功能梯度材料的低溫擠壓成形過程建模與實驗研究

馬維東 李淑娟 楊磊鵬 王馨翊 谷中豪

西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安，710048

0 引言

功能梯度材料(functionally gradient material，FGM)又稱梯度材料，是基于新的材料設計理念而研發制備出的一種新型功能材料。它是指材料的化學構成、微觀結構和原子排列由一側向另一側呈連續梯度變化，從而使材料的性質和功能也連續地呈梯度變化[1]。目前，制備FGM的方法有離子噴涂法、電沉積法、激光熔覆法、氣相沉淀法等[2]。這些方法都采用高溫下的復雜模具成形，工藝過程復雜，生產成本高。

本文采用低溫和常溫擠壓自由成形[3]零件然后進行高溫燒結的方法制備功能梯度材料,該方法采用無模自由成形，可以在低成本下實現復雜零件的成形。但是低溫擠壓自由成形過程中一般使用水基膏體，成形過程中會產生氣泡和結塊，結塊的分解和氣泡的結合及釋放都會使成形過程處于不穩定狀態，且水基膏體中水含量的多少，使其存在不同程度的液相遷移[4]現象，導致整個擠壓成形過程難以控制。MASON等[5-6]設計了用于材料擠壓過程的Bang-bang控制模型，通過力的反饋達到一定的控制效果，并指出膏體的黏度、層厚、擠出率和擠壓速度均會對成形零件產生影響。BRYANT等[7]研究了快速低溫成形過程中工藝參數對成形過程的影響。SUI等[8]采用低溫擠壓沉積技術制備了Al2O3/ZrO2梯度材料。MASON等[9]的研究表明，環境溫度會直接影響陶瓷膏體的黏度，導致擠出效果變化顯著，并且在低溫下具有較高的定形能力。李淑娟等[10]采用低溫沉積過程擠壓力控制方法進行了三維陶瓷零件的制備。鄭華濱[11]通過比較不同擠出工藝參數對擠壓力和擠出體液相含量的影響,得到了較好的擠出工藝參數。焦盼德等[12]設計了自適應擠壓控制器，一定程度上解決了系統不穩定問題。

本文在文獻[10,12]所述陶瓷材料低溫成形過程出現的問題的基礎上，分析了FGM擠壓沉積成形過程中，影響材料成形的各種因素，采用系統辨識的方法對擠壓過程進行建模和辨識，設計并完善了最小方差自適應控制器，對功能梯度材料的擠壓成形過程進行了實時控制，實驗結果對比表明了該方法的有效性。

1 低溫擠壓自由成形技術

低溫擠壓自由成形(freeze-form extrusion fabrication，FEF)技術是一種基于水基膏體擠壓、沉積、冷凍成形的快速成形技術[13]。該技術的成形材料以固體顆粒(如陶瓷顆粒)、水為主，加入少量的黏結劑、分散劑及潤滑劑混合而成，利用低溫環境中水結成冰使材料成形，在去除水、黏結劑的后處理過程中，冰變為水體積縮小，能有效減小成形件內部應力。該成形過程對環境污染小，符合當前倡導的綠色制造要求。

低溫擠壓自由成形技術和其他自由成形技術相似，成形原理如圖1所示。

圖1 低溫擠壓自由成形技術原理圖Fig.1 Free extrusion technology schematic diagram

在低溫擠壓成形過程中，首先將制備好的觸變性良好的材料膏體裝入料筒里，膏體在擠壓力的作用下從擠出頭擠出，堆積在工作臺表面。由于工作臺表面的溫度低于膏體的凝固溫度，故擠出的膏體沉積在工作臺上后立即固化。注射器沿著由CAD模型所生成的輪廓移動，在每一層堆積結束之后，Z軸移動一定的距離，該距離相當于每層切片的厚度。因此，通過控制擠出頭在Z軸方向和XY平面的移動，經過二維切片的層層堆積最終即可形成所需的三維零件。為了使擠出體能更精確地堆積在既定的位置，擠出體的擠出速度與XY平面移動的速度應當相匹配[14]。

采用FEF技術搭建的FGM平臺是在三坐標雕刻機上開發出來的新型增材制造裝置[10]。FGM沉積成形系統的硬件系統利用一臺現有三坐標雕刻機和由NI USB-6343 數據采集卡、松下A50伺服控制卡、伺服電動缸、測力傳感器、儲料器、混合器、PC機等組成的控制系統搭建而成。FGM 沉積成形控制系統結構如圖2所示。

2 FGM材料擠壓過程建模

FGM打印的水基膏體材料存在不同程度的液相遷移現象，氣泡和結塊對系統穩態也有很大的影響，這些因素對材料混合和成形精度有較大的影響。采用系統辨識的方法，根據實驗過程中擠壓缸的電壓變化和擠出力的變化，對系統模型進行辨識、建模，并設計自適應控制器，實時控制材料擠壓成形過程，最大程度地減小液相遷移、氣泡、結塊對系統帶來的影響，可實現功能梯度材料的制備。

BOUCHONMEUNIER等[15]對系統辨識定義如下：“系統辨識是在輸入和輸出數據基礎上，從一組給定的模型類中確定一個與所測系統等價的模型。”系統辨識中主要包含三個因素，即輸入輸出數據、模型類、等價準則[16]。其中，數據是系統辨識的基礎，等價準則是優化目標，模型類是確定模型的范圍。系統辨識的具體步驟如圖3所示，首先通過實驗獲得系統的輸入、輸出數據(必須充分激勵系統的所有模態)，然后利用系統的輸入輸出數據進行系統模型階次辨識和參數辨識，最后對獲得的系統模型進行驗證，若符合要求則模型建立完成，若不符合要求則重新辨識，直到模型滿足要求為止。

2.1 模型的階次辨識與估計

2.1.1殘差方差分析

考慮如下模型：

A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+v(k)

(1)

(2)

式中,n為模型階次；an和bn為系統模型的參數。

模型寫成最小二乘格式為

(3)

其中，數據向量和參數向量定義為

運用最小二乘原理，可獲得模型參數θn的最小二乘估計為

(4)

其中，數據矩陣和輸出向量定義為

zn=(z(1),z(2),…,z(L))T

其中，L為數據長度。模型階次為n時，輸出殘差向量可寫成

(5)

(6)

圖4 模型階次分析圖Fig.4 Model order analysis chart

2.1.2模型階次辨識

通過觀察殘差的方差V(n)的變化情況，可確定模型的階次[13]。

給A、B缸(圖2)分別輸入0～5 V的逆M序列，采集擠壓過程中的力信號，如圖5所示。對A、B缸進行階次辨識，編寫MATLAB程序，辨識輸入輸出數據，得到的輸入如表1所示。根據F檢驗法可知，A、B缸的模型階次均為2，則A、B缸的擠壓系統差分模型為

F(k)=a1F(k-1)+a2F(k-2)+b1U(k-1)+b2U(k-2)+v(k-2)

(7)

式中，F(k)為對應模型輸出；U為模型輸入；a、b為模型輸入、輸出參數；v為干擾噪聲。

圖5 擠壓缸A、B的擠壓力信號Fig.5 Squeeze force signal of squeeze cylinders表1 A、B缸的階次分析Tab.1 A, B cylinder of the order analysis

階次A缸白噪聲估計量B缸白噪聲估計量1189.331 371.636 920.764 41.581 430.054 02.265 140.200 81.565 350.594 00.177 662.739 70.392 770.225 31.523 8

2.2 模型參數辨識

本文采用基于遞推最小二乘(recursive least square,RLS)的最小方差自適應算法[17]對系統進行實時控制。根據輸入輸出數據在線實時估計系統參數，將參數辨識結果用于最小方差自適應控制。

為了便于進行數字采樣，將式(7)進行離散化處理后寫成差分方程形式：

F(k)=aF(k-1)+bU(k-1)

(8)

為了辨識式(8)中參數a和b，將式(8)改寫為

F(k)=φT(k)·θ+n(k)k=1,2,…，n

(9)

式中，F(k)為過程輸出量；φT(k)為可觀測的數據向量；θ為參數向量；n(k)為均值為零的隨機噪聲。

定義模型誤差：

ε(k)=F(k)-φT(k)·θ

(10)

使θ滿足性能指標J取極小值：

(11)

采用遞推最小二乘法進行參數辨識，運用最小方差自適應器進行控制，使得系統輸出能跟蹤參考信號。其基本思想是：提前d步對輸出量進行預測，根據預測值設計所需的控制律，通過連續不斷的預測和控制，保證穩態輸出方差最小[16]。

考慮擠出過程中的干擾因素，膏體的擠出過程為

F(k)=aF(k-1)+bU(k-1)+(k)

(12)

(13)

則性能指標

其中，E(·)為求方差函數。

取預測步長d=1，得到此過程的最優控制量

(14)

其中,Fr(k+1)為提前一步預測的擠壓力值。將在線辨識得來的估計參數a、b代入式(14)就可以計算出當前時刻的最優控制量u(k)，通過不斷地進行參數估計與更新最優控制量來實現整個過程的實時跟蹤控制。a、b由遞推最小二乘法辨識得出。A、B缸的參數辨識結果如圖6所示。

取圖6中參數辨識穩定時的參數作為系統模型參數，則A缸的系統模型為

F1(k)=0.509 3F(k-1)+0.422 6F(k-2)-

9.135 6U(k-1)+1.118 2U(k-2)+v(k-2)

B缸的系統模型為

F2(k)=0.623 7F(k-1)+0.331 2F(k-2)+

6.534 7U(k-1)-1.348U(k-2)+v(k-2)

2.3 FDM材料擠壓系統的仿真與實驗

2.3.1擠壓過程仿真

為了驗證上述遞推最小二乘法的參數辨識效果和最小方差自適應控制器跟蹤期望值的能力，對A、B擠壓缸的系統模型進行仿真。為了避免進行最優控制量計算時出現U(1)=∞而導致系統發散的情況出現，設置遞推最小二乘法初值如下：數據協方差陣為106I(I為單位陣),θ(0)=(0.001,0.001,0.001,0.001),參考擠壓力為周期為60 s的方波信號。在MATLAB下進行仿真，A、B缸對方波信號的響應結果如圖7所示。

由圖7的仿真結果可以看出，該方法能夠較好地跟蹤給定的期望擠壓力，當期望擠壓力發生變化時能夠很快進行調整，遞推最小二乘法在很短的時間內就辨識出系統的參數，且電壓U的值隨著F的變化而變化。

(a)A缸擠壓模型對方波信號的響應

(b)B缸擠壓模型對方波信號的響應圖7 A、B缸擠壓模型對方波信號的響應分析Fig.7 Response analysis of A、B-cylinder extrusion model to square wave signal

2.3.2擠壓實驗設計

根據仿真結果，嘗試設計實驗完成該功能梯度材料的混合打印。假設A缸的擠壓力設定為

(15)

B缸的擠壓力設定為

(16)

即在采樣點K<600之前，A、B缸擠壓力達到預設值，在K≥600后A、B缸擠壓力按式(15)、式(16)變化。

A、B缸混合擠壓力和驅動電壓的仿真結果如圖8所示。則理想狀態下(仿真條件下)，擠壓缸A的電壓變化為

(17)

u1=25U10≤U1≤0.5

擠壓缸B的電壓變化為

(18)

u2=25U20≤U2≤0.5

式中：u1、u2分別為A、B缸的擠壓速度。

噴嘴的移動速度u和兩個缸的電壓關系為

u=4 444.44(U1+U2)

(19)

(a)A缸擠壓力和驅動電壓仿真

(b)B缸擠壓力和驅動電壓仿真圖8 混和擠壓實驗A、B缸擠壓力和驅動電壓的 仿真分析Fig.8 Simulation analysis of cylinder casing pressure and voltage in mixing and extrusion experiment

根據兩個缸體電壓的變化情況可以看出，實驗過程中擠出率η1+η2的變化為

(20)

在K∈(600，1 800)這個時間段，U1+U2從54.37 mV逐漸變為50.23 mV，則可計算出噴嘴移動速度在K∈(600,1 800)這個時間段，從2 416.44 mm/min逐漸變為2 232.44 mm/min。對于實際的擠壓工作臺來說，此變化范圍不大，則實際的實驗過程中取噴嘴的移動速度為2 350 mm/min，根據設計的FGM實驗進行實驗，結果如圖9所示。可以看出在K=600之前，擠壓缸開始擠壓，擠壓力逐漸達到預設的150 N和50 N，并保持穩定，當K∈(600,1 800)時，擠壓力按照預設的力變化，當K=1 800時，擠壓力達到50 N和150 N。

圖10為兩個缸的驅動電壓變化圖，圖11為兩個缸擠壓力變化圖，可以看出，實際實驗過程與仿真結果相一致，驗證了假設的正確性。

圖10 混合擠壓實驗驅動電壓分析Fig.10 Analysis of squeezing force in mixed extrusion experiment

圖11 混合擠壓實驗擠壓力分析Fig.11 Analysis of extrusion velocity of mixed extrusion experiment

圖12為擠壓過程中擠出率的變化曲線。擠出率誤差曲線如圖13所示。

圖12 混合擠壓實驗擠出率分析圖Fig.12 Analysis of extrusion rate of mixed extrusion experiment

圖13 混合擠壓實驗擠出率誤差分析Fig.13 Error analysis of extrusion rate in mixed extrusion experiment

從擠出率的誤差曲線(圖13)可以看出，在擠壓過程中，擠出率的誤差保持在-0.04～0.06之間，進一步驗證了實驗模型、策略方法的準確性和穩定性。進行混合擠壓實驗時，為了便于直觀地顯現“梯度”的變化，實驗時用藍、黃兩種不同的顏料將膩子粉(CaCO3)分別染色。制備膏體材料時，將膩子粉、水按一定的質量比混合均勻，并分為2份，分別加入藍、黃兩種顏料用以區分，混合均勻后靜置10 min，裝入擠壓缸中，利用圖2所示的FGM沉積成形系統進行實驗。圖14為混合擠壓實驗擠出效果。

3 結論

(1)對功能梯度材料成形過程建立差分模型，通過殘差的方差分析方法和遞推最小二乘法對系統模型的階次和參數進行辨識，得到了成形過程的系統模型，并通過仿真驗證了模型的準確性。

(2)運用遞推最小二乘法設計了自適應控制器對功能梯度材料成形過程進行實時控制，通過實驗驗證了控制器的準確性。