三角形中位線的妙用

李楊

中圖分類號：G633.64文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2019）14-046-1

北師大版《數(shù)學(xué)》在八年級刪減了“平行線等分線段”及“平行線分線段成比例”定理，剛開始讓我們老師有些茫然，但沒想到正因為這一刪減，在九年級上冊第三章《證明》“三角形的中位線”，卻收到了意想不到的結(jié)果。

傳統(tǒng)教材與新教材對“三角形中位線”定理的證明，都是采用作輔助性構(gòu)造平行四邊形，再無新意。而初學(xué)新教材的學(xué)生卻首次提出不作輔助性，利用三角形相似即可證明，讓人眼前一亮。

定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

已知：如圖1中DE是△ABC的中位線

求證：DE∥BC，DE=1/2BC

證明：∵DE是△ABC的中位線

∴AD/AB=AE/AC=1

又∵∠DAE=∠BAC

∴△ADE∽△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

即DE=1/2BC

∴∠ADE=∠ABC

∴DE∥BC

同樣，教材P87“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”定理，新舊教材仍均是采用構(gòu)造矩形來證明的。但這種證明，學(xué)生，包括老師均難以想象，難以接受。學(xué)了“三角形的中位線”，學(xué)生的思維又不得不讓你驚嘆。

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

已知：如圖2中直角△ABC中，∠ABC=900，BE是AC邊上的中線

求證：BE=1/2AC

證明：作AB的中點F，連接EF

∴EF是△ABC的中位線

∴EF∥BC

又∵∠ABC=900

∴∠AFE=∠BFE=90°

又∵AF=BF，F(xiàn)E=FE

∴△AFE≌△BFE

∴BE=AE

又AE=EC

∴BE=1/2AC

有了這種證明，你能想到它的逆定理的證明嗎？

逆定理：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

已知：△ABC中，AE=CE，且BE=1/2AC

求證：∠ABC=900

證明：作AB的中點F，連接EF

∵BE=1/2AC，AE=CE

∴BE=AE

又∵BF=AF，EF=EF

∴△AFE≌△BFE

∴∠AFE=∠BFE=90°

又BF是△ABC的中位線

∴EF∥BC

∴∠ABC=∠AFE=90°