復雜裝備復合維修的組合維修決策模型研究

丁申虎 賈云獻

（陸軍工程大學石家莊校區 石家莊 050003）

1 引言

隨著科學技術的發展，一大批新型復雜裝備正逐漸列裝陸軍作戰部隊，與傳統的老舊裝備相比，這些裝備性能先進、結構復雜［1～2］，造成了部件之間存在著相關性。在制定裝備維修計劃時，如果忽略了這些相關性，就會造成較高的維修費用和停機時間。因此，在對裝備實施維修決策時要充分考慮這些相關性的影響，從裝備整體的角度出發來制定維修策略，可以將幾個部件的維修工作同時進行來提高維修效率，這就是我們常說的組合維修。部件間的相關性主要包括經濟相關性、故障相關性和結構相關性，故障相關性和結構相關性較復雜，當前的研究也較少，因此，本文僅針對經濟相關性做相關的研究。

目前已有很多學者從長期使用的角度開展相關的維修工作的組合維修模型的研究。蔡景［3～4］針對多部件系統的定期維修工作提出以T為基本維修間隔期，將各部件的預防性維修間隔期調整為T的整數倍，這樣可以使很多維修任務有機結合在一起。白永生［5］研究了功能檢測以及功能檢測與定期維修工作的組合優化問題。李欣悅［6］研究了部隊不同修理級別上的預防性維修工作的組合優化問題。

工齡更換也是一種常見的預防性維修策略，指的是部件在使用的過程中，即使無故障發生，到了規定的更換工齡T也要進行更換，如果未到工齡發生了故障，則更換新品，并重新記錄該產品的工作時間。同時，為了減少故障后維修費用，在工齡更換的間隔期內會定期對裝備進行檢測，因此，本文將對采用此類復合維修策略的部件進行組合維修研究，并運用馬爾可夫決策過程的相關理論進行求解和優化。

2 符號說明和模型假設

cpi：部件i直接預防性維修費用；

cfi：部件i故障后直接修復性維修的費用；

s：部件i進行預防性更換和修復性維修的維修準備費用，為一定值且各部件進行預防性更換和修復性維修的維修準備費用都相等，此外，多個部件同時進行預防性更換或修復性維修時的維修準備費用也是個定值，和單個部件的維修準備費用一致；

Δti：組合維修后部件i維修時間與原計劃的變化量，一般為檢測間隔期的整數倍，可以是正值也可以為負值，正值表示維修間隔期增大，即維修時機推遲，負值表示間隔期減小，維修時機提前；

ti：組合維修前部件i進行工齡更換的初始維修計劃時間；：組合維修后部件i進行預防性更換的時機；：部件i按照單部件維修決策模型得出的最優工齡更換時間；

Gk：第k個組合維修；

裝備各部件均為單一故障模式，且各故障發生相互獨立；

在定期預防性維修時進行修復如新的維修；

預防性維修和修復性維修時間很小，可以忽略不計；

每次檢測的費用和所用時間忽略不計；

維修人員和備件充足。

3 單部件復合維修決策模型

3.1 單部件復合維修策略

采用“輔以定期檢測的工齡更換”的復合維修策略是指部件的基本維修方式為工齡更換，但在工齡更換的間隔期內等間隔的對部件進行檢測，若檢測到部件的狀態超過了預防性維修閾值則進行預防性更換，其維修效果和維修方式和工齡更換一致。期間，若部件發生故障則進行修復性維修，如圖1所示。

圖1 單部件復合維修策略

3.2 單部件費用模型

以往復合維修策略往往是根據相應的準則來確定長期使用時各部件的最優檢測間隔期和工齡更換間隔期，但由于部隊實際訓練的情況和協調各方面的工作，此時得出的檢測間隔期可能不適應實際需求，往往會設定一個適當的檢測期，由此來確定工齡更換的間隔期。

在離散的檢測點上根據部件的狀態來進行維修決策，這些時刻稱為決策點，由于檢測的間隔期是相同的，因此，這里一個檢測間隔期就相當于一個單位時間。

當一個部件已正常工作時間為 jT，則部件已進行的檢測數為 j次，表示部件i在接下來的檢測間隔期內發生故障的概率，即在內發生故障的概率為

根據更新報酬理論，可知部件的在單位檢測間隔期內的維修費用為［7～8］

通過對上式求解可得出使該部件單位時間維修費用最低的最優工齡更換間隔期，這里得出的表示檢測間隔期的數量，不是具體的時間數值，此時，單位檢測間隔期內維修費用的期望值為，這里用來表示。

4 復合維修的組合維修決策模型

4.1 復合維修的組合維修策略

對于采用上述復合維修方式的復雜裝備系統中的多個部件，各部件進行定期檢測的間隔期相等，但工齡更換間隔期不一定相等。若部件一直采用預防性更換的更新方式，在某一段時間內可能有多個部件需要進行工齡更換，各部件的工齡更換時間相差幾個檢測間隔期，由于部件僅在檢測的時刻進行維修，因此，在某個檢測時刻同時對多個部件進行工齡更換可以有效地節省維修準備費用，同時，能減少裝備系統的停機時間，延長裝備的使用時間，如圖2所示。

圖2 復合維修的組合維修策略

4.2 初始維修計劃

由于是在局部的使用階段內對不同部件的工齡更換進行組合維修決策，因此，時間區域不應太大，且在此時間段內每個部件僅需要進行一次工齡更換，在該時間段不會出現一個部件需做兩次工齡更換工作，因此

4.3 馬爾可夫決策過程

采用復合維修策略后，根據每次檢測后部件的性能狀態以及已正常工作的時間決定部件是否需要進行維修、采用怎樣的維修方式等，做出決策后，會產生相應的維修費用并影響部件下一階段的狀態，間隔一個檢測間隔期后，再次進行檢測，并根據部件的性能狀態來確定維修方式，如此反復進行，因此，可以運用馬爾可夫決策過程的相關理論來描述這一過程［9～10］。

由馬爾可夫決策過程易知，部件i在狀態 j時因采用的維修方式不同而產生的期望維修費用為

S表示系統中所有可能的狀態構成的非空的狀態集，也稱狀態空間，則。

a表示維修決策活動，這里主要是采用三種決策行為，一是不修，保持原狀；二是預防性更換，預防性更換指的是部件還未到規定的時間，但在檢測時發現部件的性能狀態超過了預防性更換閾值；三是故障后修復性維修。表示部件i處于狀態 j時，采用決策a時所得到的報酬的期望值。表示采取決策a時，部件由狀態 j轉為狀態k的概率。其中，當k=j+1，。

按照工齡更換的維修策略，依據控制限策略，易知期望費用的表達式為

4.4 組合優化

4.4.1 維修費用分析

當多個部件的預防性更換工作同時進行時，必然會導致部分部件的維修時機比計劃要提前或推后，這就會導致部件的維修費用發生變化。對于一個部件來說，如果初始預定的維修時間為，維修間隔期增大時，部件發生故障的概率增大，增加了修復性維修的費用，這也導致后序的維修計劃相應得也推遲了，但節省了維修的時間推遲所產生的費用，同理，若維修時間提前，部件發生故障的概率降低，減少了修復性維修的費用，但同時會增加維修時間提前所產生的費用。若Δti＞0，則h(Δti)表示部件由于推遲維修所產生的費用變化，若Δti＜0，則h(Δti)表示部件由于提前維修所產生的費用變化。

假設部件的最優預防性維修間隔期為ai，當ai=7，Δti=1，因此，按照新計劃部件i預防性維修的時機為ai+1，推遲了一個單位的檢測間隔期時間，部件有的概率能在此間隔期內正常工作，有的概率在這一時間區間發生故障。在第一種情況下，部件會處于狀態8，總期望報酬為，第二種情況部件處于故障狀態，期望報酬為，在部件兩種狀態的轉換間隔期為一個單位時間，因此可以節約的費用，因此

其中，bi=cfi-cpi。

因此

其中，。

若將多個部件同時進行組合維修后，組合內各部件的維修時間都為，即在同一個組合內的預防性維修活動，這些維修活動會在相同的時間內進行。

同一組合Gk中由于各個部件維修時機變化所產生的總維修費用變化為［11～12］

則，多個部件同時進行預防性更換維修活動可以節省的維修準備費用為表示組合中預防性更換工作數量。

由式（7）、（8）可得，組合Gk總共可以節約的費用為

4.4.2 可靠性分析

在裝備的使用過程中，往往對部件的安全性有較高的要求，這就要求部件在使用期內發生故障的概率要盡量小。組合維修后部件的延遲時間不能無限的延長，必須滿足相應的可靠性要求，可靠性是指系統在正常運行期間不會發生故障的概率，可靠性與故障率的一般關系為

因此，為了使部件保持較高的可靠度水平，預防性更換間隔期必須滿足：

Ri0表示部件需要滿足的最低可靠度值。

4.4.3 組合維修決策模型的確定

本文中，組合維修決策的目標是在各部件滿足安全性的前提下使組合維修后節省的維修費用最大化，即

5 案例分析

已知某型裝備系統由5個重要部件組成，各個部件的故障規律均服從兩參數威布爾分布，各部件的特定預防性維修費用、修復性維修的直接維修費用（元）、已工作時間以及壽命分布的形狀參數和尺度參數如表1所示。

表1 各部件的相關參數

已知維修準備費用s=30，部件的檢測間隔期T=15，以每15天作為一個單位時間，則根據式（1），可得出各部件的最優工齡更換間隔分別為13、11、10、16和15個單位檢測間隔期的時間，即部件的更換間隔期分別為195天、165天、150天、240天和225天。

圖3 初始維修計劃

若在t0時對該型裝備的預防性維修工作進行組合優化，為了便于分析，這里假設t0=0，根據此時各部件的使用情況，依據式（2）、（3），取 tend=10，則在［0，10］這段時間內，各部件的初始維修計劃如圖3所示。

由圖3可以看出，在［0，10］期間內，在此期間裝備的期望總維修費用為

把以上數據帶入式（14）可得，在［0，10］期間，系統維修費用消耗的期望值為531元。

同理，以各部件發生故障的概率低于0.2為約束，利用遺傳算法工具箱［13］進行求解，優化過程見圖4。

圖4 復合維修的優化過程

6 結語

本文針對復雜裝備復合維修工作之間存在的經濟相關性問題，首先利用馬爾可夫決策過程的相關理論分析單部件的維修情況，再根據相應的準則對部件的預防性維修工作進行組合優化，對部隊的維修工作有一定的指導、借鑒作用。但是，本文的研究都是基于修復如舊或修復如新的假設，實際維修還存在不完全維修的情況。同時，模型的建立基本上都忽略了維修所用的時間，當建立模型將這些因素加以考慮后可進一步優化組合維修決策模型。