以“植樹問題”為例探討數學思想方法教學

李林婧

（文山學院 教育科學學院，云南 文山 663099）

《義務教育數學課程標準（2011版）》的總目標中明確提出了“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）[1]，表明在小學階段數學思想方法與知識技能同等重要，必需習得。這就好比授人以魚不如授人以漁，魚在此為必要的基礎知識與基本技能；而漁為基本思想方法與活動經驗，有了捕魚的方法，學生想要魚也容易多了。

可是，在當前的小學教學中，數學思想方法教學并沒有得到足夠的重視，教材中潛藏的數學思想方法未能夠得到充分應用，有的教師甚至認為數學思想方法講多了容易增加學生負擔。數學思想方法的滲透能不能提高學習效率，小學教師應該如何進行數學思想方法的教學呢？查閱文獻時，筆者發現雖然較多研究者提出了數學思想教學的方法和建議，但是都基于理論研究，實踐研究較少。因此筆者以人教版五年級上冊數學廣角——“植樹問題”單元為例展開研究，查閱“植樹問題”的教學設計與教研論文，通過觀察法與個案研究等方法對這一單元教學中可能存在的問題進行梳理，對“植樹問題”的數學思想方法教學以及本單元涉及的重要數學思想方法的滲透提出個人思考。

1 關于數學廣角——“植樹問題”分析

本教學單元主要討論隔段沿指定路線植樹的問題，內容緊貼生活，活動性和操作性比較強，具有積累活動經驗、滲透數學思想方法等特征，同時也可延伸到解決其他生活問題方面。但是因為它可存在的變量多、情況多，導致學生學習時出現無頭緒的情況，因此教與學都有著較大的探究空間。

1.1 “植樹問題”教學內容分析

“植樹問題”設計的兩個重要變量：坑數，即植樹問題一棵樹對應挖一個坑，這樣描述有利于今后學生演變到對應其他類似問題；間隔，表示兩個坑之間有一段距離，間隔數即有幾個間隔的問題。

“植樹問題”的教學內容中涉及兩個等量關系：第一個關系是全長÷平均間距=間隔數；第二個關系是坑數、間隔數之間的關系，需要分三種情況討論，兩端都不栽（坑數比間隔數少1）、僅一端栽（坑數與間隔數一樣多）、兩端都栽（坑數比間隔數多1）。而實際兩個關系式中，坑數只與間隔數有關系，與間距大小，是否為平均間距無關；但是知道平均間距和總長可以求出間隔數。

1.2 “植樹問題”涉及的數學思想方法

本教學單元的主要數學思想方法有：抽象的方法，數形結合思想、歸納猜想、模型的方法，分類討論、類比的思想、化歸的方法。如何讓學生經歷一系列數學活動，積累數學經驗，體會、認識這些重要的思想方法，今后如何將此思考方式與方法遷移到其他數學問題上，是教師需要思考的問題。

1.3 “植樹問題”衍生或者轉化的系列問題

“植樹問題”的衍生問題：環形植樹問題，方陣植樹問題、方陣外圈植樹問題等；

“植樹問題”的轉化問題：“數手指”“鋸木頭”“裝路燈”“擺花盆”“打木樁”“敲鐘”“爬樓梯”問題等。

教師在教學中可以盡量收集衍生問題并進行歸類，在縱橫聯系中促使學生從不同角度、不同側面去思考和探索問題，加深對知識的理解，進一步拓寬思路，激活了思維數學思想方法就能夠水到渠成地滲透給了學生[2]。通過對“模型的方法”“化歸的方法”的介紹，讓學生嘗試利用數學思想方法進行知識的遷移與轉化，有利于學生體驗數學研究，訓練思維能力。

1.4 教師教學與學生學習中存在的困難、成因分析及教學處理建議

首先，關于探索。對于教師來說，受課堂時間所限難以給足學生時間細致深入地自主探索，學生自主解決問題的能力難以提升；對于學生來說，教材例題數據大、畫圖困難，且同時出現兩個需要探索得出結論的模型（等量關系）。學生短時間內既要猜想驗證得出（兩端都種的）模型關系，又要理清題意解決問題，除了接受能力強的同學，多數學生會思路混亂、產生畏難情緒。降低了解決問題的興趣，遇見問題沒有頭緒，學生開始生吞活剝地硬套公式，解題就忽對忽錯[3]。筆者建議適當改良例題情景，用簡單的數據、讓學生有充裕的時間經歷對“坑數”與“間隔數”的探究和比較，并找到三種情況內在的聯系。因為對學生來說，夠得著的問題才有興趣經歷猜想、驗證和理解。

其次，內容安排。在一個課時內，教師一般只能完成教材例題中“植樹問題”兩端都栽的這一種情況討論，到第二個課時才能進行另外兩種情況（兩端不栽，一端栽）的討論。這樣割裂的方式不利于學生對這三種情況進行充分對比和深入理解，同時也讓學生錯失了理解分類討論的最佳時期。

再次，數學思想方法滲透。有的教師本身缺少對數學思想方法的認識與思考，導致本單元的教學講解不夠深入，不能體現“數學廣角”編寫的初衷。教師講解不到位，學生建立模型的過程只能靠死記硬背，在解決如環形植樹、打木樁等實際問題時，更難以轉化應用。對于轉化應用，筆者建議將 “植樹問題”的系列問題羅列出來，課堂中完成植樹模型討論后，進一步探討這系列問題如何進行轉化求解，并總結“化歸方法”，歸納學生解決類似問題的思路。

2 “植樹問題”的數學思想方法教學探究

人教版小學數學五年級的 “數學廣角”，學習的主要目的是讓學生掌握一些重要的數學思想方法，經歷自主探索，在生活中逐步增加解決問題的經驗與能力，屬于思維拓展性學習[4]。通過以上分析，筆者將“植樹問題”設計為以探究應用為主線，“數學思想方法”為暗線，由淺入深進行的教學環節。順序如下：

“數形結合”思想滲透：教學引入改良為，一只可愛的兔子想在它的茅屋旁種一排胡蘿卜充饑，請大家幫忙種種地。（課件展示兔子與茅屋圖片）如何種呢？學生在這個時候對問題產生了興趣，通過小組討論，確定將“一條線段”表示為種一排，一個蘿卜一個坑，一個“圓圈”表示為挖一個坑，初步確定問題為在一條線段上畫坑。目的：溝通了圖形與現實問題的聯系，加強了對題意的理解和方法應用。

“分類討論”的思想滲透：學生開始在線段上畫圖挖坑，教師可通過現實問題提示兩個坑之間要有間隔。坑的個數可進行限制，如果教師能夠掌控課堂，也可不加限制。學生畫好圖后進行小組討論，找出線段上不同的排列（栽種方法）。經過展示、對比、分析，引導學生描述出分類方法為：僅一端栽、兩端都栽、兩端不栽。學生在自己的圖上標注出種法，小組內互相檢查批改。目的：通過此環節，讓學生會畫圖分析“植樹問題”的三種情況。

“歸納法”的思想滲透：從“僅一端栽”開始討論（此處可依據學生喜好選擇情況進行討論）。從畫一個坑開始依次到多個坑，通過邊畫圖邊數清坑數與間隔數的方法，歸納出坑數與間隔數間的對應關系（教師可點撥觀察的順序）。

“模型的方法”滲透：當學生找到“僅一端栽”情況的坑數與間隔數對應關系時，嘗試讓學生用數學語言表述并用等式表示為，坑數＝間隔數；則“兩端不栽”畫圖可得端點處少1個坑而間隔數沒變化，等式為，坑數＝間隔數-1；以此類推，兩端栽為，坑數＝間隔數＋1。目的：學生通過歸納推理與建立模型，更進一步整理三種情況的思路；還可以背個順口溜，即“與間隔數相比，兩端不栽坑少1，僅一端栽坑相同，兩端都栽坑多1”。

“化歸方法”的滲透：首先教師嘗試給出間隔數請學生求坑數，考察學生能否會分類討論；再給出坑數請學生分情況討論間隔數，加深學生對模型的理解；然后，教師給出簡單的環形植樹問題（轉化為僅一端栽情況），“數手指”問題（轉化為兩端都栽情況），“鋸木頭”問題（轉化為兩端不栽情況），“鐘打點”問題（轉化為兩端都栽情況），“爬樓梯”問題（轉化為僅一端栽情況）等，嘗試引導學生通過“植樹問題”的學習轉化到新的問題模型。目的是讓學生初步的感知化歸的方法，學會將未知問題轉化為已知模型，今后解決問題時能夠考慮應用此方法。

總結“數學思想方法”：教師在講授完植樹問題以及植樹的相關問題后，及時按講課順序總結思路并對應歸納使用的數學思想方法。五年級的學生已經具備通過具體事例理解概念的能力，充分詮釋數學思想方法有助于學生的轉化應用，教師有必要進行數學思想方法的總結。

以上教學設計，筆者選擇暑期四年級升五年級、數學成績、思維能力均屬中等水平的小學生進行教學試驗，學時一小時。通過觀察學生的學習發現，教學情景越簡單有趣，學生越有興趣參與其中；教學提問越有步驟和針對性，學生的行動力越好；在充裕時間下，學生對于變量越少的探究，建立模型和解決問題的能力越高。對數學思想方法的總結，有助于學生對知識的遷移。通過教學試驗后，學生對植樹模型以及植樹問題的分類討論清楚明確，對解決此類問題產生了濃厚的興趣；數學思想方法的應用與概括使學生思考問題的方法和角度更準確，對中等難度問題的解題方法更明確、正確率更高。人教版教材的內容和習題則作為學生自主練習、復習鞏固的部分展開。對于教材中稍難的題目，只要學生的思路正確，獨立思考時間足夠或者有教師稍加點撥就都能夠自行轉化為已知模型。

3 “植樹問題”教學為例的其它教學建議

3.1 學生課后畫思維導圖

思維導圖作為一種筆記方法，它和傳統的直線記錄方法完全不同，以直觀形象的圖示建立起各個概念之間的聯系，是模擬思維網絡系統進行的記憶、歸納和創造的工具[5]。課后學生將課堂中思考的過程、探索發現的規律、解決問題的方法形成書面導圖，有助于加深記憶，使得知識結構更加穩定、有條理。同時，教師依據學生畫的框架圖，可以找到學生學習中的缺漏并及時進行補充強調。

3.2 對學生要求“下有保底，上不封頂”

由于學生思維能力不均衡，接受能力不同，建議教師制定有差異的教學目標，由淺入深地設置問題；進行習題的難度系數歸類，按照思維訓練層次逐漸拔高（分為基礎題、提升提、拔高題等），讓學生根據學習能力逐漸選擇解決更難的問題。對于接受能力很強的學生，還可以再增設一些開放性作業和問題，拓展學生的思維并從中發現問題。

3.3 教師要有提升自身數學素養的意識

“數學廣角”蘊含著的數學思想方法，對部分教師而言可能未曾學習過也是新內容，對于大部分教師而言有一定了解卻從未深入探討過。教師如果缺乏數學思想方法在理論方面的深層次認識，將很難對內容有更深的把握，教學中難免會出現這樣那樣的問題，唯有不斷地學習才能夠增加深入理解[6]。

數學思想方法是數學的精髓，正如米山國藏所說“在學校學的數學知識，畢業后若沒有什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益[7]。”然而，教科書中的很多數學思想并不是顯而易見的，甚至體現得還不夠，教師要在深挖教材的基礎上，采取多樣化的形式把蘊含在其中的數學基本思想凸顯出來，有意識地對數學基本思想進行升華和提煉[8]。數學基本思想作為義務教育課程標準的四基之一，對教師的數學專業素養提出了更高的要求。希望通過本論文能夠增加小學教師對數學基本思想及數學廣角認識的思考，同時對今后“植樹問題”的教學思路提供一定的參考。