基于列維過程的碳排放權價格跳躍行為研究

胡根華 朱福敏 邱甲賢

一、引 言

與其他資產價格的波動特征類似，碳資產價格也可能出現不同程度的跳躍，尤其是在金融危機、國際政治環境、天氣等因素的影響下。準確刻畫碳資產價格的跳躍特征，對碳排放權市場的風險管理、產品定價等方面都具有重要的意義。作為世界上最為成熟的碳排放權交易市場，歐盟碳排放配額市場引起了學術界的極大關注，尤其是針對其價格波動特征的研究。Mansanet-Bataller和Pardo(2009)主要探討了歐盟碳排放權交易市場價格受相關時事信息沖擊時產生的波動特征，發現碳市場價格在時事要聞公布當日及前幾天會受到明顯的影響，而其產品收益率的波動性卻變化不大。在這項研究中，被截的均值模型未考慮在樣本期內數據存在的跳躍。賈君君等(2017)在 ARGARCH模型的均值方程和波動方程中引入雙邊修正虛擬變量，并以歐盟市場國家配額分配計劃公告和核證排放量公告事件為例，研究發現重要公告的發布對碳價格的波動產生了顯著的影響。事實上，歐盟碳排放權價格序列存在不同程度上的跳躍特征，相關研究如 Daskalakis等(2009)、胡根華和吳恒煜(2015)、Kim 等(2017)。因此，引入跳躍過程來刻畫歐盟碳排放權價格特征并識別跳躍形態，同時檢驗跳躍過程中存在的價格突變現象，具有很強的現實意義。

二、相關研究綜述

在資本市場上，金融資產的價格容易受到各種沖擊而發生異常的跳躍行為，而這一跳躍行為是金融市場微觀結構研究領域中的一個重要問題，因此需要準確刻畫這些跳躍行為特征。Press(1967)首次將泊松過程引入到資產價格的跳躍行為研究中，即假設資產價格是一次離散事件的結果，通過構建一個復合事件模型，并設定跳躍次數和跳躍強度均服從于不變參數的泊松分布過程和高斯分布過程，從而描述資產價格的跳躍特征，同時發現該模型也有效地刻畫了資產收益率的尖峰厚尾特征。在此基礎上，許多學者也針對資本價格的跳躍行為展開了研究，如 Cox和 Ross(1976)。Akgiray和Booth(1988)通過構建混合 GARCH跳躍模型刻畫資產價格的正常波動，并用跳躍參數來解釋資產價格的異常波動。通過引入跳躍因子，混合 GARCH跳躍模型可以有效地刻畫資本市場的波動及新息的非高斯分布特征。Harvey等(1994)、Mahieu和Schotman(1998)在隨機波動率模型中引入了跳躍因子，通過構建SVJ模型來刻畫金融資產價格的跳躍特征，類似研究如 Kim 等(2017)。然而，混合 GARCH跳躍模型假設跳躍次數服從常數的Poisson過程，且假設跳躍強度與跳躍次數之間不存在跨期相關，這不僅無法刻畫金融危機發生時資產價格波動出現跳躍的概率，也與真實市場跳躍行為特征不太相符。

對于傳統的跳躍模型而言，其假設跳躍強度是一個常數，而資本市場的資產價格發生跳躍的次數與強度往往隨著時間的變化而變化，且跳躍存在聚集的特征與聯跳的情形。為了刻畫這些特征，許多學者構建Lévy-GARCH狀態空間模型。Lévy過程包括連續布朗運動、復合泊松過程和無窮跳躍過程，通過三種測度即線性漂移、連續擴散和隨機跳躍來刻畫資產價格的波動特征，如 Kim 等(2008、2010)、Liu等(2017)。此外，跳躍測度能夠刻畫不同程度的非連續性跳躍，如Gamma時變的布朗運動形式、有限的Merton跳躍擴散模型(Merton，1976)、無窮小跳躍的方差-伽馬(Variance Gamma)過程(Madan，1998)、無窮跳躍的正態逆高斯(Normal Inverse Gaussian)過程(Barndorff-Nielsen，1998)、無窮純跳躍的調和穩態(Classical Tempered Stable)過程(Kim等，2008)等。近年來，國外學者基于 Lévy過程做了很多理論與應用研究，如Gilder等(2014)、Fulop 等(2015)、Bibinger和 Winkelmann(2015)、Ruan 等(2016)、Liu 和 Bai(2016)、Jovan和 Ah?an(2017)、Hieber(2017)、Wang等(2018)。

相對于國外的研究，盡管國內學者針對資產價格的跳躍行為研究較多，但將 Lévy過程引入到復雜跳躍模型以及資產價格跳躍行為的研究相對較少。劉國光和王慧敏(2006)基于NIG模型與VG模型探討了國內外股市收益的分布特征，發現這兩種模型具有良好的刻畫能力，但彼此間并未呈現出顯著的差異。王春峰等(2009)的研究發現，無限活躍列維跳躍的 SV模型能夠很好地描述連續時間內證券市場收益率的動態性。劉志東和陳曉靜(2009、2010)構建了無限活動純跳躍 Lévy金融資產價格模型，并解釋了上證綜指、恒生指數、標普 500指數的波動特征。吳恒煜等(2013、2014)的研究認為，Lévy-GARCH模型既可以捕獲波動的集聚性又可以描述新息的非高斯性質。張飛和劉海龍(2015)引入價格跳躍，通過構建有限跳躍 Lévy過程研究了風險資產價格的過程，并在隨機利率條件下進行了定價。劉悅瑩等(2016)在 Knight不確定性下推導了基于無窮純跳 Lévy過程的風險資產的動態定價公式。根據現有文獻，采用 Lévy過程來研究資本市場的跳躍特征相對比較成熟。

然而，針對歐盟碳排放權交易市場跳躍特征的研究文獻大多基于跳躍-擴散過程，如 Daskalakis等(2009)、Li等(2015)。Chevallier和 Sévi(2014)基于 Todorov 和Tauchen(2010、2011)的分析，證明了歐盟碳排放配額期貨價格的高頻數據存在許多大跳躍和小跳躍。與上述研究不同，一些學者采用ARJI-GARCH模型研究了歐盟碳排放權交易市場價格時變跳躍特征，如 Gronwald和 Ketterer(2012)、胡根華和吳恒煜(2015)。Sanin等(2015)引入時變跳躍概率，探討了歐盟碳排放配額第 II機制上的短期價格行為特征。他們的研究發現，雖然在2005年4月至2007年12月期間碳交易量的急劇增長加劇了碳價格的波動，但不是引起 2008年 1月碳價格波動增加的主要原因，且發現各種布告能夠誘發碳價格的跳躍。Kim 等(2017)通過構建隨機波動率跳躍(SVJ)模型與跳躍相關隨機波動率(SVCJ)模型驗證了歐盟碳排放配額期貨價格的跳躍特征。上述研究結果為歐盟碳排放權交易市場價格序列跳躍行為的存在性提供了證據，但未識別具體跳躍形態，也未檢驗其價格突變現象，這將影響歐盟碳排放權交易市場產品的定價以及套期保值策略的制定。

為此，文章針對歐盟碳排放配額現貨價格數據，分別假設其服從無跳躍過程的布朗運動(BM過程)、有限跳躍行為的MJ過程、無窮跳躍行為的方差-伽馬過程(尾部指數為 0)、無窮跳躍行為的正態逆高斯過程(尾部指數為 1)和無窮跳躍行為的調和穩態過程(尾部指數介于0～2之間)，從而構建不同Lévy過程的條件異方差波動率模型來研究歐盟碳排放權價格的跳躍特征。同時，文章還檢驗了歐盟碳排放權交易市場產品價格的結構突變現象。

三、主要理論模型與方法

大量的實證研究表明，金融時間序列的白噪聲呈現出尖峰厚尾、有偏的統計特征。為了刻畫這些特征，Kim 等(2008)將 Lévy過程與 GARCH 模型結合構建了基于GARCH的無限可分Lévy過程，該模型可以捕捉到波動率的集聚效應與跳躍特征。本文主要采用五種不同的Lévy過程來研究歐盟碳排放權價格的跳躍特征。

（一）Lévy過程

其中，υ為確定的線性漂移率，決定了該隨機過程的時間線性趨勢；σ為服從布朗運動的擴散率，即標準差。對于一個Lévy過程而言，表示該過程的特征三項，其中為單位時間內發生跳躍幅度dL的到達率，即跳躍測度(Lévy測度)，主要用來刻畫特定時間內發生某一跳躍幅度的頻率。

隨機變量的任何跳躍特征都可以根據對應的Lévy測度來刻畫，而Lévy測度能夠控制單位時間內隨機變量發生的跳躍強度與幅度。因此，根據不同的跳躍測度，Lévy過程可以分為無窮小跳躍活動率過程、有限跳躍活動率過程以及無窮跳躍活動率過程等。于是，根據資產價格發生跳躍的強度和幅度不同，可以選擇構建合適的 Lévy過程來描述。可見，Lévy過程既能夠刻畫金融資產收益率的尖峰厚尾、偏斜等特征，也能夠描述跳躍行為及其集聚現象。因此，本文選取五種隨機運動形態的Lévy過程研究歐盟碳排放權價格的跳躍特征。

對于任意一個隨機變量的分布而言，都可以運用唯一的特征函數來表達。特征函數是實數面映射到復數面的函數，即于是，Lévy過程X在某一特定點u的分布函數的特征函數就可以表述為i表示復數依據Lévy-Khinchine公式，Lévy過程Xt就可以采用特征函數來描繪隨機過程的運動性質，即:

下面簡要描述幾類隨機過程的特征函數，更詳細介紹可參見 Rachev等(2011)的文獻。對于MJ過程而言，其特征函數為:

其中，參數Jλ大于0，表示跳躍強度；參數Jμ和Jσ分別表示MJ過程的均值和標準差。

對于VG過程而言，其特征函數為:

其中，參數C、G、M均大于 0。參數C=λ，用于控制跳躍活動的整體水平，而參分別用于控制 Lévy密度的左右尾部指數式衰減率，且G≠M表明 Lévy密度函數具有偏斜的分布特征。若G＜M，則說明隨機變量Xt分布的左尾要厚于右尾。

對于NIG過程而言，其特征函數為:

對于CTS過程而言，其特征函數為:

（二）Lévy-NGARCH模型

考慮并刻畫金融時間序列自相關與異方差特征的存在性，ARMA-NGARCH模型是常見的擬合方法之一。該模型包含條件均值方程與條件方差方程，即:

其中，tr為金融資產的收益率序列，tμ為均值項，tε為模型的擾動項。在t時刻的信息集tF下，有，而ht為非對稱的 GARCH 模型(記為NGARCH模型)。若參數γ≠0，表明市場受到沖擊的程度存在不對稱性；而當參數γ＞ 0時，表明市場存在負的杠桿效應，說明市場受到利空信息的沖擊程度大于同等規模的利好信息的沖擊程度。

于是，Lévy-NGARCH模型形式可以表述為:

（三）參數估計

為了估計 Lévy-NGARCH模型的參數，文章將 Lévy過程特征函數進行傅里葉變換并得到離散的密度函數，然后運用極大似然估計方法進行參數估計。假設資產價格序列服從一個動態的Lévy過程，即:

其中，Xt表示一個獨立的動態 Lévy過程，xt表示條件狀態，且表示該過程的條件狀態變量。假設在t時刻信息集tF下，條件狀態xt平穩且有界，并獨立于隨機因子dXt，但與歷史信息有關。那么，條件狀態xt就取決于歷史狀態和歷史隨機增量。于是，條件特征函數就可以表述為:

而對于離散的情形，在時間間隔Δ內，一個動態Lévy過程的新息序列為:

根據條件狀態變量，其條件特征函數的形式就可以表述為:

且殘差序列為:

由條件特征函數的傅里葉變換，可以得到概率密度函數:

于是，假設lnL為聯合對數似然函數，其表達式為:

其中，Θ表示參數集。最大化上式，可以估計模型參數集Θ。

四、實證研究與分析

（一）數據選取與說明

本文選取歐盟排放配額(EUA)現貨的日交易數據為樣本，區間范圍為 2010年 1月4日至2016年3月31日，刪除交易日缺失數據后共1574個樣本數量。在樣本期內，從《京都議定書》于2012年年末到期后，歐盟碳排放交易體系從第二階段進入第三階段。在不同階段上，碳排放權市場發展目標存在一定的差異，且世界經濟總體景氣程度并不高，可能對歐盟碳排放交易市場帶來沖擊，使市場交易價格出現跳躍，甚至出現價格突變的現象，尤其是在樣本考察期內歐債危機進一步蔓延。因此，選取這一階段的樣本數據具有一定的代表性。在實證分析中，本文采用對數收益率數據，即原始數據來源于Wind數據庫。

圖1分別描述了 EUA價格序列與對數收益率序列的變化情況及其對應的 QQ圖。從價格序列圖上看，第二階段上 EUA的價格出現大幅度下降，而第三階段前期EUA的價格雖有所上升但后期又呈現急速下降態勢。由此可見，EUA價格具有顯著的波動特征與跳躍現象，甚至出現價格突變，而EUA對數收益率序列圖顯示了波動聚集特征，且分位數圖顯示其不服從正態分布。因此，本文考慮構建合適的 Lévy-NGARCH模型來刻畫上述特征，并采用多重結構突變檢驗方法來檢驗序列的突變點。

（二）實證分析

在實證研究過程中，文章首先考慮歐盟排放配額的收益率不存在跳躍，并采用無跳躍過程的布朗運動(BM過程)這一隨機過程來刻畫收益率的特征，即BM-NGARCH模型；然后假設資產收益率存在跳躍，并假設跳躍過程分別服從有限跳躍行為(MJ過程)、無窮跳躍行為(方差-伽馬過程)、無窮跳躍行為(正態逆高斯過程)、無窮跳躍行為(經典調和穩態過程)，從而分別構建 MJ-NGARCH 模型、VG-NGARCH 模型(尾部指數為 0)、NIG-NGARCH 模型(尾部指數為 1)與 CTS-NGARCH 模型(尾部指數介于0～2之間)，并通過基于傅里葉變換的極大似然法來估計模型的參數，以研究歐盟碳排放權交易市場價格的跳躍特征。

表1描述了五類Lévy-GARCH模型的參數估計結果。在五類Lévy-GARCH模型中，β值都比較大，說明市場價格的波動聚集效應明顯，這表明歐盟碳排放權交易市場發生大幅度波動之后繼續發生大幅度的波動，進而增加了市場的波動風險；而1α+β值都接近于 1，說明 GARCH 模型比較平穩，且波動效應比較持久。參數γ均顯著為正，表明歐盟碳排放權交易市場存在負的杠桿效應，即利空信息給市場帶來的沖擊程度大于同等規模下利好信息帶來的沖擊程度，也表明采用非對稱的 GARCH模型能夠較好地刻畫歐盟排放配額的收益率特征，這將有利于提高市場極值風險的度量精度。此外，除了 BM-NGARCH模型之外，其他四類跳躍模型中的跳躍參數均顯著，這說明歐盟碳排放權(EUA)的現貨價格序列確實呈現出跳躍特征。

表1 模型的參數估計

續表1

對比上述四類跳躍模型的跳躍參數特征，只有 VG-NGARCH模型、NIGNGARCH模型和CTS-NGARCH模型能夠識別跳躍的方向，即正向跳躍和負向跳躍，這比較符合真實市場的波動特征。另外，跳躍參數λ+＞λ-，這表明歐盟碳排放權交易市場價格發生負向跳躍的可能性更大，也表明市場更容易產生下側風險，從而造成收益損失。在實際應用中，應重點關注市場之間下尾部風險存在傳染的現象，準確度量市場的下尾部風險具有重要的指導意義。

采用 Kolmogorov-Smirnov檢驗(KS檢驗)方法檢驗殘差序列是否服從理論的分布特征。假設殘差序列zt，F (zt)表示基于市場數據的殘差序列的經驗累積分布函數，G(zt)表示基于假設模型的經驗累積分布函數，即 Normal、MJ、VG、NIG 以及CTS過程對應的累積分布，于是 Kolmogorov-Smirnov檢驗方法的統計量為max

（三）模型的檢驗

（四）進一步分析

研究表明，歐盟碳排放配額價格服從尾部指數為1.5的無窮跳躍行為，說明歐盟碳排放權價格呈現出列維分布的非高斯特性，即尖峰厚尾、偏斜。這表明，歐盟碳排放權交易市場上大量的信息都集中于尾部，這些信息包括配額分配制度、金融危機、天氣等，導致歐盟碳排放交易市場時常遭受較大的沖擊，從而使得歐盟碳排放權的價格出現較大的波動，尾部產生極值的概率增大。在歐盟碳排放交易體系下，歐盟成員國根據國家分配方案所規定的總排放量將 EUA分配給企業，而企業可根據自身的排放量在歐盟碳排放權交易市場進行出售或者購買。隨著歐盟碳排放交易體系進程的推進，在歐盟碳排放交易體系進入第二階段末期，歐盟碳排放權交易市場對于第三階段的政策目標并不十分明確，且歐盟國家一直處于 2007—2009年美國次貸危機引發的全球金融危機的陰影下，同時又遭受主權債務危機的沖擊，使得歐盟各國的經濟景氣程度總體不高，導致歐盟各國的減排意愿減弱，實際執行減排項目的企業對碳排放權需求減少。在這種情形下，歐盟碳排放權的大量過剩給該市場的價格帶來了很大的沖擊，加劇了歐盟碳排放權價格的波動，從而使得市場尾部風險不斷上升，市場價格發生跳躍的概率明顯增加。

在《聯合國氣候變化框架公約》下，控制二氧化碳的排放是應對氣候變暖的重要舉措。基于此，歐盟碳排放權價格將會受到原油、天然氣、煤等能源市場的沖擊，也受到其他資本市場的影響。研究表明，這些能源市場的價格對歐盟碳排放權價格產生正向的沖擊(Hammoudeh等，2014)，且歐盟碳排放權價格也會受到這些市場交易者行為的影響(Ibrahim 和 Kalaitzoglou，2016)。由于受到眾多新息(Innovation)的沖擊，歐盟碳排放權價格的波動增強，價格極易發生大的跳躍，甚至出現結構突變的現象。如表2所示，本文檢驗了歐盟碳排放權價格序列在樣本期內發生結構突變的次數與時點。由于受到多種因素的影響，歐盟碳排放權價格容易產生正向跳躍或者負向跳躍而發生結構突變的現象。例如，2010年之后，歐盟碳排放配額的價格一直呈現出緩慢的平穩增長趨勢，而2010年5月3日突然下跌而發生結構突變。一方面，由于受到歐洲主權債務危機的影響，國際能源價格下降驅使歐盟碳排放配額價格下跌；另一方面，參與減排的企業數量減少，對配額的需求量下降導致歐盟碳排放配額價格走向低迷。如果歐盟碳排放權價格發生負向跳躍，則會導致價格下跌而產生下側風險。倘若未及時檢測到價格的負向跳躍行為，就可能會產生錯誤定價或者收益損失。由此可見，準確檢測歐盟碳排放權價格的跳躍并度量跳躍風險，具有很重要的現實意義。

表2 序貫確定突變檢驗

五、結論與啟示

鑒于其他資本市場跳躍特征的存在，本文首先研究了歐盟碳排放配額現貨價格序列的跳躍行為。一方面，假設無跳躍過程的布朗運動，另一方面假設跳躍過程分別服從有限跳躍行為的 MJ過程，以及無窮跳躍行為的方差-伽馬過程、正態逆高斯過程與經典調和穩態過程，從而構建五種不同 Lévy過程的條件異方差波動率模型并進行實證研究。然后，檢驗歐盟碳排放權交易市場的價格突變特征。主要研究結果如下:第一，歐盟碳排放權交易市場存在跳躍特征，且發生負向跳躍的概率更大。第二，帶杠桿效應的 Lévy-NGARCH模型可以刻畫這些跳躍特征，且 CTS-NGARCH模型擬合效果最佳。第三，歐盟碳排放配額價格呈現出尾部指數約為 1.5的無窮跳躍行為特征。第四，歐盟碳排放配額現貨價格發生跳躍時，價格序列呈現結構突變的特征。

這一研究不僅檢驗了歐盟碳排放權交易市場 EUA價格的跳躍行為，也識別了這種跳躍形態的特征，為進一步研究碳金融產品的風險管理與定價等方面提供了重要的理論依據。在資本市場上，市場之間的跳躍行為往往存在跳躍集聚現象，且資本市場之間可能存在傳染機制。因此，在未來研究中，可以進一步研究碳排放權交易市場內部、碳排放權交易市場與其他資本市場之間的跳躍集聚與跳躍傳染現象。同時，由于碳排放權交易市場具有自身歷史信息的記憶性特征，碳排放權價格的自激發特征也是下一步探討的重要內容。

當前，盡管我國已經啟動了全國統一碳排放權交易市場，但該體系仍然處在能力建設階段，其呈現的一些特征也類似于歐盟碳排放交易體系的初期特征，如碳排放權的交易大多集中在履約期，這在很大程度上加劇了我國碳排放權交易價格的波動，給市場帶來了很大的不確定風險，也不利于市場投資者的入場投資。目前，我國碳排放權交易總量和配額分配方案已經獲批。鑒于此背景，本文的研究方法與研究結論對未來研究我國碳排放權配額的跳躍行為及其形態都具有一定的參考意義。就定價方面而言，引入列維過程來準確刻畫碳排放權配額的跳躍形態，構建合適的定價模型，有利于降低由于錯誤定價而給市場帶來的波動風險，進而維持市場的良好運行。如果不考慮跳躍的發生，就會降低理論模型的定價能力，且會過度平滑跳躍風險而產生潛在的危機。同時，大力發展我國碳排放權配額期貨市場，通過期貨市場的價格發現功能進一步完善我國碳排放權配額現貨市場的定價機制。就投資組合方面而言，準確識別碳排放權配額價格的跳躍形態與跳躍方向，有利于市場投資者制定合適的投資組合策略。由于歐盟碳排放權交易市場的資產價格發生負跳躍的尾部概率更大，選取發生正向跳躍且具有較大相依性的資產進行風險對沖，可以達到套期保值的目標。此外，由于市場存在極值風險傳染的現象，可以選取相依程度較小的資產組合來規避市場波動造成的風險。于是，未來構建帶跳躍的風險相依模型將具有重要的理論與實踐意義。