纖維混凝土的損傷力學模型及抗拉性能研究

何 吉，葉 開，曹 果，徐小雪，章嘉偉

(武漢大學水利水電學院，武漢 430072)

0 引 言

混凝土作為一種脆性材料，較低的抗拉強度和抗裂性能是其固有缺陷。當混凝土開裂之后，不僅強度大幅降低，而且防滲能力顯著減弱。這對于大壩等水工建筑物的影響尤為嚴重。纖維是一種高彈模、高延展性、高抗拉強度的材料，按材料屬性可分為金屬纖維、無機纖維、有機纖維等。研究表明，在拌和過程中摻入適量的纖維之后，混凝土斷裂處的纖維能夠提供與混凝土受力方向相反的黏結阻力和摩擦阻力，使混凝土的破壞過程需要消耗更多能量，因此能夠提高混凝土的抗拉強度、抗裂性能、韌性以及延性[1,2]。然而，纖維混凝土作為一種新型材料，對其力學性能的研究尚未成熟，纖維摻量、纖維剛度和砂漿強度等因素的相互影響以及最優組合尚未形成統一的結論[3]，因此制約了纖維混凝土在工程領域的推廣應用。

目前纖維混凝土的研究方法主要分為物理試驗和數值試驗兩種。物理試驗方法具有周期長、成本高、可重復性差、結果離散性大等缺點。由于上述缺陷，一種以數值模擬為主，結合少量物理試驗加以驗證的方法成為目前研究纖維混凝土力學性能的重要手段，即數值試驗。數值試驗中采用的數值方法又主要分為離散模擬方法[4]、等效模擬方法[5]和半離散模擬方法[6]。

等效模擬方法的優點是無需對數量龐大且尺寸較小的纖維和纖維/砂漿界面進行網格劃分，僅需調整砂漿的力學參數來近似的反映纖維對混凝土的增強作用，因此前處理工作量顯著降低，但是存在以下缺點：①由于該簡化的實質是假定纖維均勻的分布于混凝土中，因此與材料分布的真實狀況存在較大差異，可能導致數值模擬中破裂面的位置與實際不符；②由于沒有模擬纖維/砂漿界面，因此忽略了纖維混凝土原本存在的薄弱面，可能導致強度結果誤差較大；③混凝土破壞時纖維被拔出或被拔斷所引起的應力-應變波動無法通過等效模擬方法體現。

離散模擬方法將纖維混凝土看作纖維、砂漿、骨料、纖維/砂漿界面、骨料/砂漿界面五部分組成，并且分別進行網格劃分。該方法保持了材料分布的真實狀況，因此與等效模擬方法相比精度較高，但是存在如下缺點：①由于纖維數量眾多，以150 mm×150 mm×150 mm纖維混凝土試件為例，纖維數量可以達到一萬余條，因此前處理工作量極大；②由于纖維及纖維/砂漿界面的尺寸較小，因此網格劃分極為困難。

半離散模擬方法以一組沿纖維長度方向的分布力或者以一對作用于纖維端部的集中力，近似模擬纖維對混凝土的增強作用[6]。該方法由于避免了離散模擬方法中對纖維和纖維/砂漿界面的網格劃分，因此顯著提高了建模效率，同時由于每對集中力或每組分布力的位置與每根纖維的真實位置保持對應，從而避免了等效模擬方法中對纖維均勻化分布的簡化，因此兼顧了數值模擬的精度，實現了精度和效率的平衡。基于上述優點，半離散模擬方法克服了纖維在幾何模擬上的困難，但是在力學模型方面仍顯不足，目前主要采用解析公式[7]或擬合公式[8]來實現。當采用解析公式時，首先需要假定在纖維/砂漿界面處的滑移狀態，但現實中這是一個動態變化的過程，從不滑移、局部滑移到完全滑移，不同的滑移狀態決定了分布力不同的分布形式，目前僅使用解析公式仍然難以反應這一變化過程。當采用擬合公式時，首先需要基于物理試驗的結果，擬合集中力與纖維端部位移之間的關系，這雖然避免了對于滑移狀態的假定，但是擬合結果僅具有數學意義，難以說明公式及參數的物理意義，也難以說明纖維及界面的物理狀態，此外擬合公式的使用也制約了纖維與砂漿兩者力學模型的統一。上述問題不利于半離散模擬方法的理論推廣以及在復雜力學特性研究中的應用。這是目前大多學者仍然堅持使用離散模擬方法或等效模擬方法的重要原因之一。

損傷力學模型的理論簡單，易于應用，且能較好的反映混凝土的破壞過程及細觀機理，目前已被廣泛應用于混凝土力學特性的研究中。本文將借鑒混凝土的多線性損傷理論，構建纖維強弱黏結損傷力學模型，并與混凝土損傷力學模型相結合，實現纖維混凝土損傷力學模型的統一，從而改進現有的半離散模擬方法；通過數值試驗與物理試驗的對比，驗證纖維混凝土損傷力學模型的合理性；基于上述模型，研究纖維摻量、纖維初始剛度、砂漿強度對纖維混凝土抗拉強度、阻裂性能及韌性的影響。

1 基本理論

1.1 混凝土細觀數值模型

本文采用混凝土細觀數值模型，模擬除纖維以外的混凝土細觀結構。該模型首先基于級配曲線，采用蒙特卡洛方法，生成多邊形骨料的隨機分布，然后建立混凝土幾何模型，再采用有限單元法對砂漿、骨料以及兩者界面進行網格劃分，最終建立混凝土細觀數值模型。

砂漿/骨料界面作為混凝土的薄弱部位，與砂漿、骨料相比具有更低的彈性模量和抗拉強度，對混凝土的宏觀力學性能起著決定性作用。混凝土細觀數值模型的重點和難點是界面單元的厚度選取以及生成方法。Barnes[9]提出混凝土的界面厚度為10～50 μm；Xiao等人[10]采用納米壓痕技術測出混凝土界面的厚度為50 μm，界面的彈性模量為砂漿彈性模量的80%～85%。本文選取50 μm作為界面單元的厚度，選取砂漿彈性模量的80%作為界面的彈模，同時采用李慶斌等[11]提出的骨料延伸方法，將界面視為覆蓋在骨料邊界上具有一定厚度的實體單元[圖1(a)]，采用四邊形和少量三角形單元對骨料、砂漿以及兩者界面進行網格劃分[圖1(b)]，形成二維混凝土細觀數值模型。

圖1 混凝土細觀數值模型Fig.1 Mesoscopic concrete numerical model

1.2 纖維半離散模擬方法

本文所使用的半離散模擬方法中，采用一對集中力近似模擬每根纖維對混凝土的增強作用，同時對該集中力的定義如下：集中力成對作用于纖維端部，如圖2(a)所示；集中力的方向與纖維端部相對位移的方向相反；集中力的量值與纖維端部相對位移的大小相關，相關關系由纖維損傷力學模型確定；為了避免出現應力集中，可將集中力平均作用于附近節點，但合力大小不變，如圖2(b)所示。

圖2 單絲拉拔試驗的數值模型Fig.2 Numerical model of pull-out test

1.3 纖維混凝土損傷力學模型

1.3.1 混凝土損傷力學模型

混凝土受力變形時內部微裂紋不斷萌生、擴展、匯聚，其宏觀力學性能不斷劣化，這種演變過程可視為損傷過程。本文采用多線性彈性損傷模型[12]來描述混凝土中砂漿、砂漿/骨料界面的損傷過程。損傷前后的割線彈模如式(1)所示，損傷變量服從式(2)。單軸加卸載條件下應力-應變規律如圖3所示，圖中ft表示峰值抗拉強度，ftr表示殘余抗拉強度，兩者滿足ftr=λft(λ為殘余強度系數)。由于骨料強度較高，同時為了簡化計算，因此假定骨料始終為彈性，不發生損傷。當砂漿、砂漿/骨料界面達到極限應變εu時即認為破壞，同時刪除該處單元。

E=(1-d)E0

(1)

式中：E0為初始彈性模量；E為損傷后的割線模量；d為損傷變量且0≤d≤1。

圖3 砂漿及砂漿/骨料界面的損傷模型[12]Fig.3 Damage model of mortar and mortar/aggregate interface

(2)

式中：ε0為峰值應變；εr為殘余應變，εr=ηε0；η為殘余應變系數，取值范圍一般為1<η≤5；εu為極限應變，εu=ξε0；ξ為極限應變系數；εmax為加載歷史上拉應變的最大值；非單向加載條件下可以采用下式表示：

(3)

1.3.2 纖維損傷力學模型

纖維作為柔性材料，其抗剪性能和抗壓性能相對于抗拉性能而言可以忽略，并且沿纖維軸向為增強方向。上述特性得到了物理試驗的驗證：王成[13]采用電磁控制鋼纖維在砂漿試件中的排列方向，分別研究了纖維增強方向和非纖維增強方向的強度特性(劈拉強度和抗彎強度)，試驗表明當纖維摻量增加時，纖維增強方向上的試件強度顯著增加，而非纖維增強方向上的試件強度變化較小；任慧韜[14]和趙樹青[15]驗證了纖維對混凝土的增強作用取決于纖維與砂漿之間沿纖維軸向的黏結作用，黏結作用越大，纖維對混凝土的增強作用越顯著。

纖維混凝土中纖維的破壞模式分為兩種：當弱黏結時，最終纖維被拔出，即界面破壞；當強黏結時，最終纖維被拔斷，即纖維自身破壞。

通過借鑒混凝土的多線性損傷力學理論，本文將半離散模擬方法中纖維等效集中力與纖維端部相對位移之間的相關關系定義為纖維損傷力學模型，如式(4)所示。需要特別指出的是，該相對位移僅考慮沿纖維軸向的位移分量。纖維在損傷前后的割線剛度如式(5)所示。弱黏結時，荷載-位移曲線如圖4(a)所示，損傷變量服從式(6)；強黏結時，荷載-位移曲線如圖4(b)所示，損傷變量服從式(7)。

F=Ku

(4)

K=(1-D)K0

(5)

式中：u為纖維端部的相對位移；F為集中力；K為損傷后的割線剛度；K0為初始剛度；D為損傷變量(0≤D≤1)。

(6)

(7)

式中：u1、u2、u3為各階段纖維端部的相對位移；相應的集中力為F1、F2、F3；umax為加載歷史上纖維端部相對位移的最大值；F1=K0u1，λ1=F2/F1,λ2=F3/F1,η1=u2/u1,η2=u3/u1。

圖4 纖維損傷力學模型Fig.4 Damage mechanics model of fibers

圖5 纖維隨機投放流程Fig.5 Random generation process of fibers

1.4 纖維的隨機投放

采用蒙特卡洛方法，將纖維隨機投放于混凝土試件中，確定集中力作用的位置及方向。假定纖維的長度一致，中心位置及傾斜角度均服從均勻分布。由于篇幅所限，纖維隨機投放算法不在此處詳述，具體可參照文獻[16]，流程圖如圖5 所示。纖維的損傷力學參數同樣可以假定為隨機分布，比如服從Weibull分布，但是由于隨機參數的標定較為困難，本文并未考慮該隨機性。

2 模型及參數驗證

2.1 單骨料混凝土單軸拉伸試驗

Corr等人[17]進行了基于單骨料混凝土試件的單軸拉伸物理試驗，試件尺寸為75 mm×75 mm，骨料尺寸為38 mm×25 mm，骨料位于試件中心位置，試件中未摻纖維，試驗結果如圖6中虛線所示。根據該試驗，建立相應的有限元模型，但是為了減少計算量，基于結構的對稱性，模型僅考慮半個試件[圖7(a)]。計算中采用等位移增量加載，步長4×10-5mm，材料參數如表1所示。

數值試驗中，破壞始于骨料/砂漿界面，隨后沿界面逐漸擴展，最終形成一條貫通試件的水平裂縫如圖7(b)所示，相應的

圖6 單骨料混凝土單軸拉伸試驗的應力-應變曲線Fig.6 Stress-strain curve of uniaxial tensile test for single aggregate concrete

圖7 單骨料混凝土數值模型Fig.7 Numerical model of single aggregate concrete

材料ε0η1η2λE0/GPa砂漿0.000 0940.34025界面0.000 0820.31020骨料----60

應力-應變曲線如圖6中實線所示。通過數值試驗與物理試驗的結果比較(圖6)，整體上兩者較為一致，特征值誤差如表2所示，最大誤差為5.76%，誤差較小，因此可以認為本文采用的混凝土細觀數值模型切實可行，并且所選參數較為合理。

表2 單骨料混凝土單軸拉伸試驗的結果比較Tab.2 Comparison of results for uniaxial tensile test of single aggregate concrete

2.2 單絲拉拔試驗

薛兵等[4]進行了基于砂漿試件的單絲拉拔物理試驗，得到了纖維拔出的全過程荷載-位移關系曲線，該曲線如圖8中虛線所示。根據該試驗，建立相應的有限元模型，如圖2(a)所示。為了避免出現應力集中，將集中力平均作用于附近6個節點，如圖2(b)所示。計算中采用等位移增量加載，步長8.3×10-3mm，砂漿的力學參數如表1所示，纖維的力學參數如表3所示，試驗中不涉及骨料、砂漿/骨料界面。

表3 纖維力學參數Tab.3 Mechanical parameters of fibers

數值試驗得到的荷載-位移曲線如圖8中實線所示，通過比較數值試驗與物理試驗的荷載-位移曲線(圖8)，可以發現兩者較為一致，特征點誤差如表4所示，最大誤差為4.59%，誤差較小，因此可以認為本文構建的纖維混凝土損傷力學模型切實可行，所選纖維參數較為合理。

圖8 單絲拉拔試驗的荷載-位移曲線Fig.8 Load-displacement curve of single fiber pull-out test

比較B點峰值位移/mm峰值荷載/ND點峰值位移/mm峰值荷載/N物理試驗0.300 083.300 015.000 015.000 0數值試驗0.296 482.311 814.998 014.311 0誤差/%1.201.190.014.59

3 纖維混凝土抗拉性能研究

基于級配曲線以及骨料隨機投放算法，建立尺寸為100 mm×200 mm的混凝土試件細觀數值模型，如圖9(a)所示。基于纖維隨機投放算法[16]，得到纖維的隨機分布如圖9(b)所示。下文將據此進行一系列單軸拉伸數值試驗，研究不同纖維摻量、纖維初始剛度、砂漿強度對混凝土抗拉強度、阻裂性能及韌性的影響。計算中將采用等位移增量加載，步長為4×10-5mm，邊界條件如圖9(a)所示，砂漿、骨料、砂漿/骨料界面及纖維的力學參數如表1、表3所示。

圖9 混凝土數值模型Fig.9 Numerical model of concrete

3.1 纖維摻量的影響

取纖維體積摻量為0%、1%、2%、3%，分別進行數值試驗，得到的應力-應變曲線如圖10所示，特征點量值如表5所示。可以發現，摻入纖維之后試件的峰值強度、峰值應變、殘余強度、極限應變均有不同程度的增加，其中峰值應變和峰值強度的增幅較小，殘余強度和極限應變的增幅較為明顯，極限應變增量達到269.80%。

圖10 纖維摻量的影響(vf為體積摻量)Fig.10 Effects of fiber content (vf is the volume content)

抗拉性能纖維摻量(體積百分比)0%1%2%3%峰值強度/MPa1.0111.0161.0211.027峰值應變3.45×10-53.47×10-53.48×10-53.50×10-5殘余強度/MPa0.0220.0430.0490.080極限應變9.43×10-512.00×10-515.00×10-517.20×10-5斷裂能/(N·m-1)0.961.322.473.55特征長度/mm27.9638.0670.53100.18

為了進一步研究纖維的增強作用，引入斷裂能和特征長度兩個指標。斷裂能可以表征混凝土的抗裂性能，表示混凝土形成單位面積裂縫所消耗的能量。計算斷裂能時，首先繪制應力-裂縫寬度曲線，然后計算該曲線以下面積與試件橫截面面積的比值，計算公式如式(8)所示[18]。斷裂能越大，表示混凝土破壞時所消耗的能量越大，纖維的阻裂性能越顯著。特征長度可以表征混凝土的韌性，計算公式如式(9)所示[18]。特征長度越小，混凝土韌性越小。通過比較摻入纖維前后斷裂能和特征長度的變化(表5)，可以發現兩者均有明顯增加，說明纖維的阻裂效果明顯，同時說明纖維能夠顯著提高混凝土的韌性，這與Banthia[19]的物理試驗規律一致。此外，通過比較纖維摻量為0%和3%的數值試驗結果可以發現，纖維對延性的提高作用(82.4%)遠大于對強度的增大作用(1.6%)，這也與李光偉等人[20]的物理試驗規律一致。

(8)

式中：GF為斷裂能；Wf為裂縫最大寬度；σ(w)為裂縫寬度為w時對應的應力。

(9)

式中：Lch為混凝土的特征長度；E0為混凝土的初始彈性模量；ft為混凝土的抗拉強度。

3.2 纖維初始剛度的影響

保持纖維摻量恒為2%，取纖維初始剛度K0為不摻纖維、摻纖維(K0=138.88 N/mm)、摻纖維(K0=277.76 N/mm)，分別進行數值試驗。試驗得到的應力-應變曲線如圖11所示，特征點量值如表6所示。從中可以發現，隨著纖維初始剛度的增加，混凝土試件的峰值強度、峰值應變、殘余強度、極限應變、斷裂能和特征長度均有不同程度的提高，其中峰值應變和峰值強度的增幅較小，殘余強度和極限應變、斷裂能、特征長度的增加較為明顯，斷裂能的增量達到157.3%，說明混凝土的抗拉強度、阻裂性能以及韌性隨著纖維強度的增加均有不同程度的提高，這與Banthia[19]的物理試驗規律一致。

圖11 纖維初始剛度的影響Fig.11 Effects of fiber initial stiffness

3.3 砂漿強度的影響

保持纖維摻量為2%、纖維初始剛度為277.76 N/mm,將砂漿的峰值強度取為1.800、2.025、2.250、2.475、2.700 MPa，分別進行數值試驗。試驗得到的應力-應變曲線如圖12所示，特征點量值如表7所示。從中可以發現，隨著砂漿強度的增加，混凝土試件的峰值強度、峰值應變均持續增大，但是極限應變、斷裂能、特征長度表現為先上升后下降。說明隨著砂漿強度的增大，混凝土抗拉強度隨之提高，但是混凝土的阻裂性能和韌性則先增大后減小，這與Meng[21]的物理試驗規律一致。

表6 纖維初始剛度的影響Tab.6 Effects of fiber initial stiffness

圖12 砂漿強度的影響(ft為砂漿峰值強度)Fig.12 Effects of mortar strength (ft is the mortar peak strength)

抗拉性能砂漿峰值強度/MPa1.8002.0252.2502.4752.700峰值強度/MPa0.7410.8761.0211.1771.348峰值應變3.08×10-53.28×10-53.48×10-53.68×10-53.95×10-5殘余強度/MPa0.0750.0900.0490.1150.063極限應變7.38×10-58.90×10-515.00×10-57.48×10-55.80×10-5斷裂能/(N·m-1)1.001.612.471.510.85特征長度/mm54.2162.4570.5332.4413.92

4 結 語

本文基于損傷理論改進了半離散模擬方法的力學模型，并據此研究了多種因素對纖維混凝土抗拉性能的影響。具體結論如下。

(1)通過借鑒混凝土的多線性損傷理論，構建了纖維強弱黏結損傷力學模型，與混凝土損傷力學模型相結合，實現了纖維混凝土損傷力學模型的統一，從而改進了半離散模擬方法。基于單骨料混凝土單軸拉伸試驗和砂漿單絲拉拔試驗，通過數值試驗與物理實驗的結果對比，驗證了纖維混凝土損傷力學模型的可行性，并獲得了一套合理的損傷力學參數。

(2)通過一系列數值試驗，研究了不同纖維摻量、纖維初始剛度、砂漿強度對混凝土抗拉強度、阻裂性能以及韌性的影響。研究表明，當纖維摻量越高或纖維初始剛度越大時，纖維混凝土的抗拉強度越高 ，并且阻裂性能和韌性越好；當砂漿強度越大時，纖維混凝土的抗拉強度越高，但是韌性與阻裂性能則先增大后降低。上述規律與已有的物理試驗結論一致，表明本文構建的纖維混凝土損傷力學模型以及據此改進的半離散模擬方法可以應用于纖維混凝土復雜力學特性的研究中。

(3)目前僅進行了二維分析，也沒有考慮同一試件中纖維力學性能的隨機差異(比如隨機存在強黏結和弱黏結等)，上述內容將在下一步研究中實現，并將據此開展對纖維混凝土力學特性進一步的深入研究。