六軸運動平臺幾何誤差與陣列光纖對準精度的映射關系

唐 皓 唐果寧

湖南科技大學機電工程學院，湘潭，411201

0 引言

多自由度精密運動平臺具有精度高、安裝結構靈活、響應快等特點，被廣泛應用于航空航天、機器人以及精密加工等領域[1]。多自由度精密運動平臺的作用在于小/微誤差條件下精確控制關鍵物件的空間位姿，如在光電子封裝系統中，陣列光纖和波導芯片分別安裝在六軸運動平臺和機架之上，通過人為控制平臺各自由度的運動，使得陣列光纖與波導芯片各光路通道一一對準，輔之后續的點膠、固化等，以實現光子器件的制造[2]。通常，對運動平臺的控制主要是通過誤差建模來實現的，因此，探索運動平臺幾何誤差與光電子封裝系統對準精度的映射規律對于合理的誤差建模尤為關鍵。

關于多自由度運動系統對準精度問題，國內外許多學者已進行了大量研究。SUH等[3]針對五軸旋轉工作平臺提出了包括對控制器的誤差補償、新的誤差測量方法等系列誤差分析方法，該方法對大多數多自由度數控機床具有一定的指導意義；ERIK等[4]針對五軸鉆床提出了系統性幾何誤差參數辨識方法；劉又午[5]采用多體動力學方法與拓撲學知識對多自由度系統進行誤差建模；張棟等[6]運用神經網絡方法對壓電工作臺進行建模與控制，提高了平臺的定位精度；粟時平等[7]、王秀山等[8]、楊建國等[9]分別對不同的三軸或五軸數控機床進行了誤差建模；田延嶺等[10]在對磨削加工的微定位工作臺進行動力學建模的基礎上，從其動力學特性方面進行了精度補償分析，并將其與大型設備的精度控制問題進行了延伸對接。綜上所述，大多數學者研究的對象為多自由度機床，而針對其他具有普遍性的多自由度精密運動系統，如光電子封裝系統多自由度(六軸)精密運動平臺的誤差與精度映射規律研究卻鮮見報道。筆者曾針對光電子封裝系統六軸精密運動平臺控制陣列光纖位姿問題，采用齊次坐標矩陣建立了多自由度運動平臺誤差模型[11-14]。

本文針對六軸運動平臺幾何誤差與光纖對準精度的映射規律開展研究，即考察精確運動的芯片各個通道的對準關系，分析因幾何誤差導致的橫向位錯和對準偏差，運用方差敏感性分析，找出影響這兩個因素的重要誤差項及產生原因，最后通過實驗進行驗證。考慮到對準精度主要受到橫向位錯與對準偏差的影響[15]，本文只考慮運動平臺幾何誤差對對準精度的影響，而波導芯片的安裝誤差等暫不考慮。

1 六軸運動平臺誤差建模

六軸運動平臺如圖1所示。由于光纖的芯徑只有4～8 mm，光波導的導光區域寬度僅為3～7 mm，故六軸運動平臺精度必須是亞微米級。本文重點是研究對準，至于載荷與速度則較少考慮。通常，陣列光纖固定于六軸運動平臺，芯片固定于機架上，6個運動單元可分別控制，x、y、z為3個平動單元，a、b、c為3個轉動單元(繞x、y、z三自由度轉動)，從而實現6維陣列光纖與芯片對準過程的全空間、高精度位置控制。

1.z自由度 2.y自由度 3.c自由度 4.y自由度 5.b自由度 6.a自由度圖1 六軸精密運動平臺結構Fig.1 Configuration of six-axis precise stage

1.1 對準過程坐標系

為了方便建立誤差模型，將坐標系原點與轉動自由度旋轉中心建立在同一平面，則坐標系原點x坐標隨之確定；由于安裝誤差存在于各運動單元的接觸面，故z坐標與y坐標也可設定在不同運動單元的接觸面上，如圖2所示。所建的誤差模型包括以下3個部分：

(1)各坐標系的坐標差矩陣

(1)

式中，x、y、z分別為相鄰坐標系原點的位置差，與運動單元的尺寸有關。

圖2 運動平臺對準坐標系Fig.2 Coordinate systems of motion stage

(2)各運動單元的移動量與相應的齊次變換矩陣見表1。

(3)運動平臺的誤差項。幾何誤差包括運動誤差與安裝誤差。運動單元運動過程中存在6項運動誤差(定位誤差、兩項直線度誤差、俯仰、偏轉與滾擺誤差)，即

(2)

x、y、z,u、v、w分別為3項平動誤差與3項轉動誤差。安裝過程中的非正交性誤差主要體現為角度偏差，即包括3平動軸之間的3項非正交誤差、3轉動軸之間的3項非正交誤差，以及平動軸與轉動軸之間的誤差共6項誤差：

(3)

1.2 運動平臺誤差建模

在不考慮誤差的理想情況下，平臺位姿只與坐標系之差和各運動單元運動量有關。理想情況下，安裝于平臺的陣列光纖的理想位姿可通過下式求得：

Ei=TzPzx(0,0,zzx,0,0,0)TxPxc(0,0,zxc,0,0,0)·
RcPcy(0,ycy,zcy,0,0,0)TyPyb(0,yyb,0,0,0,0)·
RbPba(0,yba,0,0,0,0)Ra

(4)

當考慮幾何誤差時，陣列光纖的實際位姿通過下式求得：

Ea=Sz(0,0,γz)MzKz(xz,yz,zz,uz,vz,wz)·
Pzx(0,0,zzx,0,0,0)Sx(αx,0,0)·
MxKx(xx,yx,zx,ux,vx,wx)Pxc(0,0,zxc,0,0,0)·
Sc(αzc,βzc,γc)RcKc(xc,yc,zc,uc,vc,wc)·
Pcy(0,ycy,zcy,0,0,0)Sy(0,βy,0)·
MyKy(xy,yy,zy,uy,vy,wy)Pyb(0,yyb,0,0,0,0)·
Sb(αyb,βb,γyb)RbKb(xb,yb,zb,ub,vb,wb)·
Pba(0,yba,0,0,0,0)Sa(αa,βxa,γxa)·
RaKa(xa,ya,za,ua,va,wa)

(5)

其中，矩陣K表示運動誤差矩陣，矩陣S為靜止誤差矩陣，P表示各運動單元之間的尺寸，M為平移運動矩陣，R為旋轉運動矩陣。下標為其所在的運動單元和相鄰運動單元，x、y、z,a、b、c分別表示3個平動單元與3個轉動單元。運動誤差xz為z運動單元x方向的運動誤差，γz為z運動單元繞z方向的轉動誤差，αzc為z運動單元與c運動單元繞x方向的轉動誤差。余同。

將式(5)減去式(4)，可得實際情況下陣列光纖與波導芯片的位姿偏差。對準過程的誤差模型公式為

E=Ea-Ei

(6)

2 運動平臺幾何誤差辨識與誤差敏感性分析

陣列光纖的位置與姿態需要嚴格控制。在光纖與芯片的對準過程中，若光損耗小于0.15 dB(意味著整體對準耦合效率大于96.6%)，則各方向的偏差閾值如下：x、y向偏差需小于1 mm，z向偏差小于16 mm，a、b向角度偏差小于0.65°。根據旋轉中心的位置，可判斷得出0.65°造成的損耗量約為1.1 mm。文獻[2]通過下式印證了這一結論：

(7)

其中，ψ1d(x,y,z)為x、y、z方向上的偏差，ψf(x,y)為a、b方向上的角度偏差，η為耦合效率。考慮到光纖和芯片在對準過程上是繞c方向上的中心對稱，因此，理論上c方向不存在損耗。

根據上述分析結果，x、y向的偏差以及a、b方向的偏差對對準過程的影響較為顯著。具體說來，主要誤差分為橫向位錯、縱向間距與對準偏差，其中，橫向位錯(即x、y方向偏差)影響程度最大。考慮到對準過程中x、y方向偏差是對稱的，基于上述誤差模型，下文以x方向偏差為例來建立映射關系。其余兩方向的研究結論可按照相同步驟得出。

2.1 誤差源分析

雖然不同的誤差項對對準偏差的影響存在差異(這取決于不同條件)，但通過誤差辨識可以找出哪些誤差項對對準偏差存在影響，即建立幾何誤差與對準偏差的映射關系，得出各誤差項對對準偏差的影響關系。具體步驟如下：①求解得出各誤差項的分布范圍。一般可通過查詢產品型號或通過實驗測量得出。②模擬分析得出各誤差項對對準偏差的影響，建立映射關系。③將具體數值代入模型，得到仿真結果并進行分析。

本文采用的運動平臺為駿河Suruga Seiki ES6201。48項幾何誤差分布范圍可通過產品型號與安裝準則得出，見表2。

表2 48項幾何誤差項的分布范圍

2.2 重要誤差項分析

由于各誤差項對橫向位錯的影響不同，故需對48項誤差的敏感性進行分析。通過基于各誤差項分布范圍的大量隨機取值，運用基于方差的方法將48項幾何誤差按照“非常重要”、“較重要”、“不重要”進行歸類。具體步驟如下：①待研究誤差項設為變量，其余誤差項設為常量。②在待研究誤差項中隨機取值，代入式(6)的誤差模型，觀察陣列光纖x方向偏差。③重復步驟①、②多次，記錄這兩組數值。④比較該組待研究誤差項隨機值的方差與對應的陣列光纖x方向偏差的方差。若數值較大，則說明該誤差項對陣列光纖x方向偏差影響較大，歸類于非常重要；若數值相近，則說明該誤差項較為重要；若只對x方向偏差產生微小波動或沒有波動，則說明該誤差項對此方向偏差不重要。其他誤差項的重要程度歸類可依據同樣步驟得到。

上述敏感性分析過程不僅考慮了各誤差項的分布范圍，而且考慮了誤差項取值的波動對陣列光纖的影響，結果見表3。

表3 針對橫向位錯的誤差影響分類

注：上標k表示運動誤差；上標s表示靜止誤差。

由于誤差參數敏感性界定比較嚴格，故只能通過比較目標誤差參數與偏差變化的方差比來進行判斷。由表2的結果可以發現：①x、z方向的誤差項對橫向位錯幾乎不產生影響，歸類于“不重要”；②y方向的平動誤差對橫向位錯是線性反映，歸類于“較重要”；③繞z方向的轉動誤差對橫向位錯沒有影響，歸類于“不重要”；③a方向(繞x方向)的誤差項非常敏感，這主要源于平臺內部運動單元搭建結構造成的影響。如圖1所示，六軸平臺前3個運動單元z、x、w是沿著y方向垂直安裝的，而后3個運動單元y、v、a是沿著z方向水平安裝的。對于前3個運動單元，若在繞x方向上有一個角度誤差q，那么在橫向位錯上的投影為L1sinq(L1為y方向運動單元高度)。而后3個運動單元繞x方向上的誤差的橫向位錯的投影為L2(1-cosq)(L2為z方向運動單元長度)，如圖3所示。由于角度誤差q的值很小，故將上述L1sinq，L2(1-cosq)通過泰勒公式展開并忽略高階項，可以得到：

c1:L1sinq=L1q

(8)

c2:L2(1-cosq)=0

(9)

圖3 繞x方向誤差項分析示意圖Fig.3 Schematic of error analysis for x-axis

對于z方向偏差，沿著y軸安裝的前3個z、x、c子運動單元，a方向的誤差項非常敏感，呈近似線性關系,而沿著z軸安裝的后3個y、b、a子運動單元，a方向的誤差項則不敏感，可忽略不計。

3 運動平臺幾何誤差與對準精度映射關系

根據上述誤差模型以及誤差敏感性分析，可建立運動平臺的幾何誤差與對準精度中x方向偏差的映射關系。

首先對各運動單元運動量及相鄰運動單元的坐標系原點差值等參數賦值。安裝好陣列光纖與芯片后，其相對位置差是隨機的，可按照最基本的情況為各運動單元的運動量賦值。坐標系差與運動單元外部尺寸有關，可通過平臺參數查詢得到。各運動單元運動量與坐標系差參數見表4。

表4 各運動單元運動量與坐標系差參數

考慮“非常重要”與“較重要”兩組誤差項的影響。根據其物理意義，結合表5，該兩組誤差項可分為平動單元運動角度誤差ux、uz,轉動單元運動角度誤差uc,定位誤差zz,平動單元直線度誤差zx,zy,轉動單元角度偏差zu、zv、zc和安裝誤差αzc、αx。

為了得到橫向位錯的最大偏差，在各誤差項的分布范圍內取最大值，其余誤差項的值均為零，得出映射關系見表5。

表5 敏感誤差項與對準精度橫向位錯的映射關系

根據其影響程度高低，得出這兩組誤差項對對準精度中橫向位錯的敏感性分布圖，見圖4。從仿真結果可知，對于橫向位錯，需要嚴格控制的誤差項主要為繞x軸旋轉的角度誤差，包括運動誤差(如俯仰、滾擺、傾斜角度誤差)以及安裝誤差等。鑒于安裝誤差分布范圍較廣，安裝過程難以準確把控，且對橫向位錯的影響較大，故在平臺精度提高、平臺結構優化等方面需注意。

圖4 敏感誤差項對橫向位錯的影響Fig.4 Impact on transverse dislocation by sensitive error

同理，可得出上述48項誤差對對準精度中對準偏差(繞x方向與繞y方向)的映射關系，見表6。可以看出，繞x方向的轉動誤差直接反映到陣列光纖同方向對準偏差。同理，繞y方向的轉動誤差也直接反映到陣列光纖姿態同方向對準偏差，見表7。

表6 敏感誤差項與對準精度對準偏差(繞x方向)的映射關系

表7 敏感誤差項與對準精度對準偏差(繞y方向)的映射關系

4 幾何誤差與對準精度映射關系測量實驗

為了驗證敏感誤差項與對準精度橫向位錯的映射關系，本文對該六軸精密運動平臺各幾何誤差對對準精度的影響進行了測量實驗。以橫向位錯(x方向)為例，采用Renishaw XL-80激光干涉儀測量六軸精密運動平臺的橫向位錯，將其與上文計算結果進行對比，進而驗證仿真結果。測量實驗裝置見圖5，激光干涉儀線性測長原理見圖6。

圖5 橫向位錯測量實驗示意圖Fig.5 Schematic of experiment for transverse dislocation measurement

圖6 激光干涉儀線性測長原理示意圖Fig.6 Schematic of the linear measurement principle for laser interferometer

采用數學軟件對測量數據進行擬合，得出各待測幾何誤差參數與橫向位錯的關系(圖7)，計算結果與實際測量結果比較見表8。由表8可以看出，前3行幾何誤差參數的測量結果與推導結果相近，而安裝誤差的測量結果與推導結果有一定的差異，這主要是因為安裝過程中人為因素與環境因素造成的影響較為顯著，而其他誤差參數均是運動平臺自身的運動誤差，在制造過程中應盡可能地避免。

圖7 橫向位錯測量結果Fig.7 Results for transverse dislocation measurement

幾何誤差推導結果擬合結果擬合近似度(R平方函數)zx,zy,zzza,zb,zcy=xy=0.998x0.998 5ux y=4.1xy=4.082x0.999 8uz,ucy=6.1xy=6.078x0.972 4αzcy=21xy=18.48x0.969 1

比較測量得出的映射關系與表8推導得出的映射關系的差異可以發現，基于誤差模型的誤差敏感性分析可準確得出六自由度精密運動平臺幾何誤差與光纖對準精度的映射關系，為提高運動平臺的精密提供了幫助。同時，這也在一定程度上揭示了六自由度精密運動平臺幾何誤差與光纖對準精度的映射規律。其他方向的測量結果可根據同樣的步驟得出。

通過實驗與計算比較，對于橫向位錯，安裝誤差分布范圍較廣，影響程度最高。若安裝誤差達到0.5 μm，則橫向位錯有10.5～20.5 μm的偏差；而運動單元的角度誤差的影響也較大，當ux=0.1 μm,uz=0.1 μm,uc=0.2 μm時，橫向位錯別為4.1 μm、6.1 μm、12.2 μm，而同方向的直線度誤差直接反映到橫向位錯，因此，平臺自由度的搭建需嚴格控制上述敏感誤差項。對于對準偏差，同方向的角度誤差也將直接反映到對準偏差。

5 結論

研究結果表明，控制陣列光纖的位姿及對準精度，可以依據齊次坐標矩陣幾何誤差模型，采用方差敏感性分析方法，辨識得出影響對準精度的重要誤差項；分析運動平臺的搭建結構，且通過實驗結果驗證，運動平臺幾何誤差與光纖對準精度之間的確存在映射規律。綜上所述，該方法可靠、有效，對提高光纖對準效率與封裝效率大有幫助。本文研究思路與方法可為同類型高精密系統誤差分析提供借鑒。關于熱誤差、運動速度與運動載荷等因素對對準精度的影響問題，筆者將在后續研究中深入展開。