K-結構變換下的非線性Cauchy-Riemann方程

王 根

（浙江師范大學 數學與計算機科學學院，浙江 金華 321004）

復分析中的Cauchy-Riemann偏微分方程組提供了復可微函數在開集中滿足全純函數的充要條件[1-2]，全純函數是復理論研究的核心之一。因此,圍繞著Cauchy-Riemann方程很多學者都有過討論與研究，T Parlakg?rür, OK Pashaev[3], I.N.Vekua, T.Carleman, Picard I, Tutschke W, J.D.Gray, S.A.Morris,Looman, H, Menchoff, D, L.Bers, G.T Makatsaria,Z.D.Usmanov,H.Najmiddinov,

R.Ahmedov, A.Tungatarov, G Giorgadze, V Jikia,A Gelbart, Friedman, Avner, H Begehr, DaiD Q, Reissig M, A.Timofeev,等人均是研究廣義解析函數或者Carleman-Bers-Vekua （CBV）方程的著名學者[4-12]。

Picard[6]在更一般廣義的一階微分方程橢圓系統的基礎上提出了相似理論建立的方法，

在關于系數的一般假設下,系統（1）等價于系統

這是Hilbert首次研究的。Carleman[7]得到了系統（2）解的唯一性質——它們的唯一性。

系統（2）有如下形式

這篇文章從函數變換的角度對復函數w(z)做了一般的結構變換來討論（1）或（2）式中各項系數之間的聯系，其中K(z)=k1+ik2為結構函數且只與復數域C有關，討論了復函數的可微和解析性，并結合Carleman-Bers-Vekua方程進行了相關討論。C為復數域，R為實數域。

1 記號與相關定理

設C是復數域,在復分析中引進Wirtinger記號[2-4]

對于可微函數w=w(z,z-),則有微分式dw=?w+其中的算子為因此得到d=

定理1[4]設w∶U→C是定義在域U上的函數，z0∈U，那么w在z0∈U處可微的充要條件為w在z0∈U處實可微且在可微的情況下，w′(z0)

定理2[2]在點z∈C為R可微的函數w=u+iv,在此點為C可微的充要條件是它滿足Cauchy-Riemann條件

式中u,v為實函數,本文總是假定u,v實可微。

定理3[3]若實函數u(x,y)和v(x,y)滿足非線性CR方程組

式中G(u,v)和F(u,v)均為Cauchy-Riemann方程的解Fu=Gv,Fv=-Gu,則u(x,y)和v(x,y)滿足非線性Laplace方程組

Cauchy-Riemann方程組是線性方程,它們只能解決線性Laplace方程，文獻[3]推廣了CR方程組用于解決非線性Laplace方程組。

2 主要結果

定義1設Ω?C是一個開集，復函數w(z)=u+iv以及結構函數K(z)=k1+ik2都是定義在Ω上的復函數，則K-變換使得

式中k1,k2均為變量x,y的實變函數，因此分量表達式為

這里需要說明的是結構函數K(z)≠0 的任意性，一般情況下，為了突出經典復變函數的地位，我們可以取結構函數為K(z)=1+κ(z)，式中κ(z)為任意結構復函數，因此，我們根據K-變換（8）來討論復變函數w的一般廣義可微性，由于結構函數K的任意性，因此，通過這種變換可以得到任何可能的對傳統線性Cauchy-Riemann方程的推廣情況，用矩陣表示K-變換（8）即為

其中S為結構矩陣，一般情況下，我們取k1=1+α，則有

定義2設函數(z)在點z0的鄰域內或包含z0的區域Ω內有定義,極限為函數(z)在點z0的導數，即

這時稱函數w(z)在z0點K-結構可微。若w(z)在區域Ω中每點都K-結構可微，就稱w是Ω中的K-結構全純函數，或K-結構解析函數。

事實上，根據以上定義，由點z0的任意性，得到K-結構導數的表達式為

以上揭示了K-結構函數的不可或缺性，它的重要性對于拓展一般的復導數意義重大，同時，我們可以抽象出K-結構導數算子及它的共軛算符如下列推論。

推論1 C上的廣義結構Wirtinger導數算子為

顯然，它是Wirtinger導數算子（4）的自然延拓，稱為廣義結構Wirtinger導數算子。運用整體性的表示法，也就是下面，我們來討論K-結構微分（10）的分量表達式，即廣義（9）的方程組表達式。通過計算可以容易得到表達式

將系統（1）與系統（11）進行對比，易得系數的對應關系

顯然地，所有系數都只與結構函數K的分量k1，k2及其一階偏導數有關,也就是只與結構函數有關，這樣一來，我們就極大地簡化了系統（1），而只需研究系統（11）或者以下的K-結構全純條件就行。因此Picard研究的系統（1）可以統一用關于結構函數K的形式表示,也就是只要知道了結構函數K的具體表達形式，則系統（1）就可以被唯一確定,通過在復數域C上加上額外的附加條件,則可以簡化得到如Carleman-Bers-Vekua方程的系統。

若將Carleman-Bers-Vekua方程系統（2）與系統（11）對比易得系數的對應關系為

此時K=k1,與定理3相比較易得此時

分量k1，k2的取值也就意味著結構函數K由復變函數形式變為實函數形式K=k1或者純復函數形K=ik2。Carleman-Bers-Vekua方程系統（2）可以由這兩種形式構成，且系數a，b，c，d只與結構函數K的分量的一階偏導數k1y，k2y，k1x，k2x的四則運算所唯一確定。

利用推論1的廣義結構Wirtinger導數，（11）可以用更加簡潔的形式表示因此得到如下的定理。

定理4 設Ω? C是開集，復函數w(z)=u+iv是Ω上的K-結構全純當且僅當

成立，對于?z∈Ω? C。若w在整個復數域C都K-結構全純，則w就稱為K-結構整函數。它的解w稱為廣義結構解析函數。

證明：由推論1的廣義結構Wirtinger導數，（12）很顯然可以自然地推導出分量表達式系統（11）。

注意到K-結構全純條件是一個等式形式K(z)記所有的K-結構全純函數的集合為SHol。

推論2 在復數域Ω? C上定義的復函數w(z)∈SHol，若它滿足以下條件：

例1：設K=z，此時K-結構全純條件為=0。

例2：設K=1+z-，此時K-結構全純條件為

3 總結

事實上，K-結構全純條件定理4可以從單復數域C自然地推廣到多復數變量上Cn，因此我們可以得到結論如下：

1.K=1，Cauchy-Riemann方程，Cn上的解析條件為也就是，1-結構全純條件。

2.K=1+κ，非線性結構Cauchy-Riemann方程，Cn上的廣義解析條件為

也就是，K結構全純條件。若κ |z=z0=0，κ-結構全純條件為

3.K=K1+iK2，Cn上的非線性K-結構Cauchy-Riemann方程為K也就是，K-結構全純。

在單復變C中，n=1且方程形式保持不變。由此可見，K-結構變換具有統一性，能從數學的角度合理地推出其它可能對線性Cauchy-Riemann方程的推廣形式。