鋁合金車身平臺的基礎性能關聯性研究*

王震虎，夏二立，張松波，邱颯蔚，李落星

（1.湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.湖南大學機械與運載工程學院，長沙 410082；3.重慶長安汽車歐尚研究院，重慶 400023）

前言

現階段各大車企越來越重視“平臺化”概念，汽車生產平臺化不僅能降低成本，提高開發效率，而且能縮短開發周期，實現各車企旗下各品牌之間的技術共享，提升品牌競爭力。隨著國家對電動汽車的重視，鋁合金輕質車身受到各大車企的青睞，鋁合金車身平臺開發成為研發熱點。在鋁合金車身開發的前期策劃階段，各項基礎性能目標和輕量化目標的確定是汽車行業的難點，目標值的合理性直接與成本緊密相關，也對開發車型的市場競爭力產生重大影響。眾所周知，輕量化與各項基礎性能之間是一對矛盾統一體，性能目標的最佳方案便是兩者平衡的結果。若在確定目標時把輕量化和各項性能分開考慮，可能導致目標設定的不合理，因此深入研究車身剛度、模態與輕量化系數之間的關系對車身的性能目標設定有著重要的意義。

國外對上述問題的內在聯系已經開展了大量研究。比較有代表性的是Griffiths等［1-2］從線性系統的靜力學理論和模態理論出發，得出各階頻率下結構柔度的計算方法，然后基于簡支梁和矩形框架進行柔度分析，發現簡支梁的1階彎曲模態對整體靜態柔度的貢獻量最大、矩形框架的1階扭轉模態頻率下的柔度與結構的靜態扭轉柔度值非常相近的事實，由此得出簡單結構的靜態柔度與1階模態頻率下的柔度近似相等的結論。同樣的，Wahyuni等［3］從能量的角度研究對結構的整體靜態剛度（柔度）與各階模態參量之間的關系進行了研究，并運用簡支梁模型和簡單的建模結構進行兩者關系的驗證后，提出對于線性無阻尼結構，總的能量等于每一階模態的能量之和，是靜態柔度與模態關系的基礎。以上研究只是針對簡單的簡支梁和矩形框架梁的嘗試，尚未在工程中的大型復雜結構上進行驗證。因此，Malen［4］在研究白車身的靜態剛度與模態關系時，首先將白車身的彎曲狀態等效為梁的彎曲，基于簡支梁彎曲剛度與截面系數之間的關系和梁在1階彎曲自由振動時的頻率與截面系數的關系，得到梁的1階彎曲模態頻率與彎曲剛度、質量和簡支梁長度之間的關系，然后推廣至白車身模型中，用同樣的方法得到扭轉剛度與車身參數、車身1階扭轉模態之間的關系。該方法雖然在車身結構上得到了運用，但將白車身大幅簡化為梁、桿，后期再依賴于大量實驗數據進行修訂，深受實驗樣本優劣和樣本量的影響，可信度不高。此外，Deleener等［5-6］提出通過頻響函數和模態測試技術獲取白車身靜態剛度的方法，其基本思想是頻響函數的頻率逼近0時，即為車身的靜態剛度，但在頻率為0處的波動問題尚未有效解決，況且此方法不能確定車身模態與剛度之間的關系，對性能目標設定的參考價值較小。

本文中從鋁合金車身平臺化開發的角度，首先深入分析鋁合金車身平臺的剛度與模態之間的關系，然后基于輕量化系數與扭轉剛度的關系過渡到輕量化系數與車身模態的關系，以此構建車身的模態、剛度和輕量化系數之間的關系，為鋁合金車身的輕量化開發奠定了必要的基礎。

1 鋁合金車身平臺的基礎性能

由于前期策劃階段可輸入的信息很少，對鋁合金車身平臺性能的評估往往只考慮其基礎性能：彎曲剛度、扭轉剛度、1階彎曲模態和1階扭轉模態。其中，彎曲剛度表征的是車身在滿載狀態下抵抗彎曲變形的能力，扭轉剛度則表征汽車在凹凸不平路面行駛時車身的抗扭變形能力，兩者反映的是車身的整體剛度特性。1階彎曲和扭轉模態是表征汽車乘坐舒適性的重要指標，是保證在復雜路況上給駕乘人員提供一種“結實”的安全感。此外，合理的剛度特性也是保證車身1階彎曲和扭轉模態的基礎。而車身的強度、碰撞性能是以整車的詳細模型為基礎的，在前期規劃階段尚不予考慮。因此，彎曲剛度、扭轉剛度、1階彎曲模態和1階扭轉模態是前期策劃階段衡量車身結構好壞的重要指標，是前期策劃階段需要考慮的重要性能。

1.1 鋁合金車身平臺的彎曲剛度

在探究鋁型材車身平臺的彎曲剛度的計算方法時，可以將其視作一個矩形的框架結構，具體如圖1所示，圖中矩形長邊表示車身的縱向結構，長度大致為汽車的軸距；較短的邊表示車身的橫向結構，長度大致為汽車的前后輪距。為求得整體框架的縱向彎曲剛度，分別約束矩形框架點1，2位置y，z方向的平動自由度和z方向的轉動自由度；約束矩形框架點3，4位置 x，y，z方向的平動自由度和 x，z方向的轉動自由度；再在左右兩邊的中點上分別施加垂直于矩形框架平面向下且大小為F的力。若記F5＝F6＝-F，則根據靜力平衡，很容易得到 F1＝F2＝F3＝F4＝F／2。若將框架看作一個離散的線性系統，則框架系統所受外力的向量形式為

其中省略部分用0填充，表示結構在該自由度上無外載荷作用。

圖1 矩形框架的彎曲受力狀態

根據剛度定義，可得該矩形框架結構的彎曲剛度表達式為

式中δ5和δ6分別為加載點5和6的垂直偏移量，且分別為點 1～6的垂直方向的位移絕對值。將δ5和δ6表達式代入式（2）中得

對鋁合金車身平臺而言，鋁合金下車體其約束和加載方式與框架相同，如圖2所示。其差異主要體現在：為消除約束、加載點局部變形過大對車身彎曲剛度的影響，取約束、加載點在縱梁和門檻梁底面的垂向投影點作為彎曲剛度的測點。

圖2 鋁合金車身平臺彎曲剛度的載荷和邊界條件

取與點1～6對應的點Ⅰ～Ⅵ作為相應的測點，則鋁合金車身的彎曲剛度計算公式為

基于上述邊界條件的定義，運用有限元分析軟件MSC.Nastran求解得到Z向位移云圖，如圖3所示。將前后縱梁和門檻梁的測點位移代入式（4）得到彎曲剛度的仿真值為2 270 N／mm。

圖3 鋁合金車身平臺的彎曲工況變形云圖

1.2 鋁合金車身平臺的扭轉剛度

在白車身扭轉剛度計算時，同樣可將其視作一個矩形的框架結構。圖4所示即為矩形框架扭轉工況的約束、受力情況，具體描述為：在1，2點施加垂直于矩形平面方向且大小相等（均為F）、方向相反的兩個力，并分別約束3，4點處 x，y，z方向的平動自由度和x，z方向的轉動自由度，約束點5處z方向的平動自由度，其中5是邊L12的中點。若記F1＝F，F2＝-F，由靜力平衡，容易得到 F3＝-F，F4＝F，在整個框架系統中，其向量的形式為

同樣的，省略部分用0填充。

圖4 矩形框架的扭轉受力狀態

根據扭轉剛度的定義，矩形框架的扭轉剛度為施加于L12端的扭矩T除以L12與L34相對扭轉角θ，即

式中 θ1和 θ2分別為 L12和 L34的扭轉角，且點的垂直位移。同樣的，鋁合金車身平臺的載荷邊界條件與矩形框相同，扭轉剛度計算方法是基于矩形框架的縱向扭轉剛度計算方法對測點的修正，如圖5所示。

圖5 鋁合金車身平臺扭轉剛度的載荷和邊界條件

鋁合金車身的扭轉剛度計算公式為

同樣得到扭轉工況下鋁合金車身平臺的Z向位移云圖，如圖6所示，將前后縱梁的測點位移代入式（7）得到扭轉剛度的仿真值為68 797 N·m／rad。

圖6 鋁合金車身平臺的扭轉工況變形云圖

1.3 鋁合金車身平臺的模態

模態分析的目的是得到結構自由振動的頻率，是對多自由度無阻尼系統的固有頻率和模態振型的求解過程。

假定鋁合金車身的自由振動是n自由度無阻尼振動，則其微分方程為

式中：M為質量矩陣，是對稱正定矩陣；K為剛度矩陣，是對稱正定或半正定矩陣；x為位移列向量。在n自由度無阻尼系統中尋找能使微分方程組解耦的新坐標的過程，其實就是尋找能使質量矩陣和剛度矩陣同時對角化的坐標變換矩陣的過程。假設同一系統所選擇的兩種不同坐標x與η有如下變換關系：

式中Φ為非奇異矩陣。則在η坐標下系統的微分方程為

再令 ΦTMΦ＝Mm，ΦTKΦ＝Km，則式（10）可寫為

式中：Mm為對角陣，主對角元素為各階模態質量；Km同樣為對角陣，主對角元素為各階模態剛度。特別地，對于第i階模態，有

即

式中 ωi，fi，Km，i和 Mm，i分別為第 i階角頻率、自然頻率、模態剛度和模態質量。式（12）定量描述了各階模態剛度、模態頻率與模態質量之間的關系。

在工程應用中，上述模態分析的參量都可以借助成熟的有限元分析軟件快速地進行求解。例如，對鋁合金車身平臺進行模態分析時，可基于Hyper-Work建立有限元模型，設置分析的頻率范圍為1～200 Hz（1 Hz以下為剛體模態，不作考慮），選用BlockLanczos法提交至MSC.Nastran進行求解計算。由于白車身屬于弱阻尼系統，故無須設置阻尼系數，1階彎曲和扭轉云圖分別如圖7和圖8所示。

圖7 鋁合金車身平臺的1階扭轉模態云圖

圖8 鋁合金車身平臺的1階彎曲模態云圖

由圖7和圖8可知，鋁合金車身平臺的第1階模態振型表現為整體的扭轉，模態頻率為27.76 Hz；鋁合金車身平臺的第3階模態振型表現為整體的彎曲，其頻率為44.24 Hz。

2 鋁合金車身平臺的輕量化系數

由于白車身輕量化系數［7］綜合考慮車身扭轉剛度、車身尺寸和質量的相對關系，對白車身材料的合理使用和結構優化設計有重要意義，成為汽車行業車身輕量化水平的重要評價方法。

本文中將輕量化系數推廣到鋁合金車身平臺，并用于其輕量化水平的評估，仿照白車身的輕量化系數計算方法，建立車身平臺的輕量化系數計算方法，如圖9所示。鋁合金車身平臺輕量化系數的計算公式為

式中：M為鋁合金車身平臺的質量；A為鋁合金車身平臺的前、后懸架4個安裝點的垂向投影組成的平面面積；KT為鋁合金車身平臺的扭轉剛度。按照有限元理論計算出的扭轉剛度值得出鋁合金車身平臺的輕量化系數為22.46。

圖9 鋁合金車身平臺的輕量化系數計算示意圖

3 鋁合金車身平臺基礎性能關聯性研究

3.1 靜態剛度與模態關聯性研究

首先給出矩形框模型的靜力學方程［8］：

式中：x為靜力學中的位移列向量；P為外力列向量。在頻域上，考慮到靜態位移實際上就是頻率為0時的動態位移，將x＝Φη代入式（14），并同時在等式兩邊左乘ΦT，得

或

式中φi為第i階模態向量。

當矩形框架受到靜態彎曲力的作用時，根據式（1）和式（15），在第 i階模態下有

式中χj為彎曲工況下第j個坐標的廣義力系數。由x＝Φη或 x＝φ1η1＋φ2η2＋…＋φnηn可知，第 j個坐標的位移可描述為

將式（16）與式（17）聯立，消去 ηi得

再將式（18）代入式（3）得到彎曲剛度與各階模態參量的關系：

同理得到扭轉剛度與各階模態參量的關系式：

前面提到，鋁合金車身作為一個大型的線性系統，是矩形框系統復雜化的體現，它應滿足式（19）和式（20）中的關系。但值得注意的是，靜剛度的測點與加載、約束點的位置并不重合。因此，須同時考慮試驗加載、約束位置和測點位置的模態變形量，故對式（19）和式（20）修正如下：

這里記 φ1，i～φ6，i為加載或約束點處第 i階 z向模態變形量，φⅠ，i～φⅥ，i為測點Ⅰ～Ⅵ第 i階 z向模態變形量，Lf為左、右前懸架減振器安裝面中心點之間的距離，L12和L34分別為前測點之間和后測點之間的距離。式（21）和式（22）的右邊各項即為白車身各階模態的彎曲（扭轉）柔度貢獻量，其具體含義為：鋁合金車身平臺的靜態柔度等于各階模態柔度貢獻量之和。

3.2 輕量化系數與模態關聯性研究

將式（22）與式（13）聯立得到車架的輕量化系數與各階模態的關聯性：

式（23）表述的是輕量化系數與車身平臺的各階模態的關系。其物理意義為：車身平臺的輕量化系數是各階模態共同貢獻的結果，而各階模態是車身整體或局部結構好壞的反映。

3.3 實例應用

3.3.1 基于模態理論的彎扭剛度和輕量化系數計算為

驗證式（21）和式（22）基于鋁合金車身平臺的實用性，運用有限元分析軟件MSC.Nastran提取前50階的模態參數（頻率、模態質量和模態剛度）和包含彎扭工況下的約束加載點、測點在內的12個點的Z向模態變形量，根據式（21）和式（22）計算出鋁合金車身平臺前50階模態與彎曲和扭轉剛度的關聯性曲線，如圖10和圖11所示。由圖10和圖11可知，隨著模態階次的增加，根據模態參數得到的柔度曲線整體上呈現收斂于靜態剛度曲線的趨勢。當取前50階模態參數時，通過模態參數求得的彎曲和扭轉剛度值分別為2 368 N／mm和70 070 N·m／rad，輕量化系數為22.06，與通過有限元理論分析求得的彎扭剛度值誤差僅為4.32%和1.85%，輕量化系數誤差僅為1.78%，如表1所示。

圖10 車身平臺前50階模態與彎曲剛度的關聯性曲線

3.3.2 基于剛度貢獻量的模態識別

圖11 車身平臺前50階模態與扭轉剛度的關聯性曲線

表1 兩種彎扭剛度計算方法對比

圖12為鋁合金車身平臺各階模態對扭轉剛度的貢獻量。由圖可知，第1階模態對扭轉剛度的貢獻高達84.61%，遠超其它各階模態的貢獻量之和，說明第1階模態便是鋁合金車體平臺的扭轉模態。而由有限元理論模態分析可知，第1階模態振型表現為1階扭轉振型，如圖7所示，兩種模態識別方法結論一致。

圖12 車身平臺各階模態對扭轉剛度的貢獻量

圖13為鋁合金車身平臺各階模態對彎曲剛度的貢獻量。由圖可知，第3階模態對靜態彎曲剛度的貢獻量達到79.72%，為所有其他各階模態貢獻量中最大，說明第3階模態便是鋁合金車體平臺的彎曲模態。而由有限元理論模態分析可知，第3階模態振型表現為1階彎曲振型，如圖8所示，兩種模態識別方法結論一致。

圖13 車身平臺各階模態對彎曲剛度的貢獻量

綜合圖12和圖13可以得出：對彎曲（扭轉）剛度貢獻量最大的模態階次即為對應的1階彎曲（扭轉）模態。此模態識別方法是基于各模態參數和彎扭剛度測點綜合考慮的結果，能有效避免局部模態振型對1階彎曲（扭轉）模態識別的干擾。

4 試驗驗證

圖14和圖15分別為鋁合金車身平臺的彎扭剛度試驗測試圖。鋁合金車身平臺的彎扭剛度試驗的儀器主要有兩部分組成：一是彎扭剛度試驗臺架，用于實現對鋁合金車身平臺的加載和約束；另一部分是信息采集系統，用于測量和搜集載荷信號和車架的位移響應。試驗邊界條件與1.1和1.2節中描述一致，測點布置在前后縱梁及門檻梁的底面，左右對稱布置。

圖14 鋁合金車身平臺的彎曲剛度試驗

表2為鋁合金車身平臺的彎扭剛度和輕量化系數的有限元分析算法和模態理論算法與試驗值的對比。由表2可以看出，彎曲剛度、扭轉剛度和輕量化系數的模態理論算法誤差比有限元算法的誤差小，其中，彎、扭剛度的模態理論算法的誤差分別為1.85%和1.82%，而輕量化系數的模態理論算法的誤差為1.89%，說明模態理論算法具有較高的工程應用價值。

圖15 鋁合金車身平臺的扭轉剛度試驗

表2 兩種計算方法計算值與試驗值的對比

5 結論

（1）鋁合金車身平臺的靜態剛度、模態和輕量化系數存在著密切的關系，具體表現為：鋁合金車身平臺的靜態彎扭柔度等于各階模態柔度貢獻量之和，其輕量化系數也可看做是各階模態共同貢獻的結果。因此，有針對性地提升車身的模態可作為提升車身整體或局部剛度、降低輕量化系數的主要途徑。

（2）通過對鋁合金車身平臺各階自由模態參數的求解，可得其靜態剛度的近似解，且隨著階次的增加，基于模態參數的剛度解更逼近于有限元靜態分析解。選取前50階模態參數求得的彎曲剛度、扭轉剛度值和輕量化系數與有限元分析算法的解的誤差僅為4.32%，1.85%和1.78%，精度較高。

（3）1階扭轉模態對扭轉剛度的貢獻量達到84.61%，1階彎曲模態對彎曲剛度的貢獻量達到79.72%。對彎曲（扭轉）剛度貢獻量最大的模態階次即為對應的1階彎曲（扭轉）模態，此種模態識別方法可作為彎扭模態識別的重要參考依據，能夠有效避免局部模態振型對1階彎曲（扭轉）模態識別的干擾。

（4）相對于試驗測試值，鋁合金車身平臺的彎曲剛度、扭轉剛度和輕量化系數的模態理論算法精度比有限元理論算法的誤差要小，其中彎扭剛度的模態理論算法的誤差僅為1.85%和1.82%，輕量化系數誤差則為1.89%。