淺談數學專業大學生數學創新能力的培養

[摘 要]數學的發展離不開數學創新。本文討論了數學創新的涵義及其具體表現，并給出了培養數學專業大學生數學創新能力的一些建議。

[關鍵詞]數學;數學創新;數學專業大學生

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）08-0102-03

一、引言

數學是一門研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的學科，是各門科學和技術的基礎和工具，在自然科學、工程技術、系統科學、管理科學及社會科學等領域起著舉足輕重的作用。正如著名數學家華羅庚教授所說[1]：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”科學的進步，離不開數學的發展，而數學的發展離不開數學研究者的探索和創新。數學專業的大學生是數學研究者的主要來源，培養數學專業大學生的創新能力不僅是數學專業的學科要求，也是高等學校數學專業教師的職責所在。對于數學專業大學生創新能力的培養已有不少研究，但是關于數學創新的涵義及具體表現并沒有明確地展現出來，并且關于創新能力培養方面的討論缺乏一些切實的建議。本文將給出數學創新的涵義和具體表現，以及數學專業大學生數學創新能力培養的建議。

二、數學創新的涵義及其具體表現

“創新”簡單來說就是“創造新的”，包含“更新”、“創造新的東西”和“改變”三層含義，具體來說指的是以現有的思維模式提出有別于常規或常人思路的見解為導向，利用現有的知識和物質，在特定的環境中，本著理想化需要或為滿足社會需求，而改進或創造新的事物、方法、元素、路徑、環境，并能獲得一定有益效果的行為[2]。創新有廣義和狹義之分，也即是相對和絕對的區分[3]。創新可以是廣義上的、相對自身而言的創新，即創造得到自己尚未知曉的事物，雖然該事物可能已經存在，但自身并不知曉該事物;創新也可以是狹義上的、對全體而言的、絕對的創新，即創造得到新的事物，該新事物不僅對自己而言是新的，對全體而言亦是新的。創新中的“新”可以分為兩類：一類是“無中生有”，這是一種前所未有的“新”，屬于首創;另一種是“推陳出新”，即在原有事物基礎上改進革新得到。

數學創新是指創造或革新數學中的定義、命題、定理等有關知識，既包括新定義、定理等的提出，又包括對已有定義、定理等的推廣和深入，具體表現有：

（1）開創型的數學創新，即開創性的數學新知。如勾股定理的提出、微積分的發明、非歐幾里德幾何學的誕生等，這些都屬于開創性的、前所未有的數學知識。

（2）衍生型的數學創新，即在原有知識基礎上革新得到的數學新知?？煞譃闄M向推廣型、縱向深入型和類比型。

（i）橫向推廣型的數學創新，即將原有的數學知識中的研究對象的范圍擴大后得到的數學新知。如數系從“整數”到“實數”再到“復數”，這是數學概念的推廣。再如微積分中微分中值定理的一步步推廣，從羅爾中值定理到拉格朗日中值定理，再到柯西中值定理。

羅爾中值定理：若函數[f]在[[a，b]]上連續，在[（a，b）]內可導，且[f（a）=f（b）]，則存在[ξ∈（a，b）]使得[f（ξ）=0].

拉格朗日中值定理：若函數[f]在[[a，b]]上連續，在[（a，b）]內可導，則存在[ξ∈（a，b）]使得[f（ξ）=f（b）-f（a）b-a].

柯西中值定理：若函數[f，g]在[[a，b]]上連續，在[（a，b）]內可導，[g（x）≠0]且[g（a）≠g（b）]，則存在[ξ∈（a，b）]使得[f（ξ）g（ξ）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）].

若要求拉格朗日中值定理的函數[f]滿足[f（a）=f（b）]，則定理即是羅爾中值定理;若限制柯西中值定理中函數[g]為[g（x）=x]，則定理即為拉格朗日中值定理。從羅爾中值定理到拉格朗日中值定理，再到柯西中值定理，所研究的函數的范圍不斷得到擴大，這可視為數學定理的橫向推廣。

（ii）縱向深入型的數學創新，即對原數學知識縱向深入后得到的數學新知。比如微分方程中一階常微分方程的延拓定理是相應的存在唯一性定理的縱向深入。再比如微分中值定理的泰勒定理，它是在拉格朗日中值定理縱向深入后得到的。

泰勒定理：若函數[f]在[[a，b]]上存在直至[n]階的連續導函數，在[（a，b）]內存在[n+1]階的導函數，則對任意的[x，x0∈[a，b]]，存在[ξ∈（a，b）]使得

[f（x）=f（x0）+f（x0）+f（x0）2！（x-x0）2+…+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1].

當泰勒定理中的[n=0]時即為到拉格朗日中值定理，這可視為數學定理的縱向深入。

（iii）類比型的數學創新，即通過類比分析，在原數學知識上革新得到的數學新知。比如，通過類比分析，可從收斂數列的保不等式性，得到函數極限的保不等式性。再比如，在求一階非齊次線性常微分方程[dydx=P（x）y+Q（x）]的通解時，用常數變易法將一階齊次線性常微分方程[dydx=P（x）y]的通解[y=ceP（x）dx]中的常數[c]變易為[c（x）]后反解得到一階非齊次線性常微分方程的通解。類比該思想方法，可從[n]階齊次線性常微分方程[dnxdtn+a1（t）dn-1xdtn-1+…+an-1（t）dxdt+an（t）x=0]的基本解組出發，用常數變易的方法，得到[n]階非齊次線性常微分方程[dnxdtn+a1（t）dn-1xdtn-1+…+an-1（t）dxdt+an（t）x=f（t）]通解，這可視為類比型的數學創新。

三、數學專業大學生創新能力培養現狀

絕大多數高校的數學專業都將培養學生的創新能力列為培養目標之一，但是實際上，學生的創新能力卻沒有得到較好地培養。具體而言，主要有以下表現：

（1）教師缺乏培養學生創新能力的意識。有一部分教師認為，在數學教學中，只要教會學生課本上的數學知識，讓學生學會解題即可，在教學中常?！罢毡拘啤保雎粤藢W生創新意識和創新能力的培養。

（2）教師在培養學生創新能力方面能力不足。很多數學教師都認同培養學生數學創新能力的目標，但是由于教師的個體差異，有一部分教師往往因為自身缺乏創新意識、創新能力不足，甚至不了解數學創新的過程，不知如何培養學生的數學創新能力，在培養學生創新能力方面“心有余而力不足”。

（3）以考試為主的課程考核方式易造成“應試教育”。大多數高校在數學專業課程的期末考核中通常采用考試的方式進行，這使得學生在學習時往往以通過考試為目標，并且教師在教學中也主要關注的是教會學生解決問題，而忽略了培養學生思考問題和提出問題的能力，這無疑限制了學生創新能力的發展。

（4）學生參與數學科學研究的機會較少。讓學生參與數學科研項目是對學生創新能力最直接的培養，但是一些高校，尤其是普通院校給學生提供的參與科研項目的機會較少。

四、數學創新能力培養的意義

數學創新能力是指創造或革新數學中的定義、命題、定理等有關知識的能力。在初等教育階段，數學課程就已經提出了培養學生的創新能力的目標。這個階段的創新主要是廣義上的、相對學生個體而言的創新，學生學習的數學知識是已有的成果，但是這些成果對于學生個體而言卻是“新”的，學生在學習數學新知的過程中，借助自身已有的知識儲備，去接觸、認識、理解新知，并將其融匯內化為自身的知識儲備。在高等教育階段，培養學生的數學創新能力包含兩個層面：一是培養學生融匯內化數學新知的能力;二是培養學生創造、革新數學新知的能力。培養學生的數學創新能力有以下意義：

（1）有助于提高學生的數學學習能力和理解能力。數學創新能力的培養，離不開讓學生知曉數學創新的過程，學生對這一過程的知曉，實際上就知曉了數學新知識與舊知識之間的關聯，這有助于學生學習新知，有助于學生將數學知識系統化、結構化，從而有助于提高學生學習數學的能力和理解能力。

（2）有助于數學學科的推進和發展。數學學科的推進和發展離不開數學創新，尤其是數學研究者的數學創新。數學專業大學生是數學研究者的主要來源，培養他們的數學創新能力，實際上是提高了數學新知發現者的推陳出新的能力，這有助于數學新知的產出，進而推動數學學科的發展。

（3）有助于培養創新型人才。國家一直大力倡導培養創新型人才，創新型人才是復合型人才，在各行各業表現出突出的創新精神和創新能力。培養學生的數學創新能力，有助于讓學生形成創新思維，這種創新思維的形成，對學生將來從事的職業和工作大有裨益，有助于讓學生成為所在行業的優秀人才。

五、數學專業大學生數學創新能力的培養建議

培養數學專業大學生的創新能力，即是數學專業培養目標的要求，也是培養創新型人才的重要舉措。數學創新能力的培養，不僅有助于學生數學學習能力的提高，更有助于推進數學學科的發展。作為高校數學教師，筆者結合自身的教學經驗及感悟，總結了在教學中培養學生數學創新能力的一些建議。

（1）提高教師自身的創新意識和創新能力。只有教師自身具備了創新意識和創新能力，才有可能去培養學生的創新能力。作為數學專業的教師，應該學習數學創新的有關知識，不斷探索新知，積極投身到數學的科學研究中去，鍛煉并提高自身的數學創新能力。

（2）調動學生學習數學的興趣。數學專業課程具有一定的難度，學好這些課程具有一定的挑戰，要想有所創新，更加不易。數學的創新需要長時間的、持續的、專注的、深入的思考，如果沒有興趣作為支撐，那就無法對數學產生持久的熱度，也就無法實現創新。因此教師在教學中要設法激發并調動學生學習數學的興趣，尤其是第一堂課，因為課堂教學是教師與學生的雙向交往互動，存在“首因效應”，即個體在社會認知過程中，通過“第一印象”最先輸入的信息對客體以后的認知產生的影響作用。因此第一堂課中讓學生形成的看法及印象，對以后學生學習具有深遠影響[4]。比如，對于《數學分析》的第一堂課，可以通過[0.9·=1]的推證，曲邊梯形面積求解的介紹，莫比烏斯帶的制作，[2]、[e]和[sin30?1]的計算問題等，激發調動學生的學習興趣和求知欲。

（3）展示教材中的創新，讓學生知道什么是數學創新。對很多學生而言，數學創新僅僅是一個概念，他們對創新是什么基本一無所知。實際上，大學數學專業課程的教材是諸多數學研究著創新成果的總結。教師在教學中，展示教材中的創新，讓學生清楚具體地認識到什么是數學創新，只有這樣才有可能實現創新。

（4）適當拓展教學內容，加深學生對數學創新的理解。數學的歷史久遠，大學階段數學專業學生學習的內容大多都是較早的數學知識，教師在教學過程中，如果能拓展有關的教學內容，補充最新的研究結果，這樣更有助于學生理解數學創新。比如，在《高等代數》課程中介紹矩陣的概念及逆矩陣時，可以拓展介紹無限行或列的無限矩陣和廣義逆矩陣，加深學生對創新的認識。

（5）在教學中展現數學創新的過程，讓學生掌握如何創新。推廣是數學創新的重要過程和方法，正如吳振奎等在《數學的創造》一書中的介紹[5]，數學發展的全史，無不與推廣有關。說得狹隘點，數學的發展正是由數學中某些概念的推廣和由此而引發的新內容、新概念、新方法、新問題的出現而導致的。教師在教學中展現數學創新的過程，讓學生看清這個過程，掌握創新的方法。比如《數學模型》課程中，“安全渡河”包括“商人過河”問題和“船運狼羊菜”問題，這兩個問題都使用了圖解法，但是兩種“圖”卻不一樣，“商人過河”問題的圖是基于坐標的網格，“船運狼羊菜”問題中的圖是基于圖論，在教學中引導學生思考，并展示渡河問題基于格的統一的圖解法[6]，讓學生看到實際的創新過程。

（6）在教學中注重類比聯想和發散，訓練學生的創新思維。類比聯想思維和發散思維是重要的創新思維，很多數學上的創新都是通過類比得到的，并且很多數學創新是靈光一現得到的，不過這些創新的獲得離不開對數學相關問題持續的思考，離不開對類似問題的聯想和思維的發散。在教學中教師應注意相似知識的類比，注重一題多解的訓練，通過這些方式訓練學生的聯想思維和發散思維，以此訓練學生的創新思維。比如《數學分析》課程中收斂數列的性質到函數極限的性質，就有許多的相似性，注意這些知識的類比，不僅有利于學生知識的系統化，還有助于訓練學生的聯想思維。

（7）激發學生的問題意識，讓學生學會發現問題并提出問題。在數學學習中，解決問題的能力固然重要，但是對于創新而言，發現問題、提出問題的能力更加重要。如果在大學數學課程的教學中，一味專注于提高學生解決數學問題的能力，而忽略激發學生思考、發問的意識，那樣的話，大學階段的數學教育就變成“應試”教育了，學生的創新能力就無法得到培養。因此在教學中，教師要注意激發學生的問題意識，讓學生能發現問題，并能提出有價值的問題。比如，在《數學建?！氛n程“商人過河”案例介紹的是3名商人3名隨從，對于n名商人n名隨從結果怎樣？m名商人n名隨又是如何？能否根據m，n的值判別是否存在可行渡河方案？這些問題的提出實際就是引導學生進行具體的創新。

（8）教會學生讀書，讓學生學會自學。課堂時間是有限的，僅通過課堂教學去培養學生的創新能力是不夠的，需要教會學生讀書、自學的能力。書本雖然是死的，但是要讓學生把書讀“活”，讓學生學會發問，讓學生學會向課本提問，不能只是單純的把書上的知識看懂，要思考，考慮作者為什么要這樣安排章節？我可以怎樣重新理解建構這些知識？為什么要用這種方法？還有其他方法嗎？引導學生帶著這些問題去看書，把書讀“活”，這樣不僅是在看書，而是在和書的作者交流。在這樣的看書、自學過程中，學生會不斷的思考，創新能力也在得到訓練。比如在《解析幾何》課程中，介紹了向量內積和向量積的混合積，二重向量積，為何不考慮二重內積？為何在[（k+m）a=ka+ma]的證明中要區分[k，m]是否為0是否同號？為何證明[（a+b）×c=a×c+b×c]時先考慮[c]是單位向量？在學習過程中，學生若能思考并解答這些問題，也就了解到了作者的一些思想和意圖以及解決問題的方法。

（9）將數學創新作為考核的目標之一，推進學生的數學創新。目前很多高校數學專業課程的考核主要采取考試的方式，雖然這種考核方式能有效地督促學生學習，但是若僅將考試作為唯一的考核方式，這容易造成學生在學習中以應試為目的，這勢必會阻礙學生創新能力的發展。將撰寫小論文、研究報告等方式作為可供選擇的考核方式，變革單一的考試考核制度，以此引導并推進學生進行數學創新。

[參考文獻]

[1] 趙宏量. 大哉，數學之為用：紀念華羅庚教授誕辰 100 周年[M]. 重慶：西南師范大學出版社，2010.

[2] 吳懷宇， 程光文， 丁宇，等. 高校學生創新能力培養途徑探索[J]. 武漢科技大學學報（社會科學版）， 2012（3）：334-336.

[3] 孫健偉. 學科競賽對研究生創新能力的影響研究[D]. 南昌大學， 2012.

[4] 孫峰.關于上好高等數學第一堂課的探討[J]. 樂山師范學院學報，2014（11）：118-120.

[5] 吳振奎， 吳旻. 數學的創造[M]. 上海：上海教育出版社，2006.

[6] 孫峰， 屈小兵， 汪天飛. 格在安全渡河問題圖解法中的應用[J]. 數學的實踐與認識， 2013（8）：170-175.

[責任編輯：林志恒]