基于多渦卷混沌系統的建模研究

丘尚鋒，劉 通，姚赤芝，趙改清，張曉明

(深圳大學 物理與光電工程學院，廣東 深圳 518060)

第19屆廣東大學生物理實驗設計大賽由廣東省物理學會主辦，廣東省海洋大學協辦，意在培養大學生的創新實踐能力. 本屆大賽的基礎試題為混沌現象，題目要求設計并且制作展示混沌現象(或者應用此特性)的非單純計算機模擬的實物裝置，研究相關物理問題，揭示其物理關系和規律. 來自廣東省內各大院校的30支團隊進入決賽，大賽設一等獎5個，本作品在這次大賽中獲得一等獎.

1 雙渦卷Jerk系統

1994年，美國科學家J.C.Sprott提出了Jerk系統[1]，系統方程為

(1)

其中非線性函數F(x)=Asgn (x)見文獻[2]，式中β=0.45～0.7.

Jerk系統的x-y相圖將出現2個吸引子，如圖1所示.

2 用分段線性函數拓展Jerk系統

在雙渦卷Jerk系統的基礎上，通過擴展在x方向上鞍焦平衡點，可將雙渦旋系統變成多渦旋系統[3-4]. 其主要特點是鞍焦平衡點的個數與渦卷相同. 根據非線性函數的對稱性，可在原點的兩邊擴展出相同鞍焦平衡點，若產生偶數個渦卷，則(1)式中的非線性函數F(x)的表達式構造為

(2)

其中，N決定系統的渦卷數，渦卷數等于2N+2，取N=2，即可得到6渦卷系統[5]；A是大于零的可調參量，通過調節A的大小，可改變渦卷的大小，即A越小時，渦卷越小.

也可以在y方向上拓展鞍焦平衡點，即在(1)式的基礎上將系統方程調整為

(3)

(3)式中的非線性函數F(x)就是(2)式，F(y)的表達式構造為

(4)

這樣即構造了(2N+2)×(2M+2)的渦卷系統，例如取N=2，M=2,則是6×6渦卷系統. 圖2為實驗中測得的1×6和6×6渦卷圖.

(a)1×6

(b)6×6圖2 拓展的Jerk系統的渦卷圖

在拓展后的系統中，可以觀測到豐富的渦卷形態. 實驗采用的非線性項系數A=1，通過調節比例運放的電阻值，單方向6渦卷β=0.555，雙方向6×6渦卷的β=0.2～0.333. 實驗過程中發現，渦卷數目越多，系統閾值越大，相應的β需要減小.β系數影響整個系統的狀態：當系數β趨于0時，整個系統趨于發散態;當系數β趨于1時，系統趨于周期態. 調節合適的系數β，可以實現整個Jerk系統從周期態到混沌態.β的取值由加法器中對應z輸入端的比例電阻決定.

3 用非線性函數拓展Jerk系統

3.1 模型設計

式(3)和式(4)確定的函數雖然稱為非線性函數，但仍然屬于分段線性函數，函數圖像如圖3所示，通過增加階梯函數的非線性特性來改進Jerk多渦卷系統，實現新的多渦卷.

對非線性項進行改進，將非線性函數x3與階梯波函數相結合，得出如下方程：

(5)

式(5)的函數圖像如圖4所示. 在-0.7≤x≤0.7替換成x3，非線性特性比原函數更強. 根據修改的模型，通過數值計算得到復合新函數的系數.

圖3 階梯函數圖像

圖4 含有x3改進后的階梯函數圖像

3.2 實驗電路及儀器面板設計

電路分3部分：1)原有Jerk系統[6]；2)由窗口比較器實現的分段函數g(x)：

(6)

此電路利用g(x)函數實現定義域的取值范圍；3)x3函數項，利用2個乘法器以及比例放大器實現. 其中2)和3)與原Jerk系統中的F(x)相結合得到改進后的非線性項.

圖5為改進Jerk 6渦卷系統電路圖，圖中所有運放芯片型號為TL082，模擬乘法器芯片型號為AD633，D1和D4是型號為1N3611的二極管，D2和D3是型號為1N4740的穩壓管.

圖6為設計的6×6 Jerk系統電路實驗板，實驗板上含有2個階梯函數發生器，通過開關控制調節階梯的個數.

圖5 改進Jerk 6渦卷系統電路圖

圖6 6×6 Jerk實驗儀面板

圖5的原Jerk系統部分，由3組反相器和反相積分器結合實現3路信號的積分，以及通過反相加法器將各路輸出信號與非線性項信號相加. 改進后的Jerk系統與原系統相比，電路在階梯函數輸入端添加了窗口比較器，其作用是當|x|≤0.7 V時，輸出該時刻x的值，當x的電壓值在此區間時，窗口比較器輸出1 V的電壓，否則輸出0，將x的電壓值與窗口比較器輸出的電壓值相乘，再通過2次乘法器運算芯片，實現在-0.7～0.7 V電壓內電路輸出x3，將輸出的信號與原階梯信號接入加法器中，便構成了新的Jerk 6渦卷系統.

圖7為窗口比較器以及乘法器，將實現的新型非線性函數輸入至原Jerk系統電路中.

圖7 窗口比較器和乘法器

3.3 實驗測試

從圖8～11可以看出，加入了x3項后的6渦卷相圖和原來階梯函數形成的6渦卷相圖有顯著區別，加入了x3項后非線性增強了，同時，從坐標上來看，修改后的6渦卷圖具有更大的吸引域. 由于本次實驗的混沌系統是通過基本的邏輯電路實現的，容易出現誤差，且由于各電路元件不能完全達到理論需求，故在實驗中需對β的取值進行多次嘗試.

圖8 分段線性函數拓展的渦卷圖

圖9 分段線性函數拓展的傅里葉分析

圖10 加入x3后拓展的渦卷圖

圖11 加入x3后拓展的傅里葉分析

4 結 論

以Jerk雙渦卷系統為例，通過改變其分段非線性項，擴展鞍焦平衡點即可實現多渦卷混沌系統的構建. 不同的非線性方程，對應的β系數不同，β系數影響整個系統的狀態,調節合適的β系數，可以實現整個Jerk系統從周期態到混沌態的過程. 設計了在x和y方向上可拓展的實驗電路，可動態展示多渦卷混沌吸引子；通過調節單個電阻，可實現了從周期態至混沌態的動力學分岔過程. 在非線性函數中加入x3項，加強系統的非線性，觀測到更具復雜的混沌現象. 改進后的系統閾值更大，具有更好的信息掩蓋能力[7].