基于因子分析和三次曲線回歸模型的江西GDP預(yù)測(cè)及政策建議

熊云 林太鶴

（南昌理工學(xué)院，江西南昌 330044）

1 因子分析的含義及模型

因子分析是通過研究多個(gè)變量間相關(guān)矩陣（或協(xié)方差矩陣）的內(nèi)部依賴關(guān)系，找出綜合所有變量主要信息的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量，而這幾個(gè)隨機(jī)變量不能直接測(cè)量。其目的就是把描述個(gè)案的變量空間的維度降低了，用較少的相互獨(dú)立的因子代替原有變量去分析整個(gè)問題。

因子分析的思想可用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示，其矩陣的形式為：

X

=

AF

+

ε

。其中，X=（

x

,

x

,…,

x

）為原有變量；F=（

f

,

f

,…,

f

；

k

＜

p

）為因子，也稱公因子；A=（

a

；

i

=1,2,…,

p

；

j

=1,2,…,

k

）為因子載荷矩陣；

ε

為特殊因子，表示了原有變量不能被因子解釋的部分，其均值為0。

2 實(shí)證研究

2.1 指標(biāo)的選取與描述

GDP是度量一國(guó)或地區(qū)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)最具綜合性的指標(biāo)，其反映的是一個(gè)國(guó)家或地區(qū)在某一給定的時(shí)期內(nèi)運(yùn)用生產(chǎn)要素所生產(chǎn)出來(lái)的全部最終產(chǎn)品和勞務(wù)的市場(chǎng)價(jià)值的總和。政策制定者可使用GDP數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的短期波動(dòng)及長(zhǎng)期趨勢(shì)。然而影響GDP的因素眾多，且各因素之間具有程度不一的相關(guān)性，本文為全面監(jiān)測(cè)及準(zhǔn)確預(yù)測(cè)江西GDP的發(fā)展，選取第一產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值（X）、第二產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值（X）、第三產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值（X）、旅游總收入（X）、出口總額（X）、社會(huì)消費(fèi)品零售總額（X）、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額（X）等7個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)作為江西GDP影響因素。采用1999－2017年江西GDP及相關(guān)影響因素?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。1999－2017年江西GDP及其影響因素的描述性統(tǒng)計(jì)和相關(guān)分析如表1和表2所示。

根據(jù)表1的描述性統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果可知，江西GDP歷年均值為8682.5311億元，標(biāo)準(zhǔn)差為6261.84970億元，發(fā)展較快；但其影響因素的第一產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值的均值不高，標(biāo)志變動(dòng)度最小，可見第一產(chǎn)業(yè)發(fā)展較為穩(wěn)定，但對(duì)GDP的貢獻(xiàn)不大；出口額均值最低，標(biāo)志變動(dòng)度僅次于第一產(chǎn)業(yè)，出口業(yè)發(fā)展緩慢；旅游收入的均值略高于第一產(chǎn)業(yè)，其標(biāo)志變動(dòng)度也偏低，說明江西旅游業(yè)還有待進(jìn)一步開發(fā)；而全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額的均值和標(biāo)志變動(dòng)度在所有因素中最高，發(fā)展較快。

根據(jù)表2的相關(guān)性分析結(jié)果可知，自變量之間存在高度線性相關(guān)，若直接利用回歸模型分析可能會(huì)出現(xiàn)多重共線性問題，造成部分回歸系數(shù)不顯著，因此本文利用因子分析中的主成分分析法消除變量間的多重共線性問題，使得解釋變量在降低維度的同時(shí)消除多重共線性。

2.2 因子分析結(jié)果

2.2.1 KMO和Bartlett球形度檢驗(yàn)

表1 1999-2017年江西GDP及其影響因素的描述性統(tǒng)計(jì) 單位：億元

表2 相關(guān)矩陣

表3 KMO和Bartlett的檢驗(yàn)

表4 公因子方差

對(duì)樣本進(jìn)行的KMO和Bartlett的球形度檢驗(yàn)中，KMO值越接近1，說明變量間的相關(guān)性越強(qiáng)，原有變量越適合做因子分析。同時(shí)，Bartlett球形度檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的概率P值若小于給定的顯著性水平

α

，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)矩陣不太可能是單位矩陣，原有變量適合采用因子分析。

表3顯示了對(duì)江西GDP影響因素進(jìn)行因子分析適用性檢驗(yàn)的結(jié)果。Bartlett球形度檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為499.936，相應(yīng)的概率P為0.000，小于0.05的顯著性水平，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)矩陣和單位矩陣有顯著性差異，適合采用因子分析。同時(shí)，KMO值為0.808，根據(jù)Kaiser給出的KMO度量標(biāo)準(zhǔn)可知，原有變量適合做因子分析。

2.2.2 因子分析共同度

表4“初始”列是因子分析初始解下的變量共同度，表明對(duì)原有7個(gè)變量如果采用主成分分析法提取所有7個(gè)特征根，原有變量的所有方差均可被解釋，變量的共同度均為1。“提取”列是按要求提取特征根時(shí)的共同度，由表4可知，所有變量的絕大部分信息（全部都大于87%）可被因子解釋，變量信息丟失較少，因此，本次因子分析提取的總體效果較為理想。

2.2.3 因子分析的總方差解釋

表5描述了因子初始解情況和因子的抽取情況。表中顯示只抽取了1個(gè)公因子，其特征根值為6.764，解釋了原有7個(gè)變量總方差的96.632%，從比例上來(lái)看是較好的保留了原有變量的信息，因此公因子的提取較為理想。

2.2.4 因子載荷矩陣

通過載荷系數(shù)大小可以分析不同公因子所反映的主要指標(biāo)的區(qū)別，如表6所示。從結(jié)果來(lái)看，公因子1在7個(gè)指標(biāo)上的載荷值都很大，故可作為綜合因子值看待。

表5 解釋的總方差

表6 成份矩陣

圖1 綜合因子值與江西GDP散點(diǎn)圖

2.2.5 因子得分系數(shù)

根據(jù)表7可以寫出因子得分系數(shù)：

2.3 曲線估計(jì)結(jié)果

從歷年江西GDP值可知其呈遞增趨勢(shì)，但結(jié)合實(shí)際意義，江西GDP不可能無(wú)限膨脹下去，其會(huì)受到經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)、人口增長(zhǎng)、資源、科技、環(huán)境等客觀條件的制約。由圖1也可初步判斷綜合因子值與江西GDP二者存在曲線延伸趨勢(shì)，于是利用三次曲線回歸模型預(yù)測(cè)江西GDP。三次曲線回歸模型的曲線大致呈現(xiàn)出由低向高地變動(dòng)，而后又出現(xiàn)下降再上升的變動(dòng)趨勢(shì)。運(yùn)用該模型分析的目的是使變動(dòng)趨勢(shì)曲線與觀察期的資料數(shù)據(jù)變動(dòng)趨勢(shì)相適應(yīng)，更好地反映預(yù)測(cè)變化的客觀實(shí)際。

表7 成份得分系數(shù)矩陣

圖2 綜合因子時(shí)間序列圖（1999-2017）

繪制綜合因子變量FAC1-1的時(shí)間序列圖，如圖2所示。

由圖2可見，1999-2017年間綜合因子值總體呈上升趨勢(shì)，但在2009年時(shí)出現(xiàn)異常現(xiàn)象，在江西GDP趨于平穩(wěn)上升增長(zhǎng)的途中卻呈現(xiàn)增長(zhǎng)緩慢局面。由表1數(shù)據(jù)可知，1999-2008年江西GDP總體呈平穩(wěn)上升且增長(zhǎng)速度加快的趨勢(shì)，但2009年與2008年相比，江西GDP增長(zhǎng)速度明顯較緩慢，2010年以后持續(xù)增長(zhǎng)且增長(zhǎng)速度與2010年之前相比是穩(wěn)而較快，這是因?yàn)?009年受全球金融危機(jī)的影響經(jīng)濟(jì)低迷，江西GDP增長(zhǎng)較為緩慢。為了減少誤差，將綜合因子變量FAC1-1的時(shí)間序列圖首先作為一個(gè)時(shí)間段來(lái)研究，即1999-2017年共19年的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，然后將1999-2017年分為1999-2008年和2009-2017年兩個(gè)時(shí)間段分別研究。

圖3 綜合因子時(shí)間序列圖（1999-2008）

圖4 綜合因子時(shí)間序列圖（2009-2017）

圖5 三次曲線回歸模型的估計(jì)值與實(shí)際值的比較（1999-2017）

1999-2017年作為兩個(gè)時(shí)間段分別進(jìn)行研究，得到1999-2008年綜合因子時(shí)間序列圖，如圖3所示。

2009-2017年綜合因子時(shí)間序列圖如圖4所示。

為便于觀察比較，將1999-2017年的江西GDP實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的折線圖繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系中，如圖5所示。

為便于觀察比較，將1999-2008年的江西GDP實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的折線圖繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系中，如圖6所示。

為便于觀察比較，將2009-2017年的江西GDP實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的折線圖繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系中，如圖7所示。

通過以上分析可知，2009-2017年作為一個(gè)時(shí)間段，三次曲線回歸模型的估計(jì)值與實(shí)際值偏差較小，擬合效果較好，能夠基本滿足江西GDP預(yù)測(cè)的需求。

3 結(jié)語(yǔ)

圖6 三次曲線回歸模型的估計(jì)值與實(shí)際值的比較（1999-2008）

圖7 三次曲線回歸模型的估計(jì)值與實(shí)際值的比較（2009-2017）

研究可知，三大產(chǎn)業(yè)中，第一產(chǎn)業(yè)發(fā)展雖較為穩(wěn)定，但作為農(nóng)業(yè)大省發(fā)展慢，對(duì)GDP的貢獻(xiàn)不大，因此農(nóng)業(yè)問題必須得到高度重視，保護(hù)好耕地資源，大力推進(jìn)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田建設(shè)，合理規(guī)劃現(xiàn)有資源，利用高科技手段，尋找新路徑，加快農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，建立可持續(xù)的生態(tài)型農(nóng)業(yè)，鞏固江西農(nóng)業(yè)大省的地位，提高農(nóng)業(yè)貢獻(xiàn)度。另，作為內(nèi)陸省份，江西出口業(yè)發(fā)展緩慢，一方面應(yīng)采取積極有效措施創(chuàng)造良好的出口環(huán)境，另一方面應(yīng)充分利用生態(tài)優(yōu)勢(shì)，大力發(fā)展綠色（有機(jī)）農(nóng)產(chǎn)品出口，同時(shí)在穩(wěn)定和擴(kuò)大傳統(tǒng)市場(chǎng)的前提下，應(yīng)積極開拓新興市場(chǎng)，優(yōu)化出口市場(chǎng)結(jié)構(gòu)，有效化解貿(mào)易壁壘風(fēng)險(xiǎn)。同樣，鑒于江西旅游資源的豐富多樣性，江西旅游業(yè)發(fā)展?jié)摿Υ螅瑸榇宋覀儜?yīng)突出江西旅游業(yè)奇特山水、紅色搖籃、陶瓷藝術(shù)等特色，同時(shí)大力開發(fā)其他有價(jià)值的旅游資源，合理規(guī)劃旅游業(yè)發(fā)展，展開旅游生產(chǎn)力布局，塑造好江西旅游業(yè)的整體形象，增強(qiáng)旅游產(chǎn)業(yè)的核心競(jìng)爭(zhēng)力，使之成為江西省新的經(jīng)濟(jì)支柱。