基于含負冪項與非負冪項G′/G2展開法的非線性時空分數階電報方程新精確解

(四川師范大學數學科學學院，成都，610066)

1 引言

非線性分數階偏微分方程由于具有時間記憶性,在研究具有記憶過程、遺傳性質異質材料、地震波、圖像處理、流體流動上被廣泛應用[1][2],因此研究具有時間記憶性的時空非線性分數階偏微分方程精確解意義重大.

非線性時空分數階電報方程形如[3-5]

(1.1)

其中γ,β為實常數,x表示時間,u表示某時刻各點電位.非線性時空分數階電報方程最早由Farlow等提出.當α=1時,方程(1.1)為非線性電報方程：

utt-uxx+ut+γu+βu3=0.

(1.2)

對于非線性時空分數階電報方程(1.1),文獻[9-10]使用Hirota雙線性法和修正的簡單函數法獲得了它的一些精確解,文獻[11]使用擴展的G′/G2展開法構建了方程(1.1)的雙曲函數解、三角函數解和有理函數解.

本文借助由Khalil等提出的含極限算子的整合分數階導數與時空分數階復變換，將方程(1.1)轉化為整數階常微分方程，然后使用含負冪項的G′/G2展開法與含非負冪項的G′/G2展開法，借助Maple軟件構建方程(1.1)的新精確解,包括三角函數精確解、雙曲函數精確解和有理函數精確解.

2 預備知識

2.1 整合分數階導數

定義2.1[12]設f:(0,∞)→R,f的α階導數定義如下：

設α∈(0,1],g(t)在t>0時可微,則有如下性質：

2.2 求解過程與方法描述

考慮如下含有兩個獨立變量x,t的時空分數階偏微分方程:

(2.1)

對方程(2.1)作如下的分數階復變換:

(2.2)

將其轉化為常微分方程：

F(u,u′,u″…)=0,

(2.3)

其中ω≠0,u′，u″分別為u關于ξ的一階導數、二階導數.

2.2.1 由含非負冪項的(G′/G2)展開法構建非線性時空分數階偏微分方程精確解的步驟

步驟1假設(2.1)有如下形式的解：

(2.4)

其中G=G(ξ)滿足：

(2.5)

ai,φ,φ為待定常數，φ≠1,φ≠0,m通過齊次平衡法確定[13-15].

步驟2將(2.4)代入(2.3)，合并G′/G2的同類項,并令各項系數為零求解關于ai,γ,ω,的代數方程組.

步驟3結合(2.5)分別解如下代數方程組:

(2.6)

其中c1,c2是常數.

步驟4將ai,ξ和G′/G2代入(2.6)得到(1.1)的精確解.

2.2.2 由含負冪項的G′/G2展開法構建非線性時空分數階偏微分方程精確解的步驟

步驟1假設(2.1)有如下形式的解：

(2.7)

其中G=G(ξ)滿足方程(2.5)，a-n,…,a0,…,an,φ,φ為待定常數,φ≠1,φ≠0,m通過齊次平衡法確定.

步驟2將(2.7)代入(2.3),合并G′/G2的同類項,并令各項系數為零求解關于a-n,…,a0,…,an,γ,ω的代數方程組.

步驟3結合(2.5)解(2.6)中的代數方程組, 其中c1,c2是常數.

步驟4將a-n,…,a0,…,an和G′/G2代入(2.6)得到(1.1)的精確解.

3 由含非負冪項的G′/G2展開法構建非線性時空分數階電報方程的精確解

本節應用含非負冪項的G′/G2展開法來構建非線性時空分數階電報方程(1.1)的精確解.

將方程(1.1)按式(2.2)進行分數階復變換, 得到常微分方程(2.3)，再將方程(2.3)兩邊同時積分兩次, 可得

(ω2-1)u″-ωu′+γu+βu3=0,

(3.1)

其中ω,γ,β為實常數, 且ω≠0.

設方程(3.1)有形如(2.4)的解,平衡非線性項u3和最高階導數項u″可得m+2=3, 從而m=1.于是, 方程(2.4)變為：

(3.2)

其中a1≠0.

進一步可得：

(3.3)

舍去a1=0,ω=0的情形后, 再分為以下四種情形進行討論. 對每種情形，由方程(2.6)和式(3.2)都可求得方程(1.1)的一組精確解.

情形1：

對應的精確解是：

(3.4)

情形2：

對應的精確解是：

(3.5)

情形3：

對應的精確解是：

(3.6)

情形4：

對應的精確解是：

(3.7)

4 由含負冪項的G′/G2展開法構建非線性時空分數階電報方程的精確解

本節應用含負冪項的G′/G2展開法來構建非線性時空分數階電報方程(1.1)的精確解.

設方程(3.1)有形如方程(2.7)的解. 平衡非線性項u3和最高階導數項u″可得m=1.于是, 方程(2.7)變為：

(4.1)

進而可得：

(4.2)

由于ω,γ的表達式比較復雜, 下面只給出兩種情形下a-1,a0,a1的表達式:

情形1：

此時，結合方程(2.6)和(4.1)可得方程(1.1)的一組精確解：

(4.3)

情形2：

同樣地，結合方程(2.6)和(4.1)可得方程(1.1)的一組精確解：

(4.4)

5 結論

對于非線性時空分數階電報方程(1.1), 借助整合分數階導數和時空分數階復變換轉化為常微分方程(3.1), 再使用含G′/G2的非負冪項的展開法,借助Maple軟件構建出了方程(1.1)的四組精確解(3.4),(3.5),(3.6),(3.7); 使用含G′/G2的負冪項的展開法,借助Maple軟件構建出了方程(1.1)的兩組精確解(4.3)和(4.4). 這些精確解包含三角函數解,雙曲函數解和有理函數解. 它們與文獻[11]中的精確解不同.