基于多渦卷混沌系統(tǒng)的建模研究

丘尚鋒，劉 通，姚赤芝，趙改清，張曉明

(深圳大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，廣東 深圳 518060)

第19屆廣東大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)大賽由廣東省物理學(xué)會(huì)主辦，廣東省海洋大學(xué)協(xié)辦，意在培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力. 本屆大賽的基礎(chǔ)試題為混沌現(xiàn)象，題目要求設(shè)計(jì)并且制作展示混沌現(xiàn)象(或者應(yīng)用此特性)的非單純計(jì)算機(jī)模擬的實(shí)物裝置，研究相關(guān)物理問題，揭示其物理關(guān)系和規(guī)律. 來自廣東省內(nèi)各大院校的30支團(tuán)隊(duì)進(jìn)入決賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)5個(gè)，本作品在這次大賽中獲得一等獎(jiǎng).

1 雙渦卷Jerk系統(tǒng)

1994年，美國(guó)科學(xué)家J.C.Sprott提出了Jerk系統(tǒng)[1]，系統(tǒng)方程為

(1)

其中非線性函數(shù)F(x)=Asgn (x)見文獻(xiàn)[2]，式中β=0.45～0.7.

Jerk系統(tǒng)的x-y相圖將出現(xiàn)2個(gè)吸引子，如圖1所示.

2 用分段線性函數(shù)拓展Jerk系統(tǒng)

在雙渦卷Jerk系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過擴(kuò)展在x方向上鞍焦平衡點(diǎn)，可將雙渦旋系統(tǒng)變成多渦旋系統(tǒng)[3-4]. 其主要特點(diǎn)是鞍焦平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)與渦卷相同. 根據(jù)非線性函數(shù)的對(duì)稱性，可在原點(diǎn)的兩邊擴(kuò)展出相同鞍焦平衡點(diǎn)，若產(chǎn)生偶數(shù)個(gè)渦卷，則(1)式中的非線性函數(shù)F(x)的表達(dá)式構(gòu)造為

(2)

其中，N決定系統(tǒng)的渦卷數(shù)，渦卷數(shù)等于2N+2，取N=2，即可得到6渦卷系統(tǒng)[5]；A是大于零的可調(diào)參量，通過調(diào)節(jié)A的大小，可改變渦卷的大小，即A越小時(shí)，渦卷越小.

也可以在y方向上拓展鞍焦平衡點(diǎn)，即在(1)式的基礎(chǔ)上將系統(tǒng)方程調(diào)整為

(3)

(3)式中的非線性函數(shù)F(x)就是(2)式，F(xiàn)(y)的表達(dá)式構(gòu)造為

(4)

這樣即構(gòu)造了(2N+2)×(2M+2)的渦卷系統(tǒng)，例如取N=2，M=2,則是6×6渦卷系統(tǒng). 圖2為實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的1×6和6×6渦卷圖.

(a)1×6

(b)6×6圖2 拓展的Jerk系統(tǒng)的渦卷圖

在拓展后的系統(tǒng)中，可以觀測(cè)到豐富的渦卷形態(tài). 實(shí)驗(yàn)采用的非線性項(xiàng)系數(shù)A=1，通過調(diào)節(jié)比例運(yùn)放的電阻值，單方向6渦卷β=0.555，雙方向6×6渦卷的β=0.2～0.333. 實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)，渦卷數(shù)目越多，系統(tǒng)閾值越大，相應(yīng)的β需要減小.β系數(shù)影響整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)：當(dāng)系數(shù)β趨于0時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)趨于發(fā)散態(tài);當(dāng)系數(shù)β趨于1時(shí)，系統(tǒng)趨于周期態(tài). 調(diào)節(jié)合適的系數(shù)β，可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)Jerk系統(tǒng)從周期態(tài)到混沌態(tài).β的取值由加法器中對(duì)應(yīng)z輸入端的比例電阻決定.

3 用非線性函數(shù)拓展Jerk系統(tǒng)

3.1 模型設(shè)計(jì)

式(3)和式(4)確定的函數(shù)雖然稱為非線性函數(shù)，但仍然屬于分段線性函數(shù)，函數(shù)圖像如圖3所示，通過增加階梯函數(shù)的非線性特性來改進(jìn)Jerk多渦卷系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)新的多渦卷.

對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)，將非線性函數(shù)x3與階梯波函數(shù)相結(jié)合，得出如下方程：

(5)

式(5)的函數(shù)圖像如圖4所示. 在-0.7≤x≤0.7替換成x3，非線性特性比原函數(shù)更強(qiáng). 根據(jù)修改的模型，通過數(shù)值計(jì)算得到復(fù)合新函數(shù)的系數(shù).

圖3 階梯函數(shù)圖像

圖4 含有x3改進(jìn)后的階梯函數(shù)圖像

3.2 實(shí)驗(yàn)電路及儀器面板設(shè)計(jì)

電路分3部分：1)原有Jerk系統(tǒng)[6]；2)由窗口比較器實(shí)現(xiàn)的分段函數(shù)g(x)：

(6)

此電路利用g(x)函數(shù)實(shí)現(xiàn)定義域的取值范圍；3)x3函數(shù)項(xiàng)，利用2個(gè)乘法器以及比例放大器實(shí)現(xiàn). 其中2)和3)與原Jerk系統(tǒng)中的F(x)相結(jié)合得到改進(jìn)后的非線性項(xiàng).

圖5為改進(jìn)Jerk 6渦卷系統(tǒng)電路圖，圖中所有運(yùn)放芯片型號(hào)為TL082，模擬乘法器芯片型號(hào)為AD633，D1和D4是型號(hào)為1N3611的二極管，D2和D3是型號(hào)為1N4740的穩(wěn)壓管.

圖6為設(shè)計(jì)的6×6 Jerk系統(tǒng)電路實(shí)驗(yàn)板，實(shí)驗(yàn)板上含有2個(gè)階梯函數(shù)發(fā)生器，通過開關(guān)控制調(diào)節(jié)階梯的個(gè)數(shù).

圖5 改進(jìn)Jerk 6渦卷系統(tǒng)電路圖

圖6 6×6 Jerk實(shí)驗(yàn)儀面板

圖5的原Jerk系統(tǒng)部分，由3組反相器和反相積分器結(jié)合實(shí)現(xiàn)3路信號(hào)的積分，以及通過反相加法器將各路輸出信號(hào)與非線性項(xiàng)信號(hào)相加. 改進(jìn)后的Jerk系統(tǒng)與原系統(tǒng)相比，電路在階梯函數(shù)輸入端添加了窗口比較器，其作用是當(dāng)|x|≤0.7 V時(shí)，輸出該時(shí)刻x的值，當(dāng)x的電壓值在此區(qū)間時(shí)，窗口比較器輸出1 V的電壓，否則輸出0，將x的電壓值與窗口比較器輸出的電壓值相乘，再通過2次乘法器運(yùn)算芯片，實(shí)現(xiàn)在-0.7～0.7 V電壓內(nèi)電路輸出x3，將輸出的信號(hào)與原階梯信號(hào)接入加法器中，便構(gòu)成了新的Jerk 6渦卷系統(tǒng).

圖7為窗口比較器以及乘法器，將實(shí)現(xiàn)的新型非線性函數(shù)輸入至原Jerk系統(tǒng)電路中.

圖7 窗口比較器和乘法器

3.3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

從圖8～11可以看出，加入了x3項(xiàng)后的6渦卷相圖和原來階梯函數(shù)形成的6渦卷相圖有顯著區(qū)別，加入了x3項(xiàng)后非線性增強(qiáng)了，同時(shí)，從坐標(biāo)上來看，修改后的6渦卷圖具有更大的吸引域. 由于本次實(shí)驗(yàn)的混沌系統(tǒng)是通過基本的邏輯電路實(shí)現(xiàn)的，容易出現(xiàn)誤差，且由于各電路元件不能完全達(dá)到理論需求，故在實(shí)驗(yàn)中需對(duì)β的取值進(jìn)行多次嘗試.

圖8 分段線性函數(shù)拓展的渦卷圖

圖9 分段線性函數(shù)拓展的傅里葉分析

圖10 加入x3后拓展的渦卷圖

圖11 加入x3后拓展的傅里葉分析

4 結(jié) 論

以Jerk雙渦卷系統(tǒng)為例，通過改變其分段非線性項(xiàng)，擴(kuò)展鞍焦平衡點(diǎn)即可實(shí)現(xiàn)多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)建. 不同的非線性方程，對(duì)應(yīng)的β系數(shù)不同，β系數(shù)影響整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài),調(diào)節(jié)合適的β系數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)整個(gè)Jerk系統(tǒng)從周期態(tài)到混沌態(tài)的過程. 設(shè)計(jì)了在x和y方向上可拓展的實(shí)驗(yàn)電路，可動(dòng)態(tài)展示多渦卷混沌吸引子；通過調(diào)節(jié)單個(gè)電阻，可實(shí)現(xiàn)了從周期態(tài)至混沌態(tài)的動(dòng)力學(xué)分岔過程. 在非線性函數(shù)中加入x3項(xiàng)，加強(qiáng)系統(tǒng)的非線性，觀測(cè)到更具復(fù)雜的混沌現(xiàn)象. 改進(jìn)后的系統(tǒng)閾值更大，具有更好的信息掩蓋能力[7].