脂潤(rùn)滑空心圓錐滾子軸承剛度特性分析

吳正海，徐穎強(qiáng)，趙興

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072)

空心圓錐滾子軸承作為分離型軸承，可承受徑向、軸向及聯(lián)合載荷，具有可調(diào)節(jié)性好和壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)，圓錐滾子的空腔結(jié)構(gòu)有效減小了離心力，增加了散熱表面積和滾子柔性，提高了軸承熱承載性能和回轉(zhuǎn)精度，被廣泛應(yīng)用于精密和高速機(jī)械設(shè)備中。由于圓錐滾子軸承空心度的設(shè)計(jì)必然會(huì)影響軸承剛度特性，進(jìn)而影響軸承振動(dòng)、噪聲和壽命等問(wèn)題，目前90%的滾動(dòng)軸承采用脂潤(rùn)滑[1]，故有必要對(duì)脂潤(rùn)滑空心圓錐滾子軸承剛度特性進(jìn)行分析。

目前，對(duì)滾動(dòng)軸承接觸問(wèn)題和剛度的研究已經(jīng)很多，文獻(xiàn)[2]建立了雙列角接觸球軸承動(dòng)剛度仿真模型，并開(kāi)發(fā)了角接觸球軸承剛度仿真軟件；文獻(xiàn)[3]采用解析法分析了滾道缺陷、表面粗糙度等對(duì)球軸承剛度變化和載荷分布的影響；文獻(xiàn)[4]建立了考慮彈流潤(rùn)滑影響的球軸承剛度模型，驗(yàn)證了考慮潤(rùn)滑效應(yīng)進(jìn)行軸承剛度分析的必要性；文獻(xiàn)[5]基于當(dāng)量彈性模量概念和Palmgren經(jīng)驗(yàn)公式分析了空心圓柱滾子軸承接觸變形與載荷的關(guān)系；文獻(xiàn)[6]基于彈流潤(rùn)滑理論和線接觸理論分析了圓柱滾子軸承的接觸剛度；文獻(xiàn)[7]考慮圓錐滾子軸承的承載，對(duì)軸承在非潤(rùn)滑狀態(tài)和動(dòng)態(tài)工作條件下的剛度變化進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[8]基于Hertz接觸理論和彈流潤(rùn)滑理論分析了油潤(rùn)滑圓錐滾子軸承的徑向剛度；文獻(xiàn)[9]基于Palmgren公式和Lundberg-Sj?val理論對(duì)雙列圓錐滾子軸承接觸有限元模型進(jìn)行修正，并分析了接觸應(yīng)力分布情況；文獻(xiàn)[10]分析了軸向預(yù)載荷作用下的圓錐滾子軸承接觸問(wèn)題，分析了采用4種典型修形方式下滾子在非潤(rùn)滑狀態(tài)下的接觸變形和載荷分布；文獻(xiàn)[11]采用切片法建立了非潤(rùn)滑狀態(tài)下的圓錐滾子與滾道接觸模型，對(duì)接觸應(yīng)力分布進(jìn)行了分析。

現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)滾動(dòng)軸承接觸及剛度特性的研究較多，但對(duì)脂潤(rùn)滑空心圓錐滾子軸承接觸及剛度特性的研究較少。鑒于此，在考慮空心圓錐滾子截面屬性的基礎(chǔ)上，基于切片法、曲梁應(yīng)變和彈性半空間理論對(duì)空心圓錐滾子軸承的接觸特性進(jìn)行分析，并耦合滾子與滾道的接觸剛度和脂膜剛度，對(duì)空心圓錐滾子軸承剛度進(jìn)行分析。

1 脂潤(rùn)滑空心圓錐滾子軸承剛度

1.1 接觸剛度

空心圓錐滾子軸承的滾子和套圈均屬于非等截面結(jié)構(gòu)，且滾子有效長(zhǎng)度小于滾道寬度，因此滾子兩端存在應(yīng)力邊緣效應(yīng)，而Hertz線接觸理論無(wú)法有效反映應(yīng)力邊緣效應(yīng)。空心圓錐滾子與滾道之間屬于非Hertz線接觸問(wèn)題，力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件分別為[10]

(1)

(2)

式中：Ac為接觸區(qū)域；p(x,y)為接觸應(yīng)力；Q為接觸載荷；E′為當(dāng)量彈性模量；δ為滾子與套圈的彈性趨近量；z(x,y)為滾子與套圈接觸表面的初始距離。

如圖1所示，采用切片法對(duì)滾子與滾道接觸進(jìn)行處理，將接觸區(qū)域沿滾子素線方向劃分為s個(gè)切片單元，每個(gè)單元處的接觸寬度為2bi。假定在單元i內(nèi)接觸應(yīng)力pi沿素線方向均勻分布，垂直于素線方向?yàn)镠ertz應(yīng)力分布,即

(3)

式中：pmi為單元中心處的最大接觸應(yīng)力。

圖1 滾子切片法

第i個(gè)切片接觸變形示意圖如圖2所示，圓錐滾子空心度ε為

(4)

式中：Ri為中性層半徑；R2i為滾子半徑。

圖2 第i個(gè)切片接觸變形示意圖

為確定最大接觸應(yīng)力pmi沿素線的分布規(guī)律，需確定單元i內(nèi)pmi與接觸半寬bi的關(guān)系。圖2中，第i個(gè)切片與套圈接觸可視為空心圓柱與實(shí)心圓柱的接觸。根據(jù)光彈性試驗(yàn)，空心圓柱體在集中載荷作用下變形可作為彎曲梁[13]。在載荷Pi作用下，接觸區(qū)域內(nèi)A1點(diǎn)相較于A2點(diǎn)，會(huì)由于彎曲應(yīng)變比接觸點(diǎn)O增加一個(gè)彎曲位移z′。根據(jù)曲梁應(yīng)變理論[14]，彎曲位移為

(5)

式中：r為接觸點(diǎn)在x軸的位置坐標(biāo)；ai為切片寬度；ki為截面模量，可查閱文獻(xiàn)[14]。

根據(jù)(2)式，對(duì)第i個(gè)切片有

(6)

式中:R1i為滾道半徑。

對(duì)(6)式關(guān)于r求導(dǎo)可得

(7)

又因Pi=0.5πbipmi，則接觸應(yīng)力pmi與接觸半寬bi的關(guān)系為

(8)

對(duì)(1)，(2)式進(jìn)行離散化可得

(9)

(10)

,(11)

式中：s為切片總數(shù);Dji為彈性變形影響系數(shù)，是作用在第i個(gè)切片上的單位載荷在第j個(gè)切片處產(chǎn)生的位移。

通過(guò)(9)，(10)式構(gòu)成一個(gè)(s+1)階非線性方程組，結(jié)合接觸應(yīng)力非負(fù)條件p(x,y)≥0，確定最大接觸應(yīng)力pmi和彈性趨近量δ，則第k個(gè)空心圓錐滾子與套圈滾道接觸剛度為

(12)

式中：Qik，Qek分別為滾子與內(nèi)、外圈滾道的接觸載荷；δik，δek為滾子與內(nèi)、外圈的彈性接觸變形量。

1.2 潤(rùn)滑脂膜剛度

考慮空心圓錐滾子軸承的脂潤(rùn)滑狀態(tài)，假設(shè)軸承充分潤(rùn)滑，根據(jù)潤(rùn)滑脂Herschel-Buikley流變模型，得到第i個(gè)切片單元處的接觸壓力Pi和脂膜厚度h0i的關(guān)系為[15]

(13)

式中：le為滾子有效長(zhǎng)度；α為黏壓系數(shù)；φ為塑性黏度；Ui為卷吸速度；n為塑性指數(shù)；τy為屈服應(yīng)力；I(n)為關(guān)于n的常量。

在確定脂膜厚度h0i后，對(duì)(13)式關(guān)于h0i求導(dǎo)可得到第i個(gè)切片處的剛度?Pi/?h0i。每個(gè)切片的脂膜剛度沿滾子素線屬于并聯(lián)關(guān)系，則第k個(gè)承載滾子與套圈滾道間的脂膜剛度為

(14)

1.3 軸承承載分析

考慮滾子慣性力的影響，基于Jones擬靜力學(xué)模型建立第k個(gè)空心滾子的力平衡關(guān)系[12]，即

(15)

式中:li,le,lf分別內(nèi)圈、外圈、擋邊與滾子作用力的力臂；Qfk為擋邊接觸力；Fe為離心力；Me為陀螺力矩;αr為滾子半錐角。

根據(jù)單個(gè)空心滾子受載情況，對(duì)軸承整體進(jìn)行載荷平衡分析，軸承力平衡方程為

(16)

式中：m為承載滾子數(shù)量；T為轉(zhuǎn)換矩陣。

(17)

式中：αi,αf分別為內(nèi)圈接觸角和擋邊接觸角；φk為第k個(gè)滾子的位置角；φFmax為受載最大滾子的位置角。

若已知外載荷F，可以確定單個(gè)圓錐滾子接觸載荷，以及滾子與套圈滾道的彈性接觸變形量和潤(rùn)滑脂膜厚度，然后通過(guò)以下分析獲得空心圓錐滾子軸承的剛度。

1.4 空心圓錐滾子軸承剛度

將接觸變形和脂膜厚度變化等效為彈簧變形，則單個(gè)滾子與滾道接觸副的剛度可等效為接觸剛度和脂膜剛度串聯(lián)，即

(18)

第k個(gè)滾子與滾道接觸副的等效剛度的徑向分量ki(e)kr和軸向分量ki(e)ka為

ki(e)kr=ki(e)kcos2αi(e)，

(19)

ki(e)ka=ki(e)ksin2αi(e)。

(20)

將每個(gè)圓錐滾子與內(nèi)、外圈滾道接觸副剛度的徑向分量串聯(lián)，然后并聯(lián)得到軸承等效徑向剛度為

(21)

將每個(gè)圓錐滾子與內(nèi)、外圈滾道接觸副剛度的軸向分量串聯(lián)，然后并聯(lián)得到軸承等效軸向剛度為

(22)

2 實(shí)例分析

軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1，潤(rùn)滑脂選用國(guó)產(chǎn)聚脲脂，主要參數(shù)見(jiàn)表2。滾子與套圈材料相同，彈性模量為205 GPa，泊松比為0.8。軸承用實(shí)心滾子，在分析時(shí)設(shè)定空心度，且承載最大的滾子中心位于徑向載荷作用線上。

表1 軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 潤(rùn)滑脂流變參數(shù)(30 ℃)

2.1 空心度對(duì)軸承剛度的影響

在轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，徑向載荷為15 kN，軸向載荷為5 kN，預(yù)緊量為0時(shí)，空心度對(duì)軸承剛度的影響如圖3所示。由圖可知：隨空心度增大，徑向和軸向剛度均減小。開(kāi)始時(shí)變化較為平緩，當(dāng)空心度增大到0.2時(shí)，剛度減小速度開(kāi)始增大；當(dāng)空心度為0.8時(shí)，變化又趨于平緩。這是由于空心度越大，同等載荷下的滾子彈性變形也越大，進(jìn)而導(dǎo)致滾子與滾道的接觸剛度減小，使軸承剛度總體呈減小趨勢(shì)。

圖3 空心度對(duì)軸承剛度的影響

2.2 轉(zhuǎn)速對(duì)軸承剛度的影響

在徑向載荷為15 kN，軸向載荷為5 kN，空心度為0.6，預(yù)緊量為0時(shí)，轉(zhuǎn)速n對(duì)軸承剛度的影響如圖4所示。由圖可知：徑向和軸向剛度均隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速增大而減小。這是由于隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速增大，滾子與滾道間的彈流潤(rùn)滑卷吸速度和脂膜厚度增大，脂膜剛度減小[16-18]。同時(shí)，轉(zhuǎn)速越大，滾子離心力和陀螺力矩也越大，滾子與內(nèi)圈滾道的接觸載荷和接觸剛度減小，滾子與外圈滾道的接觸載荷和接觸剛度增大，脂膜剛度和軸承剛度降低。

圖4 轉(zhuǎn)速對(duì)軸承剛度的影響

2.3 載荷對(duì)軸承剛度的影響

在轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，空心度為0.6，軸向載荷為5 kN，預(yù)緊量為0時(shí)，軸承剛度隨徑向載荷Fr的變化如圖5所示。由圖可知：徑向和軸向剛度隨徑向載荷的增大呈先減小后增大的趨勢(shì)。這是由于在軸向載荷一定時(shí)，剛開(kāi)始時(shí)承載滾子數(shù)量隨徑向載荷增大而減少，軸承剛度減小；隨后軸承為半圈承載狀態(tài)，承載滾子數(shù)不再隨徑向載荷增大而減小，剛度呈增大趨勢(shì)。

圖5 徑向載荷對(duì)軸承剛度的影響

在轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，空心度為0.6，徑向載荷為5 kN，預(yù)緊量為0時(shí)，軸承剛度隨軸向載荷Fa的變化如圖6所示。由圖可知：徑向和軸向剛度均隨軸向載荷的增大而增大。這是由于當(dāng)軸向載荷為1 kN時(shí)，承載滾子數(shù)為11，軸向載荷增大到2kN，所有滾子均開(kāi)始承載，在軸向載荷變化范圍內(nèi)軸承各剛度均呈增大趨勢(shì)。

圖6 軸向載荷對(duì)軸承剛度的影響

2.4 預(yù)緊量對(duì)軸承剛度的影響

在徑向載荷、軸向載荷均為0，空心度為0.6，轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時(shí)，軸承剛度隨軸向預(yù)緊量δ的變化如圖7所示。由圖可知：徑向和軸向剛度隨軸向預(yù)緊量先增大后趨于穩(wěn)定。軸承各剛度剛開(kāi)始時(shí)急劇遞增，在預(yù)緊量為25 μm左右時(shí)，變化梯度開(kāi)始減小；此后在預(yù)緊量增大過(guò)程中，剛度變化梯度較為均勻。預(yù)緊量增大顯然有助于提高軸承剛度，但預(yù)緊量增大勢(shì)必會(huì)降低軸承壽命，故在滿足軸承壽命和使用要求的前提下，要合理選取預(yù)緊量。

圖7 預(yù)緊量對(duì)軸承剛度的影響

2.5 軸承轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸承剛度的影響

一般在分析軸承剛度時(shí)，忽略了軸承轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸承剛度的影響[2-9]。開(kāi)始時(shí)承載最大的滾子幾何中心位于徑向載荷作用線上，使軸承轉(zhuǎn)動(dòng)2π/Z角(Z為滾子數(shù))。在徑向載荷為10 kN，軸向載荷為5 kN，空心度為0.6，轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，預(yù)緊量為0時(shí)，滾子轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)軸承剛度的影響如圖8所示。由圖可知：軸承徑向和軸向剛度均隨滾子轉(zhuǎn)動(dòng)角度增大呈周期性波動(dòng)，且2種剛度波動(dòng)規(guī)律趨于一致。表明在軸承動(dòng)力學(xué)和疲勞分析時(shí)，有必要考慮滾子位置或轉(zhuǎn)角對(duì)軸承剛度的影響。

圖8 滾子轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)軸承剛度的影響

2.6 潤(rùn)滑脂流變參數(shù)對(duì)軸承剛度的影響

在徑向載荷為15 kN，軸向載荷為5 kN，空心度為0.6，轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，預(yù)緊量為0時(shí)，潤(rùn)滑脂塑性黏度φ、黏壓系數(shù)α對(duì)空心圓錐滾子軸承剛度的影響(在分析其中一個(gè)流變參數(shù)影響時(shí)，其余參數(shù)保持不變)如圖9所示。由圖可知：隨塑性黏度和黏壓系數(shù)增大，徑向和軸向剛度均減小，且與塑性黏度相比，軸承剛度對(duì)黏壓系數(shù)的變化較為敏感。這是由于隨這2個(gè)流變參數(shù)增大，膜厚也相應(yīng)增大，從而導(dǎo)致脂膜剛度減小，軸承剛度也隨之減小。相反，潤(rùn)滑脂屈服應(yīng)力對(duì)軸承剛度的影響不大，當(dāng)屈服應(yīng)力為300 Pa時(shí)，徑向剛度、軸向剛度和角剛度分別為2 101.2，55.588 N/μm和243.84 N·m/rad；當(dāng)屈服應(yīng)力為460 Pa時(shí)，對(duì)應(yīng)剛度分別為2 100.7,55.572 N/μm和243.80 N·m/rad，表明屈服應(yīng)力對(duì)膜厚影響不大，與文獻(xiàn)[15]研究結(jié)果一致。

圖9 潤(rùn)滑脂流變參數(shù)對(duì)軸承剛度的影響

3 結(jié)論

在考慮空心圓錐滾子截面屬性和脂潤(rùn)滑效應(yīng)的基礎(chǔ)上，建立了空心圓錐滾子軸承剛度模型，分析了軸承剛度的影響因素，得出結(jié)論：

1)空心度越大，徑向和軸向剛度越小。應(yīng)針對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合對(duì)剛度的具體要求，根據(jù)影響規(guī)律合理確定空心度。

2)徑向和軸向剛度隨滾子公轉(zhuǎn)呈周期性波動(dòng)；隨預(yù)緊量增大而增大，且在預(yù)緊量較小時(shí)變化更顯著；隨徑向載荷增大呈先減小后增大趨勢(shì)；隨軸向載荷增大呈增大趨勢(shì)，說(shuō)明滾子承載數(shù)對(duì)剛度具有重要影響；隨預(yù)緊量增大先增大后趨于穩(wěn)定。

3)徑向和軸向剛度隨潤(rùn)滑脂塑性黏度和黏壓系數(shù)增大而減小，潤(rùn)滑脂屈服應(yīng)力對(duì)剛度影響不大。