一種外LET柔順半鉸的動力學(xué)建模與分析

李鵬飛 曹博宇 汪振宇 趙 晨 趙榮昌

西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，西安，710048

0 引言

柔順機構(gòu)利用機構(gòu)中的柔性組件的變形來傳遞和轉(zhuǎn)化機構(gòu)的運動、力和能量，它具有較高的傳動精度，不存在運動副間隙引起的摩擦、磨損、沖擊，已廣泛應(yīng)用在醫(yī)療、微精密機械、航空航天等領(lǐng)域。在柔順機構(gòu)的設(shè)計中，尋找合適的柔順鉸以滿足機構(gòu)在運動過程中所需的力-變形特性是一個難題。

不同于傳統(tǒng)剛性機構(gòu)中的鉸鏈，柔順機構(gòu)中的柔順鉸作為一類核心組件，它的結(jié)構(gòu)形式直接影響柔順機構(gòu)的性能。早期的柔順鉸主要利用材料的厚薄、粗細、寬窄、長短的變化來改變該鉸的柔性，例如橢圓型和直角型柔順鉸[1]、直角缺口型柔順鉸以及圓弧缺口(雙曲線、橢圓曲線、圓弧曲線、拋物線等)型柔順鉸[2-5]等。這類柔順鉸的結(jié)構(gòu)相對簡單且易于加工，常應(yīng)用于單一運動狀態(tài)(純拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn))的場合。但是，實際應(yīng)用過程中柔順鉸常常承受復(fù)合受力狀態(tài)，以上種類柔順鉸很難滿足使用要求，并且容易產(chǎn)生疲勞甚至斷裂等。針對以上情況，文獻[6]設(shè)計了一種外LET柔順鉸和內(nèi)LET柔順鉸。這兩種柔順鉸的拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)分散在該鉸的不同柔性部分。文獻[7]設(shè)計了在拉壓載荷條件下產(chǎn)生最小寄生運動的3種柔順鉸。文獻[8]介紹了多曲梁柔性鉸、交叉簧片柔性鉸、剪式柔性鉸等。在這些柔順鉸中，文獻[6]設(shè)計的柔順鉸可承受復(fù)合受力狀態(tài),加工簡單且易于批量生產(chǎn)，在柔順機構(gòu)和平面折展機構(gòu)中得到應(yīng)用,如多層LEMs機構(gòu)[9]、旋轉(zhuǎn)式LEMs機構(gòu)、平行導(dǎo)向LEMs機構(gòu)、Bricard 6R機構(gòu)[8]、平面折展升降機構(gòu)[10]等。

目前，對于大多數(shù)柔順鉸特別是內(nèi)、外LET柔順鉸的建模與分析多采用偽剛體模型法。該方法的核心思想是將柔順鉸中的柔性構(gòu)件等效簡化為多段剛性構(gòu)件，并在每兩段剛性構(gòu)件之間添加扭簧來表征柔性構(gòu)件的彎曲或扭轉(zhuǎn)。在建模過程中，該方法的等效替代思想無法精確地描述柔順鉸在整個運動過程中各個部分的運動變形，并且在理論推導(dǎo)過程中存在諸多假設(shè)和試算。文獻[11]應(yīng)用偽剛體模型法對一柔順機構(gòu)進行了建模與仿真，從獲得的柔順機構(gòu)的變形可看出仿真結(jié)果和實際差異較大。

本文采用絕對節(jié)點坐標(biāo)法[12-13]對外LET柔順半鉸進行動力學(xué)建模與仿真，獲得該鉸中心線與外輪廓的運動變形，通過實驗對比，驗證絕對節(jié)點坐標(biāo)法對柔順鉸建模、仿真的有效性；分析了外LET柔順半鉸外形尺寸變化對其變形規(guī)律的影響。

1 外LET柔順半鉸動力學(xué)模型

1.1 基于斜率不連續(xù)ANCF的柔順半鉸單元劃分

將圖1所示的外LET柔順半鉸應(yīng)用圖2a所示的ANCF三維二節(jié)點梁單元進行有限單元劃分，結(jié)果如圖2b所示，其局部放大如圖2c所示。圖2中，坐標(biāo)系XYZ為全局坐標(biāo)系，坐標(biāo)系xmymzm、xnynzn分別為單元m和n的單元坐標(biāo)系。

圖1 外LET柔順半鉸Fig.1 The half outside LET compliant joint

對于圖2a所示三維二節(jié)點梁單元，單元上任意點的全局位移[12-13]設(shè)為

r=(r1，r2，r3)T=(X，Y，Z)T=

S(x,y,z)e(t)

(1)

其中，ai、bi、ci(i=0,1,…,7)為插值多項式系數(shù)，x、y、z為定義在梁單元坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)，S(x，y，z)為形函數(shù)。節(jié)點坐標(biāo)向量e(t)定義為

(2)

其中，rα(α=i,j)為節(jié)點全局位置坐標(biāo)，即

(3)

(a)ANCF三維二節(jié)點梁單元

(b)有限單元劃分

(c)局部放大圖圖2 單元劃分Fig.2 Finite unit

(4)

式中，la為節(jié)點a在全局坐標(biāo)系下的X軸坐標(biāo)。

由式(4)可以看出，兩個單元在同一節(jié)點處的節(jié)點坐標(biāo)向量的斜率項并不相等，存在斜率不連續(xù)現(xiàn)象。在改進的ANCF法[14]中引入體坐標(biāo)系，將節(jié)點坐標(biāo)向量用體坐標(biāo)系下的體參數(shù)進行描述(如圖2b中的XbYbZb)，很好地彌補了OMAR提出的ANCF模型[15]無法描述該現(xiàn)象的不足。由于圖2b中該體坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系重合，故兩坐標(biāo)系下對不同單元斜率坐標(biāo)的描述是一致的。此時，單元坐標(biāo)系下和體坐標(biāo)系下的節(jié)點坐標(biāo)向量之間存在以下變換關(guān)系：

(5)

其中，e是以單元坐標(biāo)系參數(shù)定義的節(jié)點坐標(biāo)向量，p是以體坐標(biāo)系參數(shù)定義的節(jié)點坐標(biāo)向量，jl,n(l,n=1,2,3)是雅可比矩陣項[16]，I和0分別為3階單位陣和零陣，轉(zhuǎn)換矩陣T表達式為

1.2 外LET柔順半鉸的單元建模

1.2.1單元質(zhì)量矩陣

將式(5)代入式(1)，并對時間求導(dǎo)，由動能表達式可得出體坐標(biāo)系下的單元質(zhì)量矩陣

(6)

式中，ρ為材料密度；V為單元體積。

1.2.2單元彈性力

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，可計算單元的廣義彈性力。變形梯度J為

(7)

J0=?r0/?vr0=Se0v=(x，y，z)T

其中，e0是單元初始狀態(tài)的節(jié)點坐標(biāo)向量。不失一般性，假設(shè)梁初始繞Y軸旋轉(zhuǎn)，且與X軸夾角為θ，此時有

(8)

則Green-Lagrange應(yīng)變張量εm可寫為

(9)

考慮到應(yīng)變張量εm的對稱性，將其各元素寫成向量形式ε=(ε11,ε22,ε33,ε12,ε13,ε23)T。由應(yīng)變向量ε和應(yīng)力向量σ間關(guān)系，可以求出單元的應(yīng)變能

(10)

式(10)所示應(yīng)變能對節(jié)點坐標(biāo)p求偏導(dǎo)，可得體坐標(biāo)系下彈性力向量表達式：

(11)

其中，K是剛度矩陣，且K=K1+K2+K3，有

(12)

(=a,b,c,d,e,f

式中，λ、μ為Lame常數(shù)。

1.2.3單元廣義外力

由虛功原理可知，作用在單元上任意一點的外力F對單元做的虛功在體坐標(biāo)系下可表示為

(13)

由式(13)可得廣義外力向量在體坐標(biāo)系下的表達式：

Qp=TTSTF

(14)

1.2.4單元的無約束動力學(xué)方程

由式(6)、式(11)、式(14)，單元在體坐標(biāo)系下的無約束動力學(xué)方程為

(15)

其中，單元質(zhì)量矩陣Mp是常數(shù)矩陣，因此沒有科氏力和離心力。彈性力矩陣Qs和廣義外力向量Qp均為節(jié)點坐標(biāo)向量p的函數(shù)，所以是時變的。

1.3 外LET柔順半鉸的系統(tǒng)模型

將圖1所示的外LET柔順半鉸離散成n個單元，根據(jù)式(15)建立該半鉸的系統(tǒng)動力學(xué)方程：

(16)

其中，ps為組裝后的系統(tǒng)節(jié)點坐標(biāo)向量；矩陣Bi表示單元節(jié)點坐標(biāo)向量和系統(tǒng)節(jié)點坐標(biāo)向量之間關(guān)系的布爾矩陣，由0和1組成。

2 外LET柔順半鉸動力學(xué)仿真

將圖1所示的外LET柔順半鉸一端固定，另一端中心位置施加一外載荷F，使該鉸在空間繞Y軸做旋轉(zhuǎn)運動，如圖3a所示。該半鉸材料為鈹青銅，密度為8 300 kg/m3，彈性模量E=128 GPa，泊松比υ=0.29，外形見圖3b，厚度均為1 mm，長度LⅠ=30 mm，LⅡ=30 mm，LⅢ=20 mm，LⅣ=30 mm，LⅤ=30 mm，寬度HⅠ=10 mm，HⅡ=6 mm，HⅢ=6 mm，HⅣ=6 mm，HⅤ=10 mm，給定總長LAB=80 mm的外柔順半鉸末端B點的位移載荷和時間t之間的關(guān)系如下：

(a)外LET柔順半鉸模型

(b)外LET柔順半鉸尺寸圖3 外柔順半鉸模型及其尺寸Fig.3 The model and dimensions of a half outside LET compliant joint

(17)

式(17)對應(yīng)的末端B點的軌跡如圖4所示。

圖4 外柔順半鉸末端B點的軌跡Fig.4 The end-point track of a half outside LET compliant joint

將該外LET柔順半鉸離散成14個單元，對式(16)所示系統(tǒng)動力學(xué)微分方程求解，并編寫FORTRAN程序進行計算，得到圖5所示的外柔順半鉸中心線不同時刻的狀態(tài)。

圖5 外LET柔順半鉸不同時刻中心線狀態(tài)Fig.5 The configuration of center line of the half outside LET compliant joint at different time

圖5反映了該鉸受力運動過程中心線的運動變形過程。為進一步反映整個半鉸在不同時刻各個部分變形情況，根據(jù)計算得到的節(jié)點坐標(biāo)值，由式(1)得到該半鉸在不同時刻的外輪廓運動變形狀態(tài)，如圖6所示。

(a)0時刻 (b)0.6 s時刻 (c)1.2 s時刻

(d)1.8 s時刻 (e)2.4 s時刻圖6 不同時刻外柔順半鉸的狀態(tài)Fig.6 The configuration of profile of the half outside LET compliant joint at different time

由圖6可以看出，當(dāng)外LET半鉸末端按照圖4所示的運動軌跡運動時，半鉸每個部分產(chǎn)生的變形是不同的，其變形主要集中在Ⅱ、Ⅳ兩部分，呈現(xiàn)彎曲和扭轉(zhuǎn)組合狀態(tài)。Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ三個部分產(chǎn)生較小的彎曲變形，它們更多起到的是充當(dāng)柔順半鉸變形部分的連接作用。仿真結(jié)果也佐證了文獻[6]中對該類柔順鉸建模時提出的模型簡化假設(shè)的合理性。

3 實驗驗證與分析

本實驗用到的主要儀器有實驗件、驅(qū)動裝置、圖像采集與分析儀器和卡具等。其中，驅(qū)動裝置選擇龍門移動式三維伺服運動控制平臺，可以通過C語言編程控制平臺實現(xiàn)所需軌跡，運動精度由光柵測量，反饋給伺服電機，構(gòu)成閉環(huán)控制。圖像采集與分析儀器由X-series系列的MotionPro X4高速攝像機、AF Nikkor 50mm f/1.4D鏡頭、Motion StudioTM軟件及光源等組成。

實驗件選擇鈹青銅(Qbe2.0)，材料的彈性模量E=128 GPa，泊松比υ=0.29，實驗件的實物圖見圖7。為了增強拍攝效果，在零件表面噴涂了白色涂料。實驗件的左端A處由夾具固定在工作臺上不動，右端B在驅(qū)動裝置帶動下按圖4所示規(guī)律運動。

圖7 實驗件裝卡實物圖Fig.7 The assemble picture

實驗儀器安裝調(diào)試后的狀態(tài)如圖8所示。不同時刻，實驗用半鉸的實際運動圖像見圖9，可看出該鉸在運動中各個部分的變形形態(tài)和圖6中仿真結(jié)果的趨勢是一致的。

圖8 實驗裝置Fig.8 The picture of experiment instruments

圖9 外LET柔順半鉸實際運動狀態(tài)Fig.9 The real motion configuration of a half outside LET joint

對采集到的圖像進行處理，圖7中1號點、2號點以及末端點運動軌跡的實驗和仿真結(jié)果對比如圖10所示?？梢钥闯?，實驗軌跡和理論軌跡基本吻合，驗證了本文仿真結(jié)果的正確性。

圖10 實驗和仿真軌跡對比Fig.10 Track comparison of experiment and simulation

4 外形尺寸對半鉸變形影響

由圖6分析結(jié)果可知，半鉸的每個部分的變形狀態(tài)均不同。對不同外形尺寸的外LET柔順半鉸動力學(xué)特性進行計算，總結(jié)出外形尺寸對該半鉸受力后形狀變化的影響規(guī)律，可為以后的外LET柔順半鉸外形尺寸設(shè)計提供指導(dǎo)。

首先分析半鉸各部分寬度、厚度不變時，長度變化對其變形的影響。保持加載方式不變，即將半鉸一端固定，另一端中心位置施加位移載荷F，各段寬度分別為HⅠ=HⅤ=10 mm，HⅡ=HⅢ=HⅣ=6 mm。

三種不同長度的半鉸中心線變形狀態(tài)見圖11，基于圖3b所示，圖中注釋表示 “厚度-LⅠ-LⅡ-LⅢ-LⅣ-LⅤ的數(shù)據(jù)(單位mm)”。由仿真結(jié)果看出，改變半鉸的長度，其中心線的變形差異較大，外形長度尺寸為30-30-20-30-30(mm)的半鉸的變形較為合理，更符合實際應(yīng)用需求。

基于以上各段長度尺寸和加載方式，改變厚度和寬度的不同半鉸加載后形狀變化見圖12，圖12中注釋表示“厚度-HⅠ-HⅡ-HⅢ-HⅣ-HⅤ”數(shù)據(jù)(mm)。

圖11 外LET柔順半鉸長度尺寸對變形的影響Fig.11 The influence of lengths of a half outside LET compliant joint on deformation

由圖12可以看出，外LET柔順半鉸的外形尺寸有很小變化時，對其變形會產(chǎn)生較大的影響。其中，半鉸的厚度尺寸對其受力后形狀變形的影響見圖12a。保證半鉸各段的其他尺寸相同，將厚度分別設(shè)定為0.6 mm、0.3 mm和0.15 mm時，其各段的中心線變形均有較大差異，尤其是在固定端，厚度為0.6 mm與0.15 mm的半鉸在-y方向有較大偏離，可能會造成固定端撕裂，影響柔順半鉸的正常工作，厚度為0.3 mm的外LET柔順半鉸變形較好。柔順半鉸的厚度和寬度均以一個固定的比例變化時，其各段的變形規(guī)律見圖12b?？梢钥闯?，當(dāng)厚度與各段寬度同時變大時，會導(dǎo)致半鉸柔順性變差，剛度變強，致使固定端偏向y軸正方向；當(dāng)厚度與各段寬度同時減小時，會導(dǎo)致半鉸剛度減小，柔順性增強，致使固定端偏向y軸負方向。圖12c保持半鉸Ⅰ、Ⅴ段寬度相同，其余各段按照圖12b的尺寸比例變化，發(fā)現(xiàn)半鉸的變形規(guī)律與圖12b趨勢一致。圖12d中只改變半鉸Ⅱ、Ⅳ段的寬度HⅡ、HⅣ，其他段的寬度和各段厚度保持一致，可以看出，3個半鉸變形差異明顯。圖12e只改變Ⅲ段的寬度HⅢ，各段厚度和其他段的寬度保持不變，可以看出3個半鉸的變形基本一致，在外力影響下，變形后其中心線基本重合。圖12f中保持整體厚度和Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ段寬度HⅡ、HⅢ、HⅣ不變，分析Ⅰ、Ⅴ段寬度HⅠ、HⅤ對半鉸變形的影響，可以看出，3個半鉸變形有較大差異，說明Ⅰ、Ⅴ段的外形寬度尺寸對半鉸變形的影響較為明顯。

(a)厚度對外柔順半鉸 (b)各段寬度和厚度同比例 (c)HⅡ、HⅢ、HⅣ同比例改變 變形的影響 變化對變形的影響 對變形的影響

(d)HⅡ、HⅣ同比例改變對變形的影響 (e)HⅢ對變形的影響 (f)HⅠ、HⅤ同比例改變對變形的影響圖12 外LET柔順半鉸外形尺寸對變形的影響Fig.12 The influence of dimension of a half outside LET compliant joint on deformation

對比圖12d～圖12f，發(fā)現(xiàn)外LET柔順半鉸的變形對Ⅱ、Ⅳ段的寬度變化較為敏感；Ⅰ、Ⅴ段的影響次之；Ⅲ段的寬度在一定范圍內(nèi)變化時，對半鉸變形影響較小。

5 結(jié)論

(1)采用斜率不連續(xù)的絕對節(jié)點坐標(biāo)法建立了外LET柔順半鉸的動力學(xué)方程，仿真分析了該鉸在外力作用下中心線和外輪廓的運動變形。

(2)完成了外LET柔順半鉸加載實驗，測得給定點的運動軌跡和整個鉸的實際運動狀態(tài)，實驗和仿真結(jié)果證明了所用建模方法的有效性。

(3)外LET柔順半鉸運動變形的仿真結(jié)果顯示，半鉸外形尺寸對變形影響較大；半鉸Ⅱ、Ⅳ段變形呈現(xiàn)為彎扭組合，其他部分為彎曲變形；且半鉸變形對Ⅱ、Ⅳ段的寬度變化最為敏感，Ⅲ段的寬度變化對半鉸變形影響不大。