基于蜘蛛網結構的傘狀可展機構設計與分析

孫建偉 張世梁 孔凡臣

長春工業大學機電工程學院，長春，130012

0 引言

可展機構在航空航天工程中被廣泛應用，如衛星天線、航天器等。常見的可展機構以平面剪刀形為主。楊毅等[1]對一種圓柱式折疊結構進行了靜力學分析與拓撲布局優化，其基本單元就是剪式機構。陳向陽等[2]分析了常見的一維和二維剪式鉸結構的幾何特點和可展條件,闡述了復雜剪式鉸結構的設計方法和設計原則。劉樹青等[3]基于有限元方法對剪式折疊結構進行了力學特性分析。這類可展機構通常具有較高的展收比，但是不具有傘狀展開的特點。傘狀可展機構由于空間擴展的便利性和有效的承載能力而受到關注。CAO等[4]提出了一種傘狀的可展機構，基于可展開單元派生出了一系列具有各種網格形狀的單自由度可展機構。KORKMAZ[5]提出了一種基于RRCRR機構單元的新型的傘狀機構。趙飛龍等[6]設計了集天線防護罩和可展索網天線于一體的地面傘狀可展天線，并進行了形面精度的分析和結構響應分析。胡甜甜[7]設計了一種星載傘狀可展開天線，并對其進行了運動學仿真分析與優化。

蜘蛛網是蜘蛛在長期的進化中形成的一種結構簡單、規則的結構[8]，它為本文新型傘狀可展機構的設計提供了思路。傘狀可展機構的承載能力對機構的安全性十分重要。本文根據蜘蛛網承載與散力的特點，分析蛛絲宏觀排布對蛛網的影響。蜘蛛網是搭建者的捕食工具與繁殖場所[9-10]，為了保證網面的安全性，其宏觀結構在自然選擇的過程中得以進化。WIRTH等[11]通過實驗發現蜘蛛絲內的張力與蛛絲的疏密程度有關，此外，徑向絲與捕絲的節點可以有效地分散蛛絲內力。ZHAO等[12]通過微型3D打印技術搭建了蜘蛛網，通過實驗發現蜘蛛網結構拓撲設計影響網的強度，且最佳的拓撲結構也與載荷類型相關。目前大多數對蜘蛛網的仿生設計研究局限于蛛絲本身的材料性能，忽略了蛛絲宏觀排布的優勢。

本文將蜘蛛網的結構特點應用于傘狀可展機構的設計，基于蜘蛛網承載與散力性能的優勢，設計傘狀可展機構的最優參數，在實現傘狀可展的基礎上改善機構的力學性能，提高機構的強度和穩定性。

1 模型建立和機構設計

1.1 蜘蛛網結構模型的建立

當蜘蛛網遭受外界沖擊力時，可吸收一部分沖擊載荷[13-14]，并保持網面的穩定。VOLLRATH等[15]通過實驗發現蜘蛛在有外界風力載荷的情況下會搭建更圓的蜘蛛網。如圖1所示，完整的蜘蛛網結構包括外圍的錨絲與框架絲以及內部的捕絲、徑向絲及中心。

圖1 蜘蛛網結構模型Fig.1 The structure model of spider web

將蜘蛛網結構簡化為只包含徑向絲、捕絲和中心的幾何結構。如圖2所示，粗實線框表示蜘蛛網的中心，虛線表示蜘蛛網的徑向絲，細實線表示蜘蛛網的捕絲。六條等長且相鄰夾角相等的徑向絲與中心連接，三層形狀相似的捕絲由徑向絲所支撐。根據對捕絲間距規律的研究，模型中捕絲的設計放棄采用連續螺旋線的形式，采用三層閉合有角直線模擬帶有弧度的捕絲。中心作為蜘蛛建網的腳手架，在簡化的蜘蛛網模型中用正六邊形表示。

圖2 簡化的蜘蛛網模型示意圖Fig.2 Simplified spider web model schematic

1.2 可展機構單元設計

圖3a所示為一個單元的蜘蛛網結構模型，該模型由中心、徑向絲及三層捕絲組成。基于圖3a的結構單元，設計了圖3b所示的具有一個共用滑塊的雙曲柄滑塊機構。該機構作為可展單元由兩個平面四桿曲柄滑塊機構共用機架組成，這兩個機構具有共同的機架A12C12。如圖3b所示，曲柄與連桿分別對應蜘蛛網結構中的徑向絲與捕絲。機構A12B1C12和A12B2C12共用滑塊C12，隨著滑塊的上下移動，實現了可展單元的收攏與展開的過程。

(a)蜘蛛網結構模型單元 (b)雙曲柄滑塊機構圖3 可展機構單元設計Fig.3 The unit design of deployable mechanism

1.3 結構映射及傘狀可展機構組成

蜘蛛網結構模型由6個結構單元依次拼接而成，為實現傘狀可展機構的機械性能，將可展單元的運動鏈在空間中周向分布，通過共用機架、支撐桿和折頁組成的連接單元依次連接在一起組成單自由度的傘狀可展機構。圖4所示為六單元傘狀可展機構單元的運動鏈、連接單元分布和機構的結構形式。根據蜘蛛網模型中徑向絲一端與圓網中心頂點相連，并且相鄰徑向絲夾角為60°的結構特點，設計了傘狀可展機構的支撐桿，它通過折頁與可展單元相接，實現了可展單元在空間內與支撐桿運動狀態相符的展開與收攏過程。

圖4 可展單元連接組合方式Fig.4 Connections and combinations of the deployable unit cylinder

2 蜘蛛網結構模型的靜力學分析與優化

2.1 最易破壞結構的受力點確定

由于捕絲間距對蜘蛛網結構強度的影響較大，因此首先針對捕絲間距對網面承力性能的影響進行分析。以捕絲夾角為0°建立蜘蛛網結構的三維模型，如圖5所示。中心的頂點與三層捕絲頂點的距離分別用d1、d2、d3表示，中心原點與徑向絲和中心交點的距離用d0表示。

圖5 蜘蛛網結構三維模型Fig.5 Three-dimensional structure model of spider web

把蜘蛛網模型的中心作為固定約束(圖6a)，每個徑向絲與捕絲的節點以綁定的方式結合。選擇模型的6個點作為載荷點，根據傘狀可展機構完全展開狀態時的受力特點，僅分析其受到垂直于網面的力時的力學性能。在載荷大小及方向相同的情況下對6個點分別進行分析，得到各組的最大應力(圖6b)。

由圖6b可知，當載荷作用于同一層捕絲時，位于捕絲與徑向絲節點處的載荷會對網面造成更大的應力。當載荷作用同一條徑向絲與不同層捕絲的節點或不同層捕絲的中點時，遠離網面中心處的載荷會造成更大的應力。當載荷作用于徑向絲與最外層捕絲的節點處時，所產生的最大應力值最大，此時網面也最易被破壞，因此，本文后續研究都以p3作為載荷點。

(a)模型受力分布

(b)應力關系圖6 蜘蛛網受力情況及應力關系Fig.6 Force situation and the relationship of stress

2.2 蜘蛛網模型捕絲最優間距的確定

VOLLRATH等[16]研究發現，由于某種原因，蜘蛛網的捕絲是一種等間距的阿基米德螺線。但是，這種等間距的排布方式并不一定有利于保證蜘蛛網模型的強度性能。本文針對蜘蛛圓網捕絲的排布規律，探討蜘蛛網模型中捕絲位置的差異對整個網面承力性能的影響。第3層捕絲的位置固定以保證整個網面尺寸不變，內側兩層捕絲的位置可在一定范圍內變化。在相鄰兩條徑向絲間的捕絲是直線的情況下，捕絲位置的變化是通過將六邊形捕絲的邊長參數化而實現的，在捕絲中心與蛛網中心重合的情況下，改變六邊形捕絲的邊長實現捕絲位置的移動。

圖7為蜘蛛網模型捕絲間距優化示意圖,利用ANSYS Workbench的優化模塊對結構進行優化。以最大應力值為優化目標，d1、d2為優化變量，其中50 mm0，d1+d2+d3=1 500 mm。圖7a中內側兩層捕絲用虛線表示，代表其為優化目標，載荷位置在圖中標明；圖7b為等間距靜力蜘蛛網模型應力云圖；圖7c、圖7d為優化過程的第一步，從200組候選點中篩選出一組最佳的d1、d2值；圖7e、圖7f表示優化過程的第二步，從較小的范圍內通過迭代得到全局最佳的d1、d2值；圖7g為優化后蜘蛛網模型示意圖，捕絲間距用d′1、d′2、d′3表示; 圖7h為優化后的蜘蛛網模型應力云圖。最終得到優化后的捕絲間距比例d′1∶d′2∶d′3=1∶2.1∶4。

利用3D打印技術制造了圖8所示的兩種蜘蛛網模型，兩種模型具有相同位置的固定點與載荷點。搭建了圖9所示的試驗臺，利用螺栓桿將蜘蛛網模型固定。利用測力計分別將優化前后的蜘蛛網模型破壞，測得最大載荷值，如圖10所示。

圖7 捕絲間距優化示意圖Fig.7 Optimization schematic of the space between spiral thread

圖8 蜘蛛網實體模型Fig.8 Solid model of the spider web

圖9 蜘蛛網模型與試驗臺Fig.9 Spider web model and experiment bench

(a)優化前蜘蛛網模型被破壞的最大載荷值

(b)優后蜘蛛網模型被破壞的最大載荷值圖10 測量最大載荷值Fig.10 Measuringthe maximum load value

實驗結果表明，優化后的蜘蛛網模型更不易被破壞，其強度性能有所提高。實驗結果在一定程度上證明了仿真優化的正確性。

2.3 蜘蛛網模型捕絲角度優化

捕絲具有一定的夾角可以有效地逐級分散沖擊載荷。為得到蜘蛛網模型受到垂直于網面的載荷時，捕絲夾角α變化對單層蜘蛛網模型節點位移的影響，將單層蜘蛛網模型看作一種鋼架結構，其每一個節點都為剛性連接，其中心作為固定約束，利用矩陣位移法計算各節點的位移及最大應力(圖11)。

圖11 單層蜘蛛網鋼架模型Fig.11 Steel frame model of single layer spider web

本文對蜘蛛網結構性能的研究是針對外界載荷為垂直于網面的情況下進行的，因此將單層蜘蛛網鋼架結構視為空間鋼架，利用結構力學中的矩陣位移法進行計算。空間鋼架單元的每個節點具有6個自由度，即為(ux,uy,uz,θx,θy,θx)，因此每個桿單元具有12個自由度。對于一有n個節點的鋼架結構, 其整體剛度矩陣K為6n×6n的矩陣。由圖11可知，單層蜘蛛網結構鋼架具有12個節點，因此該結構的整體剛度矩陣K為72×72的矩陣。

在局部坐標系下，桿li(li為桿件編號,i=1,2,3,4)的單元剛度矩陣可以表示為

(1)

利用坐標轉換矩陣將局部坐標系下的單元剛度矩陣轉換在整體坐標系中：

(2)

其中,轉換矩陣Rli為

(3)

(4)

式中,θx′x為x軸與x′軸的夾角，其他類推。

桿件1、2、3、4構成一組結構單元，將其剛度矩陣進行集成，得

(5)

按照桿件之間的連接關系將每個結構單元進行集成得到72×72的整體剛度矩陣K。

單層蜘蛛網結構鋼架共由18個桿件剛性連接而成，通過矩陣位移法建立荷載與位移之間的關系：

KU=F

(6)

式中,U為結構節點位移矢量；F為結構節點載荷矢量。

進而計算桿件1中的桿端內力：

f=k′rU+F

(7)

式中,k′為整體剛度系數。

然后將桿1視為懸臂梁，計算其最大應力：

(8)

式中，M為桿件的截面彎矩；ymax為受力點到中性軸的最大距離；Iz為桿件的截面慣性矩。

橫截面彎矩M=FL，取載荷F=10 N，桿長L分別取400 mm、450 mm、500 mm，橫截面為邊長是5 mm的正方形，利用MATLAB建立了單層蜘蛛網的整體剛度矩陣，計算其最大應力值隨角度變化，如圖12所示。由圖12可知，在捕絲角度α=7°時最大應力值最小，因此，蜘蛛網模型捕絲夾角取7°時，網面的強度性能最優。

圖12 最大應力值與捕絲夾角關系Fig.12 The relationship between maximum stress and angle

3 傘狀可展機構參數設計及仿真

3.1 參數設計

傘狀可展機構在收攏、展開及完全展開過程中，其各個可展單元和連接單元相對于機架具有相同的空間位形，因此任選機構中的一個連接單元以及相鄰的兩個可展單元，結合機架正多邊形的性質，由可展機構完全展開成平面的狀態即可得出傘狀可展機構的參數。圖13所示為傘狀可展機構的參數模型。

圖13 傘狀可展機構的參數模型Fig.13 The Parameter model of the umbrella-type deployable mechanism

O為機架重心，A1、A0、A2為機架的頂點，A1A0、A0A2為機架的邊，OA12⊥A1A0、|A1A12|=|A12A0|，OA34⊥A0A2，|A0A34|=|A34A2|;∠A1OA0=∠A2OA0=2α,∠A1OA0為機架的邊對應的圓心角，β為機架相鄰邊的夾角，OA0為β的角平分線，∠A1A0O=∠OA0A2=β/2；A12C?12、A34C?34分別為可展單元Ⅰ和Ⅱ的滑塊導軌，A12C?12、A34C?34分別與OA12、OA34共線，A0E3為支撐桿,與OA0共線；A12B′1C′12B′2為可展單元Ⅰ的一級展開單元，∠C″12B′2B′1=θ。A12B1D′12B2為充分利用桿長時的一級展開單元，此時θ°=0，B1B2⊥A12C?12；C′12B?1C″12B?2、C″12B?1C?12B?2分別為可展單元Ⅰ的二級和三級展開單元，∠C?12B″2B″1=∠C?12B?2B?1=θ，同樣地，A34B′3C′34B4為可展單元Ⅱ的一級展開單元，A34B3D′34B4為充分利用桿長時的一級展開單元，此時θ=0°,B3B4⊥A34C?34；C′34B?3C″34B?4、C″34B?3C?34B?4分別為可展單元Ⅱ的二級和三級展開單元，∠C″34B″3B″4=∠C?34B?3B?4=θ；B2E1B3、B″2E2B″3與B?2E3B?3分別為可展單元Ⅰ、Ⅱ的一級展開單元、二級展開單元和三級展開單元的折頁連接組件，E1、E2和E3分別為折頁連接組件與支撐桿A0E3的交點，每個折頁的長度都是相等的，B2E1=E1B3=B″2E2=E2B″3=B?2E3=E3B?3。

根據前文對蜘蛛網結構模型的分析與計算，得到其最佳比例關系及捕絲角度。基于蜘蛛網結構的最優參數，令A0E1∶E1E2∶E2E3=1∶2.1∶4，∠B′1B′2C′12=∠B″1B″2C″12=∠B?1B?2C?12=7°。

3.2 三層傘狀可展機構仿真

為了證明仿蜘蛛網結構模型的傘狀可展機構相對于優化之前的等比例傘狀可展機構具有更好的受力性能，利用ANSYS Workbench軟件對4組機構進行了靜力分析。為了盡量體現支撐桿的承力作用并模擬蜘蛛網結構模型，在靜力仿真時，去除了支持滑塊移動的軌道桿?；趦灮暗娜龑拥缺壤齻銧羁烧箼C構，建立了優化過程中3個階段的機構模型用以仿真對比。圖14a為等比例、連桿無角傘狀可展機構；圖14b為等比例、連桿有角傘狀可展機構；圖14c為優化比例、連桿無角傘狀可展機構；圖14d為優化比例、連桿有角傘狀可展機構。對4組機構在蜘蛛網模型受最大應力的相同位置與方向施加相同大小的外力，以其機架作為固定約束。

施加載荷后，4組機構的等效應力值仿真分析結果如圖15所示。由圖15可知，受到相同載荷時，優化前的等比例無角傘狀可展機構的最大應力值高于其他3組機構，表明其受力性能較差。仿蜘蛛網結構的傘狀可展機構的最大應力值相對較小，表明其受力性能最優。

4 傘狀可展機構樣機實驗

基于本文對傘狀可展機構的設計，利用3D打印技術搭建了傘狀可展機構的實體模型。如圖16所示，通過傘狀可展機構的實體模型可以更直觀地展示其展開過程。

(a)等比例、連桿無角(b)等比例、連桿有角

(c)優化比例、連桿無角(d)優化比例、連桿有角圖14 完全展開狀態下傘狀可展機構模型對比Fig.14 Comparison of umbrella-type deployable mechanism models in full deployment

(a)等比例、連桿無角

(b)等比例、連桿有角

(c)優化比例、連桿無角

(d)優化比例、連桿有角圖15 傘狀可展機構應力云圖Fig.15 The stress cloud of umbrella-type deployable mechanism

(a)收攏狀態

(b)中間狀態

(c)展開狀態圖16 傘狀可展機構展開過程Fig.16 The expansion process of umbrella-type deployable mechanism

5 結論

本文基于蜘蛛網結構提出了一種以曲柄滑塊機構為可展單元的傘狀可展機構，該機構具有傘狀展收的特征。基于蜘蛛網的結構模型，考慮捕絲間距對蜘蛛網結構承力性能的影響，利用靜力學分析與優化，得出捕絲間距的比例為1∶2.1∶4?；趩螌又┲刖W結構的鋼架模型，考慮捕絲夾角對結構承力性能的影響，通過矩陣位移法，得出捕絲的最優夾角為7°?；趯χ┲刖W模型的分析與優化，得到強度性能最佳的傘狀可展機構，仿真分析驗證了其強度性能有所提升。