新型RR-RURU踝關節康復機器人機構的設計與分析

張彥斌 荊獻領 韓建海,2 陳子豪

1.河南科技大學機電工程學院，洛陽，471003 2.河南省機器人與智能系統重點實驗室，洛陽，471023 3.機械裝備先進制造河南省協同創新中心，洛陽，471003

0 引言

并聯機構是近年來國內外機構學和機器人領域研究的熱點之一[1-3]，純轉動并聯機構是其中一種特殊類型，其動平臺僅有兩個或三個轉動自由度，可對機械或機器末端操作手的姿態進行調整，已廣泛應用于醫療器械[4]、衛星天線隨動裝置[5]、并聯式球面仿生踝關節[6]等需要空間姿態調整的場合。

無耦合并聯機構是指機構速度雅可比矩陣為對角陣的一類可約并聯機構[7]，因其在運動和力傳遞方面所表現出的優越性，吸引了越來越多學者的關注。范彩霞等[8]設計了一種無耦合2R并聯機構，并利用正逆雅可比矩陣對其奇異性進行分析。JIN等[9]對一類2T2R和3T2R并聯機構進行研究，并對其運動學和工作空間展開分析。ZHANG等[10]提出了一種2T1R并聯機構，利用靈巧性圖譜對機構進行了各向同性設計。

踝關節康復機器人執行機構的主要形式有兩種，即基于并聯機構式和基于外骨骼式[11]。前者主要用于扭傷腳踝的康復，其典型特征是將患者的腳固定在并聯機構的動平臺上；后者通常用于步態恢復[12-13]，允許患者穿上機器人，其底基和末端執行器被連接到橫跨腳踝的不同肢體上，然而這種結構形式增加了控制設計的難度。目前，國內外學者已基于并聯機構設計出多種新型踝關節康復機器人，如禹潤田等[14]設計了一種繩索驅動式并聯踝關節康復機構，并對其運動性能進行了分析；KUMAR 等[15]提出了一種分支中含有平行四邊形結構的踝關節機器人，建立其運動學模型，分析了機構的可行工作空間區域。

強運動耦合性是一般并聯機構的固有特性，盡管這有利于提高機構的剛度和承載能力，但同時也導致其工作空間小、運動學求解復雜和控制設計困難等。而無耦合并聯機構除具備一般并聯機構精度高、誤差小等優點外，其輸入和輸出運動之間還具有一對一的映射關系，使其運動學、動力學方程非常簡單，控制設計也十分容易。因此，對于運動范圍較小、低承載的踝關節康復機器人，無耦合轉動并聯機構具有其自身的優勢。

本文基于無耦合RR-RURU兩轉動并聯機構設計出一種新型踝關節康復機器人，該機構僅含有兩條分支，結構簡單、運動學解耦性好。詳細地討論了機構的運動學、奇異性、工作空間，并對其運動學和動力學特性進行了仿真分析。

1 機構設計與輸出特性分析

新型RR-RURU轉動并聯機構由動平臺MP、定平臺BP以及連接兩平臺的兩條單開鏈組成，如圖1所示。第一條分支的連接度為6，從定平臺到動平臺運動副的布置依次為轉動副(R11)、萬向鉸(U12)、轉動副(R13)和萬向鉸(U14)，分支中與同一構件相連的兩個轉動軸線均相互平行；第二條分支的連接度為2，從定平臺到動平臺運動副的布置依次為轉動副(R21)和轉動副(R22)，兩轉動副軸線垂直且相交。第一條分支U14副中與動平臺相連的轉軸與第二條分支R22副的軸線相互平行，而安裝在定平臺上的兩轉動副R11和R21的軸線相互垂直，選取這兩個運動副為主動副。為得到機構特殊的運動學性能，要求第一條分支中R11副與第二條分支中R22副的軸線位于同一平面上，且該平面平行于定平臺平面。由于該并聯機構中僅含有轉動副和萬向鉸兩種類型，故其加工制造成本較低，有較好的經濟性。

圖1 新型RR-RURU轉動并聯機構Fig.1 Novel RR-RURU rotational parallel mechanism

建立定坐標系oxyz，其原點o位于第二條分支兩轉動副軸線的交點，z軸與R21副軸線重合，x軸平行于第一條分支的R11副軸線，如圖1所示。動坐標系puvw的原點p位于動平臺上，且與點o重合，v軸與第二條分支中R22副軸線重合，w軸垂直于動平臺平面，u軸可根據右手準則確定。初始位形下，坐標系oxyz和puvw的軸線分別對應重合。設q11和q21分別為兩主動副的輸入角位移；α為動平臺繞v軸轉動的姿態角，繞v軸的反方向為正；β為動平臺繞z軸轉動的姿態角，繞z軸方向為正；l為第一條分支主動桿的長度，即主動副R11軸線到相鄰萬向鉸中心的距離；r表示安裝于動平臺上的兩轉軸軸線間的距離。

為便于問題分析，建立局部坐標系Ax1y1z1，其原點A位于第一條分支中與定平臺相連的轉動副軸線上，且x1軸與該軸線重合，z1軸垂直定平臺平面，如圖1所示。利用螺旋理論可寫出第一條分支運動鏈的運動螺旋系：

(1)

其中，Pef、Qef、Ref分別為與相應運動螺旋位置相關的參數(e=1,f=4,5,6)。

由式(1)可知，第一條分支的運動螺旋系為6系，故該分支對動平臺的運動不提供約束。同理，第二條分支的運動螺旋系為

(2)

即該分支的運動螺旋系為2系，那么其約束螺旋系為4系，由互易積原理得

(3)

式(3)表明，第二條分支的約束螺旋系包含三個軸線相互垂直的約束力和一個軸線垂直于運動副R21和R22軸線所確定平面的約束力偶，即該分支約束了動平臺空間內的三個移動自由度和一個垂直于R21和R22軸線所確定平面的轉動自由度。由此該新型RR-RURU轉動并聯機構動平臺僅有繞z軸和v軸的轉動自由度。同時，由于兩分支不存在冗余約束，故該機構為非過約束并聯機構。

并聯機構的自由度可利用修正Grübler- Kutzbach公式進行計算，即

(4)

其中，M為機構的自由度數，λ為機構的階數，n為機構的構件總數，g為機構運動副總數；fk為第k個運動副的自由度數；υ為冗余約束數；ζ為局部自由度數。對于圖1所示機構，λ=6、n=6、g=6、∑fk=8、υ=0、ζ=0，則該機構的自由度M=6(6-6-1)+8=2。計算結果與前述分析一致，所以該機構只能實現空間二自由度轉動。

2 運動學分析

2.1 姿態分析

對于RR-RURU兩轉動并聯機構，其姿態逆解是指已知動平臺的姿態角(α和β)，求其主動關節的輸入角位移(q11和q21)。

令R為動坐標系相對于定坐標系的姿態變換矩陣，則有

(5)

根據機構的結構特征以及動坐標系的位置，動坐標系的原點p在運動過程中的位移不發生變化，則點p在定系下的位置坐標為(0, 0, 0)T。令動平臺上一點m位于第一條分支中萬向鉸U14的轉動中心，它在動坐標系puvw下的向量為mp=(mu，mv，mw)T，那么該點在定坐標系oxyz下的向量mo=(mx，my，mz)T可寫為

mo=Rmp

(6)

將式(5)和機構的各結構參數代入式(6)得

mz=rsinα

(7)

根據第一條分支的結構，萬向鉸U12和U14的轉軸中心始終位于同一水平面內，即兩者在z軸方向的坐標值相等，由此可得

lsinq11=rsinα

(8)

從而可計算出

(9)

由圖1可知，動平臺繞z軸的姿態角β僅與第二條分支主動副的角位移q21相關，故兩者的關系可寫為

q21=β+c0

(10)

式中，c0為動平臺繞z軸的初始角度。

由于前文定義了動坐標系在初始位置時與定坐標系重合，即c0=0，那么式(10)可改寫為

q21=β

(11)

式(9)和式(11)即機構的姿態逆解方程。將逆解方程作簡單變形，可得到機構的姿態正解方程，有

(12)

2.2 角速度分析

將式(8)和式(11)對時間進行一階求導并整理成矩陣形式，得

(13)

(14)

同樣，根據式(14)可直接寫出動平臺繞v軸的角速度與第一條分支主動副輸入速度之間的關系，有

(15)

聯立式(8)與式(15)得

(16)

其中，角速度傳遞因子

(17)

式中，d為機構的結構尺寸比例系數,d=l/r。

(18)

圖2 角速度傳遞因子g與兩自變量之間關系Fig.2 Relationship between the angular velocityg transferring factor and two variable parameters

換言之，當結構尺寸比例系數d=1時，速度雅可比矩陣為2×2階單位陣，那么條件數和行列式的值必然恒等于1，故此時機構在整個工作空間內都具有完全各向同性的運動學特性。

3 奇異性分析

奇異性是并聯機構的固有屬性，當機構的結構及尺寸確定時，其奇異位形便隨之確定，奇異性分析是并聯機構設計中必不可少的環節。從螺旋理論的觀點來講，并聯機構運動奇異的發生與分支運動鏈的運動螺旋系的階數有關[16]。當運動螺旋系發生改變時，對動平臺的約束螺旋系隨之變化，導致機構動平臺會瞬間得到或失去一個或幾個自由度。

由式(2)可知，第二條分支的運動螺旋系始終為2系，由此該分支不存在運動奇異。而由式(1)知第一條分支的運動螺旋系為6系，該螺旋系的相關性可通過該螺旋系構成的6×6階方陣A是否滿秩判定，且有

(19)

當矩陣A的行列式det(A)=0時，該螺旋系線性相關。計算矩陣A行列式的值可得

det(A)=-lcosq11cosβ[Q14(lcosq11-P15)+

Q15(P14-lcosq11)]

(20)

若det(A)=0，則有cosβ=0、cosq11=0或Q14(lcosq11-P15)+Q15(P14-lcosq11)=0三種情況。

(1)cosβ=0。當cosβ=0，即β=±π/2時，在該位形下運動螺旋$11、$12和$16平行共面，3個旋量線性相關，如圖3所示。鎖定主動運動螺旋$11后，動平臺仍可以繞v軸轉動，因此，在β=±π/2的位形下，該分支失去對動平臺沿z軸移動的約束，如圖3所示。值得注意的是，第一條分支失去對動平臺的控制后，$13、$14和$15將發生偏轉，其軸線不再與z軸平行，從而使得機構動平臺失去繞z軸的轉動自由度。為避免此種奇異情況的發生，只需將第二條分支的輸入角位移限定在適當范圍內即可。

圖3 β=π/2時的奇異位形Fig.3 Singular configuration when β=π/2

(2)cosq11=0。此時輸入角q11=±π/2，將其代入式(1)可推導出該位形下第一條分支運動螺旋系的約束螺旋，即

(21)

式(21)表明該約束螺旋為平行于z軸的線力矢，約束了第一條分支末端構件沿z軸的移動，從而導致機構動平臺無法繞v軸轉動。對于圖1機構的結構形式，當取q11=-π/2時，第一條分支的主動構件將與定平臺產生干涉，故本文機構只存在q11=π/2時的奇異位形，如圖4所示。

圖4 q11=π/2時的位形Fig.4 Configuration of q11=π/2

(3)Q14(lcosq11-P15)+Q15(P14-lcosq11)=0。當且僅當螺旋$13、$14、$15共面時，才滿足上述方程。這種情況發生時，機構有兩種位形，即第一條分支的兩個連桿處于伸展或重疊狀態，如圖5所示。但只要合理設計機構的結構尺寸便可避免該奇異的發生。

圖5 連桿共線奇異位形Fig.5 Coline singular of connecting rod

當然，上述三種奇異情況也可能組合出現，本文不再贅述。

4 工作空間分析

并聯機構的工作空間指機構動平臺所能達到的工作范圍，是衡量機構運動性能的重要指標。根據機構的運動學分析，本文所述的RR-RURU兩轉動并聯機構具有無耦合的運動學特性，即機構動平臺的兩個轉動自由度分別由兩個分支單獨控制。因此，可采用運動分解的思想對機構的工作空間進行分析。

對于圖1所示機構，影響其工作空間的因素主要有機構的奇異位形、萬向鉸的轉角范圍，以及連桿間的干涉等。在工作空間分析時，若給定任何一個繞v軸轉動的α角，則動平臺繞z軸轉動的姿態角β的求解可借助于一個“平面四桿機構EDCB”進行，如圖6所示。原機構中軸線始終平行于z軸的4個轉軸可視為平面四桿機構的4個鉸鏈，動平臺為四桿機構的主動構件ED。

圖6 分支簡化示意圖Fig.6 Schematic diagram of limb simplified

根據曲柄存在條件，合理設計圖6所示構件長度，可使得動平臺繞z軸整周回轉。為避免運動過程中發生構件干涉，可將萬向鉸的十字轉軸改為兩個獨立轉軸，如圖7所示。設置各構件尺寸分別為l=300 mm、lED=300 mm、lDC=500 mm、lCB=500 mm、lBE=600 mm。

圖7 萬向鉸設計示意圖Fig.7 Schematic diagram of universal design

可借助動平臺上點m在定坐標系下的向量mo=(mx，my，mz)T來描述動平臺在運動過程中的姿態變化，見圖1。由式(6)和(12)可得，點m在靜坐標系下的位置坐標值與動平臺姿態角之間的關系為

(22)

因機構的第一條分支控制了動平臺繞v軸的轉動，故影響工作空間大小的因素為機構的奇異位形以及連桿與靜平臺之間的干涉。在球坐標系中繪制出機構動平臺的工作空間三維圖像，如圖8所示，該圖像為球面的一部分，坐標系的原點位于其球心處，圖中顏色變化表示動平臺繞v軸的姿態角α的變化。同時，球面上任意一點即點m的軌跡點，向量mo的姿態角即動平臺的姿態角，由此該機構可稱為球面并聯機構，在仿生關節、雷達天線等需要做定點轉動的場合具有潛在的應用前景。

圖8 RR-RURU并聯機構工作空間Fig.8 Workspace of the RR-RURU parallel mechanism

5 新型踝關節康復機器人運動學和動力學仿真

現有的基于并聯機構的踝關節康復機器人裝置，其機器人腳踏板(即動平臺)的旋轉中心通常與患者腳踝的轉動中心不重合，導致使用者的小腿在康復訓練過程中無法保持靜止，而踏板的旋轉運動也不一定和小腿與腳之間的相對旋轉運動相同，這會增加機器人驅動力實時計算的復雜性。雖然基于外骨骼的設計可以避免上述問題，然而機器人在被安裝到使用者身上之前是不能被驅動的，由此外骨骼式機器人的運動學特性并不完全清楚，其控制設計比基于并聯機構的康復機器人更具挑戰性。

基于RR-RURU兩轉動并聯機構的新型踝關節康復機器人三維CAD模型如圖9所示。根據前文分析，該踝關節康復機器人具有無耦合的運動學特性，在控制設計和路徑規劃方面較為容易。考慮到人體踝關節的結構特征，將RR分支主動副的旋轉中心與外展/內收動作的轉動中心重合，將RR分支被動轉動副的軸線通過患者的跖屈/背屈轉動中心。根據踝關節生理要求，康復過程中機器人不僅需要能牽引足部以達到最大偏轉角度，還需要能模擬人體正常步態下踝關節的角度變化[17-18]。

圖9 新型踝關節康復機器人Fig.9 A novel ankle rehabilitation robot

根據臨床醫學步態分析數據[19-21]可得到一個步態周期T內人體踝關節角度擬合曲線，見圖10。利用正弦曲線擬合兩種角度變化，發現8階正弦曲線對數據的擬合度最好，其調整自由度復相關系數均達到0.999以上。得到兩種角度隨時間t變化的函數為

(23)

圖10 一個步態周期踝關節角度變化Fig.10 Ankle angle change in a gait cycle

其中，aij、bij、cij為常數，下標i表示正弦函數的個數；j=1,2,j=1時表示為跖屈/背屈角度擬合函數，j=2時表示外展/內收角度擬合函數，各參數值見表1。

表1 踝關節角度變化函數參數

由于所設計機器人在滿足一定結構尺寸條件下具有完全各向同性的運動學特性，故可直接將一個步態周期內踝關節運動擬合函數分別作為兩分支的驅動函數。利用ADAMS軟件的運動學仿真模塊對該踝關節康復機器人的運動進行仿真，設置桿長系數d=1，仿真時間為100 s，仿真步數為500，得到的仿真曲線見圖11。

圖11 機器人動平臺角位移Fig.11 Angular displacement of the robot platform

對比圖10和圖11可知，兩種仿真曲線幾乎完全一致，反映出該踝關節康復機器人能真實地擬合人正常行走時踝關節的角度變化。同時，仿真結果表明，機構的輸入-輸出運動成一對一的映射關系，兩個方向上的運動互不干涉，從而驗證了運動學分析的正確性。

踝關節康復機器人的一個重要設計指標是機器人在康復訓練過程中對患者腳踝所施加力矩的變化規律能否滿足康復要求。就腳的跖屈/背屈運動而言，使踝關節達到最大背屈量30°需要的扭矩為44 N·m，達到最大跖屈量40°需要的扭矩為37 N·m，然而對于外展/內收運動，達到最大外展角度15°和最大內收角度25°所需要的扭矩分別為44 N·m和33 N·m[22]，故踝關節康復機器人的力矩一般要求應不小于50 N·m。

為模擬康復過程中機器人主動關節驅動力矩的變化規律，假定腳踝反作用于機器人踏板上兩個方向的阻力矩均為50sin(0.25πt)N·m，控制跖屈/背屈轉角的驅動函數為45°sin(0.25πt)，控制外展內收轉角的驅動函數為30°sin(0.25πt)。利用ADAMS動力學仿真模塊，可對該踝關節康復機器人的動力學性能進行仿真分析，得到的仿真曲線見圖12。

圖12 踝關節康復機器人驅動力矩Fig.12 Driving torque for ankle rehabilitation robot

仿真結果初步顯示，基于RR-RURU并聯機構的踝關節康復機器人在運動過程中驅動力平滑過渡，不存在突變或間斷點，具有良好的動力學性能，符合踝關節機器人對于安全性的考慮。

6 結論

(1)本文提出一種新型兩轉動并聯機構，運動學分析顯示其速度雅可比矩陣為對角陣，因此該機構具有無耦合的運動學特性。尤其是當機構尺寸比例系數d=1時，雅可比矩陣演化為單位陣，此時機構在整個工作空間內表現為完全各向同性。

(2)基于分支運動螺旋系的奇異性，分析了機構的奇異位形。同時，討論機構工作空間的影響因素，并繪制出機構的姿態空間。

(3)將該新機構應用于踝關節康復機器人，基于CGA數據對機構運動學進行仿真分析，驗證了理論分析的正確性。動力學仿真結果為機器人驅動器的選取提供了依據。