剛度連續、單調且光滑變化的粗糙界面法向彈塑性接觸模型

肖會芳，孫韻韻，徐金梧

(1.北京科技大學 機械工程學院，北京，100083；2.北京科技大學 鋼鐵共性技術協同創新中心，北京，100083)

粗糙接觸界面廣泛存在于機械結構與機器設備中，例如齒輪的輪齒嚙合界面、軸承的滾動體-滾道界面、機床螺栓聯接界面、高速列車的車輪-軌道形成的輪軌界面等[1-4]。粗糙界面接觸剛度是機械結構整體剛度的重要組成部分，也是描述界面特性最重要的參數之一，其變化直接影響界面以及機械裝備系統的靜態特性和動力學特性，包括接觸壓力分布、振動響應特性、磨損特性以及工作穩定性等[5-7]。因此，粗糙界面法向接觸剛度的準確計算對機械結構與系統的性能分析與預測至關重要。在微觀尺度下，粗糙表面可以看成是具有一定曲率半徑的單個微凸體按照不同的分布特征形成的整體。隨著外部載荷增加，微凸體的變形量增大，單個微凸體的變形狀態經歷彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形。其中，彈性變形階段的接觸特征通常采用Hertizan 接觸模型表征[8]；完全塑性變形階段的接觸特征通常采用線性硬度模型表征[9]。而處于中間過渡區的彈塑性變形階段接觸模型，需要保證微凸體的接觸狀態變量，包括接觸壓力、接觸載荷和接觸剛度等，從彈性階段單調、連續且光滑過渡到完全塑性階段。為了滿足不同接觸狀態之間單調、連續且光滑的條件，研究人員提出了不同的彈塑性模型來表征界面的法向接觸特性。ZHAO等[10]基于CHANG等[11]的彈-塑性模型，利用插值方法建立了彈塑性變形狀態下實際接觸面積、平均接觸壓力與法向接近量之間的關系，提出了一種粗糙界面的彈塑性接觸模型(ZMC 模型)。但是，平均接觸壓力和接觸載荷的變化在臨界點處不光滑，導致接觸剛度在臨界點處不連續，且剛度變化不是單調的。趙永武等[12]進一步對ZMC 模型進行改進，基于三次樣板函數插值的方法，提出了一種在臨界點滿足連續性和光滑性要求的法向接觸模型(MZMC 模型)。雖然接觸剛度隨法向變形量的變化關系是連續的，但是不光滑和非單調。BRAKE[13]采用Hermit 多項式插值的方法，提出了一種滿足不同接觸狀態之間光滑和連續過渡的粗糙表面彈塑性接觸模型。但是，由于Hermit 多項式的階次較高，插值獲得的彈塑性階段平均接觸壓力與法向變形量之間的關系曲線出現振蕩，使得接觸壓力和接觸剛度的變化過程并非單調。徐超等[14]提出一種利用低階橢圓曲線插值進行解析建模的方法，建立了粗糙界面彈塑性階段接觸模型，該模型能夠描述微凸體的接觸壓力和接觸面積隨法向接近量單調、連續和光滑的變化過程，但是，界面的法向接觸剛度仍然具有非單調的缺點。針對上述彈塑性接觸模型的不足，本文作者提出一種新的粗糙界面法向接觸彈塑性模型，該模型能夠描述微凸體的接觸狀態變量，包括接觸載荷、接觸面積和接觸剛度，在不同接觸狀態之間連續、光滑且單調變化。在此基礎上，基于粗糙界面微凸體高度分布概率密度函數，推導獲得整個粗糙界面的法向接觸剛度表達式。

1 單個微凸體接觸剛度模型

單個微凸體與剛性平面的接觸示意圖如圖1所示。表面粗糙體的形狀為球體且各粗糙體的曲率半徑均為β，單個微凸體的高度z定義為微凸體頂點與微凸體高度均線間的距離。微凸體均線與粗糙面均線之間的距離為dd，dd=1.15σs[15]，σs為粗糙微凸體高度分布的標準偏差。

圖1 單個微凸體與剛性平面接觸示意圖Fig.1 Geometry of single asperity contact

1.1 彈性接觸(w＜w1)

根據Hertzian 彈性接觸理論，其彈性接觸力可以表示為[8]

式中：E為接觸界面的等效彈性模量；w為彈性變形量，可以表示為

由式(5)可知，彈性變形階段，單個微凸體的法向接觸剛度與變形量呈非線性變化關系。微凸體從彈性變形過渡到彈塑性變形的臨界變形量w1[16]為

式中：H為材料硬度；K為硬度系數，與材料的泊松比相關，K=0.454+0.41v。

1.2 完全塑性接觸(w＞w2)

當微凸體的法向變形量w＞w2時，微凸體發生完全塑性變形，其臨界變形量w2[17]為

此時，界面的平均接觸壓力pp為材料的硬度H，即

微凸體的法向接觸剛度kp可以表示為

由式(11)可知，完全塑性變形階段，單個微凸體的法向接觸剛度為常數，與變形量無關。

1.3 彈塑性接觸(w1＜w＜w2)

當微凸體的變形量w1＜w＜w2時，界面處于彈塑性變形階段。隨著微凸體變形量增大，微凸體從彈性變形過渡到彈塑性變形，直至完全塑性變形階段的整個過程，接觸狀態參量應該滿足連續、光滑且單調的條件。為了滿足不同接觸狀態之間單調、連續且光滑的條件，研究人員提出了不同的彈塑性模型，以表征界面的法向接觸特性。

1.3.1 ZMC 模型

根據ZMC 彈塑性接觸模型，彈塑性變形階段的平均接觸壓力為[10]

1.3.2 改進的ZMC 模型(MZMC 模型)

其中：

1.3.3 Brake 模型

其中：

則接觸剛度kep(w)可以表示為

1.3.4 Xu 模型

其中：

1.3.5 本文模型

為了滿足單個微凸體接觸剛度在彈性、彈塑性和完全塑性的不同接觸之間變化的連續、光滑和單調性要求，本文提出采用低階橢圓曲線來表征微凸體彈塑性階段接觸剛度，并通過對剛度表達式積分，獲得微凸體彈塑性階段載荷關系式的彈塑性接觸模型。

單個微凸體接觸剛度的表達式為

其中：C0和(kp-C1)分別為橢圓函數的長半軸和短半軸，kp=2πβH，C0和C1為待定系數，由彈性變形到彈塑性變形臨界變形量w1處剛度的連續性和光滑性條件確定。

對式(26)求導，可得

將連續性和光滑性邊界條件式(27)代入式(26)和(28)，則有

單個微凸體的接觸剛度可以表示為

其中：C2為待定系數，由彈性變形到彈塑性變形臨界變形量w1處載荷的連續性條件確定，即

將式(32)代入式(31)，有

單個微凸體的接觸面積表達式采用三次樣板函數描述，表達式為

其中：C3和C4為待定系數，由臨界變形量w1和w2處面積的連續性條件確定，

將式(35)代入式(34)，有

1.4 不同模型計算結果分析

采用不同彈塑性模型計算獲得的單個微凸體的接觸面積、接觸載荷和接觸剛度隨法向變形量的變化關系曲線，分別如圖2～4所示，計算參數為E=52 GPa，v=0.25，H=6.2 GPa，β=0.182 mm。由圖2可知：對5種不同的彈塑性接觸模型，在整個彈性、彈塑性和完全塑性變形狀態，接觸面積隨法向變形量的變化關系曲線均為單調、連續且光滑的。

圖2 不同模型計算獲得的單個微凸體接觸面積Fig.2 Contact area of single asperity contact for different models

接觸載荷的變化關系曲線卻并非均為單調、連續且光滑，如圖3所示。對ZMC 模型，接觸載荷隨法向變形量的變化曲線單調且連續，但是在臨界變形量w2處不光滑，由此導致接觸剛度在臨界變形量w2處不連續，如圖4所示。對MZMC 模型和Brake 模型，由于接觸載荷表達式多項式的階次較高，使得接觸載荷隨法向變形量的變化曲線非單調，導致接觸剛度隨法向變形量的變化出現震蕩，甚至出現負剛度。對Xu模型，接觸載荷隨法向變形量的變化曲線單調、連續且光滑，但是其接觸剛度隨法向變形量的變化曲線卻非單調。對本文提出的模型，接觸載荷和接觸剛度隨法向變形量的變化曲線均為單調、連續且光滑變化。

圖3 不同模型計算獲得的單個微凸體接觸載荷對比Fig.3 Contact force of single asperity contact for different models

圖4 不同模型計算獲得的單個微凸體接觸剛度Fig.4 Contact stiffness of single asperity contact

2 粗糙界面接觸剛度模型

采用GW 統計學模型計算粗糙界面上接觸微凸體數[18]，并將單個微凸體接觸剛度和載荷對微凸體數進行積分，獲得粗糙界面接觸的總剛度和總載荷。粗糙界面接觸模型示意圖如圖5所示。

圖5 粗糙表面與剛性平面的統計接觸模型Fig.5 Statistical micro-contact model of rough surface

引入如下量綱一的量：

當微凸體高度zn 大于粗糙面均線與剛性平面之間的距離hn-dn時，微凸體與剛性平面接觸，其接觸概率為[18]

式中：N為粗糙表面微凸體總數，N=nAn；n為微凸體分布密度；An為名義接觸面積。

將不同變形階段單個微凸體的剛度表達式和載荷表達式分別代入式(38)和(39)，則粗糙界面的接觸剛度和載荷可以分別表示為

3 粗糙界面接觸剛度模型驗證與結果分析

3.1 模型驗證

文獻[19]采用超聲反射系數法測量了不同接觸面積鈦合金Ti-6Al-4V 粗糙界面的接觸剛度，鈦合金的材料參數為E=115 GPa,v=0.31，界面的微凸體高度標準偏差σs=2.3 μm。采用本文接觸剛度模型式(40)和式(41)計算獲得的法向固體接觸剛度-載荷變化關系曲線與文獻[19]實驗測量獲得的結果對比圖，如圖6所示。由圖6可知，模型的計算結果與實驗測試結果基本一致，說明本文的界面固體接觸剛度的模型是有效的、可靠的。

圖6 粗糙界面固體接觸剛度的模型計算結果與實驗結果[19]對比Fig.6 Comparison of solid contact stiffness versus pressure between model results and experimental results[19]for different nominal area

3.2 不同粗糙度界面剛度

光滑界面、中等粗糙界面和粗糙界面的表面形貌參數[20]如表1所示。對不同粗糙度界面，采用本文提出的彈性-彈塑性-完全塑性剛度模型式(40)和式(41)計算獲得的界面接觸總剛度隨接觸載荷的變化關系曲線如圖7所示，并與純彈性接觸GW 模型計算獲得的剛度-載荷關系曲線進行對比。

表1 不同粗糙度表面形貌參數Table 1 Parameters of surfaces with different roughness

圖7 不同粗糙度界面的法向接觸剛度隨載荷的變化關系曲線Fig.7 Variation of normal contact stiffness with normal load for different roughness

由圖7可知：考慮彈性-彈塑性-完全塑性不同接觸狀態剛度模型計算獲得的剛度大于純彈性GW 接觸模型的剛度計算值，且隨著表面粗糙度增大，2 種不同模型獲得的剛度差值逐漸增大。這是由于隨著表面粗糙度增大，界面從彈性變形過渡到彈塑性變形的臨界變形量w1逐漸減小，彈塑性變形階段對界面接觸狀態的影響逐漸增大，導致2 種模型獲得的剛度差值逐漸增大。

由圖7還可知：粗糙界面接觸剛度隨法向載荷呈非線性遞增，且增大的幅度隨載荷的增大逐漸減小(曲線的斜率逐漸減小)；隨著表面粗糙度增大，法向接觸剛度逐漸減小。

4 結論

1)提出一種新的基于低階橢圓曲線的微凸體法向彈塑性接觸剛度模型，該模型考慮粗糙界面的彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形接觸狀態，且保證不同接觸狀態之間微凸體的接觸剛度、接觸載荷和接觸面積均連續、單調且光滑變化，克服了以往模型的接觸剛度非連續、非單調的缺點。

2)基于微凸體高度分布概率密度函數，推導獲得了整個粗糙界面接觸剛度和接觸載荷表達式，建立了整個粗糙界面接觸剛度模型。

3)模型計算結果與實驗測量結果基本一致，驗證了本文建立的粗糙界面接觸剛度模型的有效性。

4)考慮彈性-彈塑性-完全塑性不同接觸狀態剛度模型計算獲得的剛度大于純彈性接觸GW 模型剛度計算值，且隨著表面粗糙度增大，2 種模型獲得的剛度差值遞增。

5)粗糙界面接觸剛度隨法向載荷呈非線性遞增，隨著表面粗糙度的增大而減小。