高溫防護服溫度分布數學模型的建立與模擬

汪明珮 鄭立飛

（西北農林科技大學理學院，陜西楊凌712100）

近年來，隨著社會的快速發展，產生了許多需要在高溫環境下作業的危險工作，關于高溫作業專用服裝的研發與設計工作也逐漸火熱。①有對防護服著裝舒適性、隔熱性能等的研究：張忠彬（2011）應用熱平板儀、人工氣候室和暖體假人等研究設備，對高低溫防護服的隔熱性能進行研究［1]；周書林（2013）在對常用高、低溫防護服隔熱性能研究基礎上，從防護服的面料、結構和工藝等角度，對服裝的舒適性進行研究［2]；田苗（2013）對國內工業中普遍應用的3類高溫防護服，進行穿脫便捷性、工效學和穿著生理負荷測試，探尋對人體造成靈活性限制級生理負荷的原因，并對高溫防護服提出結構設計優化策略［3]。②有對防護服設計常用的高溫防護方法和機理的研究：馬菡婧（2018）從高溫防護方法和設計模式角度，介紹了熱功能防護服防護機理［4]。③有對高溫防護服材料的評價標準、影響因素等的研究：張超（2013）通過人體模型模擬人體生理功能，建立遵循“人體—服裝—環境”系統觀點的熱防護服裝防護作用評價方法標準［5]；馮倩倩等（2016）闡述了熱功能防護服裝的防護原理、種類、測試標準及影響因素［6]；李紫含（2018）從客觀評價和主觀評價兩個方面，構建了高溫高濕環境下熱防護服降溫效果評價指標體系［7]。④有對防護服材料的熱傳導和溫度分布的研究：Ahmed Ghazy等（2012）建立有限體積模型，考慮了服裝層之間、服裝與皮膚之間的氣隙中傳導——輻射傳熱的聯合作用，論證了準確模擬空氣間隙對預測防護服性能的重要性［8]；盧業虎（2013）對衣下空氣層對織物內熱濕傳遞性能的影響進行研究［9]；楊杰（2016）將人體熱反應模型作為假人的控制系統，建立假人耦合系統，可預測人體核心溫度及皮膚溫度，也可用于防護服隔熱及隔濕性能測試［10]；索昊（2018）建立內部恒溫型假人皮膚表層溫度與外界高溫環境之間熱防護服三層織物材料和空氣型的熱傳導數學模型，根據材料間的傳熱方式，確立各階段溫度分布方程［11]；劉暢（2019）借助多元非線性回歸方法，對高溫環境下經過熱防護服傳熱到假人皮膚的整個熱傳導模型進行研究［12]。⑤有借助熱傳導等機理對高溫防護服厚度優化設計進行研究的：賈宇航（2018）依據傅里葉定律以及能量守恒定律，構建出不同材料層中的熱傳遞偏微分方程模型，通過熵權法線性加權，將雙目標優化模型轉換為單目標優化函數，確定出Ⅱ層的最優厚度［13]；王偉偉（2018）基于Fourier導熱定律和有限差分方法，建立高溫防護服的熱傳導模型，對最優厚度的設計建立指標體系，并運用粒子群算法求解［14]；羅鑫錦（2019）利用MATLAB三維立體圖模擬假人的人體構造，預測假人皮膚溫度變化，利用估算法求極值確定專用服裝的最優厚度［15]；張文遠（2019）借助BP神經網絡對假人皮膚溫度與作業時間進行擬合，建立熱傳遞偏微分方程，結合尋優算法，得到最優厚度［16]；黃新運（2018）、張 燁（2019）、成 知 寧（2019）、崔 榮升（2019）、沈禹（2019）等依據傅里葉熱傳導定律和熱量守恒定律對專用服裝的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分別建立偏微分方程模型，選用有限差分法求解［17-21]。

本文圍繞2018年全國大學生數學建模競賽A題“高溫作業專用服裝設計”展開研究，依據傳熱學理論詳細分析高溫環境下專用服裝的傳熱方式，建立高溫防護服傳熱模型，計算出高溫環境中專用服裝隨時間變化的溫度分布，并與實驗數據對比，驗證模型的合理性和準確性，為高溫防護服更進一步的研究奠定基礎。

1 數學模型

1.1 基于傳熱學理論分析的模型描述

傳熱的基本方式有：熱傳導、熱對流和熱輻射。實驗中專用服裝由假人穿著，將體內溫度控制在37°C的假人放置在實驗室的高溫環境。假人不會有出汗，于是忽略模型中的質交換，如此本模型就是單純的傳熱問題。實驗中熱量由高溫環境通過三層織物材料制作的專用服裝和Ⅲ層與皮膚之間空隙層（Ⅳ層）傳遞到假人皮膚外側，傳遞形式如圖1：①Ⅰ層與外界高溫環境間既發生自然對流換熱，又發生輻射換熱。因為外界環境空氣沒有受外力迫使它流動，故為自然對流；外界環境溫度又較高，故輻射換熱不能忽略；②熱量通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層是以熱傳導的方式進行的；③Ⅰ層與Ⅱ層、Ⅱ與Ⅲ層因為是密切接觸，熱量也是以熱傳導的形式傳遞，且接觸面上沒有溫差；④Ⅲ層與空隙層Ⅳ層間發生的熱量傳遞形式是對流換熱，空氣在縫隙中不受外力作用，故對流換熱為自然對流換熱；⑤空隙層Ⅳ層與假人皮膚外側間發生的熱量傳遞形式也是自然對流換熱，道理同④。

圖1 每一層織物或空氣層發生的傳熱模式

1.2 模型假設

（1）構成專用服裝的三層織物材料之間密實接觸沒有縫隙，可忽略其接觸熱阻，于是各層接觸面間沒有溫差；

（2）模型中各層材料物質均勻，各向同性，故其物理性質參數密度、比熱、導熱系數均為常數；

（3）環境中的空氣和IV層的空氣的物理性質參數密度、比熱、導熱系數也均為常數；

（4）外界高溫環境里的空氣無外力作用，其速度為零，于是I層與外界環境間的換熱為自然對流換熱；

（5）高溫防護材料外層都會作防輻射處理，所以輻射換熱可以忽略不計；

（6）因空氣速度為零，假人表皮與IV層的空氣間的換熱為自然對流換熱；

（7）實驗中使用的假人迎風面為平面。

1.3 模型的建立

（1）熱傳導模型建立

如圖1，沿各層厚度方向建立直角坐標系，令x1、x2、x3、x4分別表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、IV層的厚度，則其數學表達式為：

其中，δI為Ⅰ層的厚度，δII為Ⅱ層的厚度，δIII為Ⅲ層的厚度，δIV為Ⅳ層的厚度，單位均為m。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層的熱量傳遞是熱傳導形式，在研究時間內，此三層的溫度隨時間發生變化，所以溫度場是非穩態的，且三層織物材料均無自發熱，沒有內熱源。因此，由能量守恒定律和傅里葉定律，無內熱源的非穩態熱傳導公式為：

其中，ρi表示各層材料的密度（kg/m3），ci表示各層材料的比熱（J/(kg·K)），λi表示各層材料的熱傳導率（W/(m·K)），T表示溫度（K），τ表示時間（s）。

因為專用服裝三維尺寸中長度方向和寬度方向上的尺寸遠遠大于厚度方向的尺寸，于是在厚度方向上的溫度梯度遠遠大于另外兩維方向上的溫度梯度。因此，可將模型簡化為一維問題，即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層的無內熱源的非穩態的一維直角坐標的熱傳導模型為：

由上述分析可知，Ⅰ層與外界高溫環境間發生的是自然對流換熱。因為外界環境空氣沒有受外力迫使它流動，故為自然對流。Ⅲ層與空隙層Ⅳ層間發生的熱量傳遞形式是對流換熱，空氣在縫隙中不受外力作用，故對流換熱為自然對流換熱。同理，空隙層Ⅳ層與假人皮膚外側間發生的熱量傳遞形式也是自然對流換熱。

（2）邊界模型的建立

通過邊界對流換熱的熱流量又以熱傳導的形式在Ⅰ層的邊界導入Ⅰ層內部，于是高溫環境側對流邊界條件為：

其中，h環高溫環境與Ⅰ層之間自然對流換熱系數高溫環境溫度（K）。

間隙層與假人皮膚側對流邊界條件為：

其中，TⅣ為間隙層空氣溫度（K），T皮為假人皮膚溫度（K），hⅣ間隙層與假人皮膚之間自然對流換熱系數

I與II層間的邊界條件為：

I

I與III層間的邊界條件為：

III與為IV層間的邊界條件為：

（3）初始條件模型的建立

已知將體內溫度控制在37°C的假人放置在實驗室為75°C的高溫環境中，測量假人皮膚外側的溫度，于是初始條件為：

2 模型的簡化分析

由于以上模型由多種換熱方式復合而成，模型結構較為復雜，求解困難。因此，考慮單種換熱方式對模型計算結果的影響程度，對模型進行簡化分析。

有限空間自然對流換熱時，但高度尺寸遠遠大于縫隙厚度尺寸時，換熱以熱傳導為主，而熱對流很弱，可以忽略［22]。本題中專業服裝長度為1m，間隙厚度為0.6～6.4mm，長度遠大于厚度，于是間隙層由熱傳導和熱對流復合而成的自然對流換熱僅考慮熱傳導而不考慮熱對流。

于是間隙層傳熱方程為：

其中，ρIV間隙層空氣密度kg/m3，CIV間隙層空氣比熱J/(kg·°C)，λIV間隙層空氣熱傳導率W/(m·°C)。

從上述討論可知，間隙層空氣的流動不存在，那么間隙層空氣與假人皮膚之間就只存在熱傳導，不存在熱對流。于是，間隙層與假人皮膚側的邊界條件就不再是對流換熱邊界條件了，而是溫度邊界條件。因此，溫度邊界條件為：

綜合整理，得到高溫防護專用服裝數學模型為：

Ⅰ層的熱量傳遞方程：

Ⅱ層的熱量傳遞方程：

Ⅲ層的熱量傳遞方程：

IV層熱量的傳遞方程：

高溫環境側對流邊界條件：

假人皮膚側溫度邊界條件：

I與II層間邊界條件：

II與III層間邊界條件：

III與為IV層間邊界條件：

初始條件：

3 模型的求解

根據計算流體力學和傳熱學的基本思想，用控制容積熱平衡法［3]將溫度場區域進行離散，即將溫度場區域劃分為一系列不重復的控制容積，并使每個網格點周圍有一個控制容積，用控制容積中心節點的溫度值代表控制容積的溫度值。由能量守恒定律和傅里葉定律，將傳熱微分方程變為差分方程，建立中心節點與周圍節點的能量平衡差分方程，以及控制容積邊界節點的差分方程，運用元胞自動機算法對差分方程進行編程計算，可以得到數值解。

利用控制容積熱平衡法，將熱量傳遞微分方程離散化，則中心節點和邊界節點分別為：

元胞自動機（Cellular Automata，簡稱CA）模型是由計算機科學家Von Neumann于19世紀50年代提出［23]，在物理、生物、計算機等眾多領域均有重要應用。元胞自動機是一種能夠將時間、空間、狀態都離散，其中相互作用和因果關系為局部的網格動力學模型，具有模擬復雜系統時空演化過程的能力，適合物理學的熱擴散研究。利用元胞自動機算法則可實現差分方程的求解。元胞自動機的規則是由中心元胞當前的狀態和周圍鄰居狀態決定下一時刻中心元胞的狀態，故在執行規則之前，必須定義元胞的鄰居模型。在一維元胞自動機中，通常以半徑r等于1或2作為鄰域，為了簡化計算，此處選用r等于1的鄰居形式進行求解，相鄰層交界處的元胞看作緊密連接。本計算中，熱傳遞元胞自動機采用三元組(C,τ,A)形式表達元胞狀態（τ為時間）。先獲取當前元胞及其鄰居元胞的元胞標識碼C，然后通過C進一步獲取，元胞標識碼C表示每個元胞的坐標，其中T(x)表示中心元胞的標識碼。元胞的狀態值A表示當前元胞的溫度值。在元胞狀態值獲取時，根據元胞的標識碼，通過遍歷手段將三元組集合檢索一遍，找到當前元胞標識碼及對應的屬性值即可。

隨后，根據上文中離散后的差分方程設計熱傳導元胞自動機的演化規則，得到中心節點和邊界節點的具體表達式：

本實驗中專用服裝材料相關參數見表1。

表1 專用服裝材料的參數值

通過MATLAB編程求解，得到環境溫度為75°C時的溫度分布。

4 結果分析

將其生成的溫度分布可視化，得到各層溫度隨時間的二維和三維分布情況（如圖2）。

圖2 高溫狀態下防護服隨時間變化的溫度分布圖

圖3 各層交界面處溫度隨時間的變化

由圖2和圖3可知，隨著時間的增加，各層溫度均有所上升。但不同層之間仍有較明顯的溫差?？梢钥闯龃祟惛邷胤雷o服具有良好的防護效果，符合實際情況。

在與實驗相同的條件下，將模型求解得到的假人皮膚外側溫度與實驗獲得數據進行對比，得到圖4。

從圖4可以直觀地看出模型的擬合結果與實際結果極為接近，且擬合優度判定系數R2接近于1，說明模型具有較高的準確度。經過計算得出誤差率為2%，表明模型效果良好，貼合實際，可以推廣使用。

圖4 擬合與實際對比圖

5 結論

本文根據已有的實驗數據，結合傳熱學的理論，對高溫防護服每一層織物間的熱交換進行分類，建立防護服的熱傳導模型。首先用控制容積平衡法對模型進行離散，再用元胞自動機的算法并借助MATLAB編程對模型進行求解，得到高溫環境下高溫防護服的溫度分布，并將計算結果與實驗數據進行對比，驗證了模型的合理性和準確性。但對于現實復雜的高溫作業環境而言，模型忽略了一些因素，如人體運動出汗或者運動時空氣流動對高溫環境下熱交換的影響，由于人體的皮膚溫度變化不盡相同導致的人體散熱（即質交換）不同的影響。該模型能夠推廣至高溫防護服及消防工作服等各類與傳熱學相關的服裝產品的模擬、檢驗與制作優化，將會達到減少實驗次數、降低研發成本、縮短研發周期的目的。