈H-1(Bn),對于一切的x∈Rn,有gn→g(n→∞), 從而g(x)∈L2(0,T;H-1(Rn)).

證畢.

4 解的唯一性和對初值的連續依賴性

定理4.1假設條件(H1)-(H2)成立,則對任意T>0和z0=(u0,η0)∈M1,方程(1.1)在M1中有唯一弱解z=(u,ηt), 且解z(t)=(u(t),ηt)連續依賴于初值z0=(u0,η0).

(4.1)

對方程(4.1)兩端用ω作用，可得

(4.2)

對(4.2)式的右端項，我們有

(4.3)

其中CR與t無關，故由Gronwall引理得到

這就證明了方程(1.1)解的唯一性和對初值得連續依賴性.證畢.