基于改進時頻特性的高精度太赫茲光譜測量系統定量分析研究

李清霞 羅澤鵬

(廣東理工學院信息工程系 廣東 肇慶 526100)

0 引 言

太赫茲時域光譜(THz-TDS)是測量樣品材料光學常數的有力工具，其工作原理是基于衰減全反射中的瞬逝波的傳輸特性以及物質的反常色散特性[1]，通過對獲取的頻譜數據進行分析和處理，進而獲得被測樣品的吸收系數、折射率、透射率等光學常數，廣泛地應用于半導體、生物醫學、制藥、農產品及食品檢測等多個研究領域[2]。

太赫茲時域光譜系統有兩種常用的測量模式：透射式和反射式[3]。透射式太赫茲時域光譜系統是一種應用較方便有效的測量模式，常用于測量固體材料，但是此模式不能用于測量一些具有高吸收率的物質，例如極性液體、金屬材料等。反射式系統可以測量高吸收率的物質,但對實驗技術要求較高，反射鏡與樣品的位置微小改變就可能極大地影像折射系數[4]。太赫茲時域光譜系統中的正入射反射式是廣泛使用的反射測量方法，在其基礎上提出了很多優秀的測量方法。西南技術物理研究所張海濤等[5]提出了一種基于光學反射幾何模式的測量系統，該算法利用采樣信號與參考信號在時間域上獨立，在相同的時間掃描中獲得全部光譜數據。太赫茲時域光譜技術能夠快速、寬頻帶測量物質在太赫茲頻段的光學或介電常數，是物質識別的重要技術。根據光譜測量理論，太赫茲時域光譜測量過程中的許多系統誤差直接影響計算的光學常數的精度。許多研究人員致力于評估誤差對常用的太赫茲時域光譜系統中的光學常數的影響。文獻[6]針對太赫茲透射式測量系統中的誤差來源進行的分析，提出了液體樣品光學常數的校正模型，在外界微弱干擾下也能得到準確測量，但該模型僅僅對液態樣品的光學參數進行擬合。文獻[7]等提出了對測量的光學參數的誤差和它們的不確定性的系統研究；文獻[8]對太赫茲光譜的平面應力測量做了深入的研究，并提出了基于相位延遲的平面應力狀態模型；文獻[9]在太赫茲時域光譜衰減全反射系統中定量地計算了延遲誤差的影響，發現太赫茲系統中良好的熱穩定性可使延遲波動最小化。文獻[10]提出了一種基于太赫茲時域光譜衰減全反射模型的改進測量方法，能顯著地減少對照組和樣本測量之間的棱鏡失調的影響。目前為止，大多數誤差分析主要針對特定的物質或者誤差源，尚無對基于正入射反射式太赫茲光譜測量的所有誤差源進行系統性研究。因此，本文主要工作集中在對太赫茲測量系統誤差進行分析，找出誤差與正入射反射式太赫茲光譜測量中的測量光學常數的不確定性的關系。

1 太赫茲時域光譜系統光學常數測量模型

如圖1所示，飛秒激光脈沖序列通過分束器分成泵浦和探測束。泵浦光束聚焦在發射天線上以產生太赫茲脈沖，并且探測光束由步進電機控制的延遲線延遲以對太赫茲信號的電場進行采樣[15]。從理想反射鏡反射的波形是參考信號，而樣本信號則是從放置在與參考反射鏡相同的位置處發出。

圖1 太赫茲時域光譜示意圖

為了定量分析兩個太赫茲波形的頻域關系，首先對信號進行傅里葉變換，其中電場角頻率ω處的頻譜分量分別表示為Er(ω) 和Es(ω)，因此可以通過以下關系獲得樣品的復折射率：

在正入射反射式太赫茲光譜測量系統中，光學常數n與k可以從式(2)、式(3)中直接獲取，并被稱為測量函數。可以看出，折射率和消光系數受反射率與相位差決定，任何微小誤差就可能極大地影響測量結果。

由于原始信號是在時域下獲得的，故應將其利用快速傅里葉變換變換到頻域，進而得到頻域的相位信息和振幅信息，求解被測物質的光學常數。然而傳統的傅氏變換不足以準確地獲取頻點信息，本文將改進的時頻分析引入到測量系統誤差分析。

2 改進的時頻分析方法

頻率和相量信息對分析樣品的透射率、折射率、吸收系數、介電常數等光學參數至關重要，精確快速地測量頻率值和相量值就顯得尤為重要。然而，傳統的時頻分析只是簡單地采用一個特征峰來概述其特性。為了提取并有效利用太赫茲光譜信號中蘊藏的本質特性，需要深入研究光譜信號處理和分析的方法。只有準確提取信號中基波和諧波的幅值、頻率、相位參數，太赫茲光譜測量結果才能更加精確。目前，常用的頻率和相量測量算法有小波變換法、DFT算法等。傅里葉變換可將整個時域信號變換到頻域，但是掩蓋了太赫茲脈沖時間分辨的光譜特性。頻譜泄露也會嚴重影響頻率和幅值的測量精度。因此，本文提出采用主瓣寬度窄、旁瓣峰值小的Nuttall窗函數來減弱頻譜泄露的影響。

假定太赫茲時域信號是x(n)，其多次諧波形式如下式所示：

(4)

式中：L諧波項數，fs與f1分別表示采用頻率與基波頻率；ri、Ai、θi分別表示第i次諧波的次數、幅值與相位。

本文采用的窗函數如下所示：

W(ω)=χWN(ω)+rWK(ω)

(5)

式中：χ、γ是Nuttall與Kaiser窗的權值系數，WN(ω)、WK(ω)是對應的頻譜函數。

(6)

本文采用β=25時的Kaiser窗和4項3階Nuttall窗構造窗函數，令χ=γ=0.5，對太赫茲信號進行處理，充分發揮Nuttall窗衰減速率大和Kaiser窗旁瓣峰值電平低的優點，比Kaiser窗具有更好的抗噪性，比Nuttall窗具有更好的旁瓣特性，抑制頻譜泄漏能力更強。因此，加窗傅里葉變換可以提高FFT主瓣與旁瓣以及旁瓣間的衰減速度，同時適當增加FFT的頻率分辨率以避免加窗之后主瓣過寬引起的主瓣干擾。MATLAB仿真和實驗結果表明，所提改進算法可有效提高太赫茲光譜測量的計算精度和抗干擾能力。

3 基于時頻特征的測量系統誤差源分析

由于反射式系統對實驗技術要求較高，任何微小誤差就可能極大地影像折射系數。在太赫茲光譜測量系統中，受電子和光學噪聲影響的延遲傾斜誤差將引起時間路徑中的振幅誤差；振幅誤差通過傅里葉變換和反卷積處理后會直接影響光學常數的精度，造成輸出不確定性；與樣品的位置相比，基準鏡的微弱失調將導致THz域中復折射率產生嚴重誤差[11]；在測量過程中，手動放置樣品的誤差可能會導致非零入射角，該誤差也會引起光學常數的不確定性。因此，本文致力于分析所有的誤差源對所測試樣品的光學性質的不確定性。接下來，本文將對每個誤差源的影響進行詳細的分析。

3.1 太赫茲線幅度誤差

折射率中與幅度相關的方差可以表示為：

其中：

(9)

(10)

(11)

(12)

其中：

(13)

(14)

(15)

(16)

同樣，消光系數的振幅相關方差表示為:

3.2 樣品傾斜誤差

當太赫茲T射線對樣品板的入射角不垂直于表面時，根據菲涅耳方程，樣品的確切復反射率由下式給出：

式中：θ1和θ2分別是太赫茲脈沖的入射角和折射角。因此，根據Snell定律，n0sinθ1=nsinθ2。假設入射角θ1在微弱間隔[-fθ,fθ]內偏移且均值為零，則在最壞情況情況下計算值和精確的復反射系數之間的幅度差和相位差為：

根據式(2)和式(3)中測量函數可以推導出樣品傾斜誤差對折射率偏差的影響為：

同樣，樣品傾斜誤差對消光系數的偏差的影響方程為：

3.3 樣品位置誤差

反射測量必須需要使用與樣品位置一致的金屬鏡作為參考測量基準。這在實際測量中相當難以實現，并且由于非常小的傾斜準誤差Δx(參見圖1)能夠誘發較大的相位誤差：

(24)

因此，由較小的位置誤差引起的折射率和消光系數的偏差分別表示如下：

n(ω)α(ω)Δx

(25)

n(ω)ε(ω)Δx

(26)

4 單誤差源仿真實驗分析

為了分析每個誤差源對光學常數的誤差性能影響，本文進行了如下幾種實驗模擬。本文采集的時域信號來自Z3型實驗室級太赫茲時域光譜和成像系統，并采用MATLAB軟件進行時頻分析。根據Duvillaret等[13]給出的PCA分析模型，參考信號和樣本信號的仿真實驗參數配置采用文獻[14]所給出的最優參數:δτem=δτrec=30 fs,τem=τrec=300 fs,τlas=120 fs。參考脈沖的半高寬度約0.5 ps，其頻率跨度為從0.1 THz到4.0 THz不等。樣本信號的計算采取的實驗參數如下：n-jκ=1.5-0.1j。圖2表示基于PCA分析仿真模擬的參考信號和樣品信號以及它們的頻譜。

(a) 時域光譜

(b) 頻域光譜圖2 仿真的參考信號和樣品信號時域及其頻域信息

4.1 幅度誤差

文獻[13]的研究成果表明，由噪聲引起的太赫茲射線振幅的變化可以記錄為AE2(kτ)+BE(kτ)+C，其中A、B、C是噪聲參數。通過擬合光學常數變化方差的實驗值，表明A、B、C的幅值數量級分別約為10-3,10-5和10-7。因此，參數A從0.001到0.01變換，增量為0.001；參數B從0.000 01至0.000 1變換，增量為0.000 01；參數C從0.000 000 1到0.000 001變換，增量為0.000 000 1。折射率n和消光系數k的相應標準偏差由式(13)和式(14)計算，其對應的不同參數對其影響的結果如圖3所示。

(a) 不同參數A對應的n的標準差

(b) 不同參數A對應的κ的標準差

(c) 不同參數B對應的n的標準差

(d) 不同參數B對應的κ的標準差

(e) 不同參數C對應的n的標準差

(f) 不同參數C對應的κ的標準差圖3 受不同參數條件的噪聲影響下的光學常數的標準差

通過圖3可以看出：n的變化在1 THz以下，并且在較高頻率處迅速上升，表明折射率和消光系數的不確定性在高頻下更容易受噪聲影響，這是由于較高頻率下太赫茲時域光譜測量中鏡子位置和樣本傾斜誤差的影響更強烈。值得注意的是，在實際的太赫茲時域光譜測量系統中，可以通過幾次交替測量獲得太赫茲射線振幅的方差。

4.2 樣品傾斜誤差的影響

圖4展示了樣品的傾斜角對復折射率的影響。傾斜角度范圍是0.01至0.1，步長為0.01。可以看出n和k偏差隨著傾斜角的增加而變大；消光系數對傾斜角比折射率更敏感，因為k與參考信號和樣本信號之間的相移非常相關，這使得測量結果極大地受制于太赫茲波束到樣本上的入射角。

圖4 對應不同樣品傾斜角的n和k的偏差

4.3 位置誤差的影響

由于本文研究的位置誤差在微米級別，位置誤差對折射率與消光系數的影響如圖5所示。可以看出，光學常數的偏差隨著位置誤差增加而變大：低頻下的光學常數相比較小，但是在較高頻率處，偏差迅速上升到不可接受的水平，并且變得遠大于由其他兩個誤差引起的偏差。因此，位置誤差是造成光學常數的不確定性的主要來源。

(a) 位置誤差對折射率的影響

(b) 位置誤差對消光系數的影響圖5 位置誤差(從1 μm到10 μm，步長1 μm)下光學常數的偏差

5 結 語

本文研究了正入射反射式太赫茲光譜中測量誤差來源對光學常數的影響，通過基于時頻度量對太赫茲測量系統誤差進行分析，找出誤差與正入射反射式太赫茲光譜測量中的測量光學常數的不確定性的關系。通過對每個單誤差源進行了仿真分析，實驗結果表明消光系數比折射率更受誤差的影響，光學常數的偏差隨著位置誤差增加而變大，且較高頻率下太赫茲時域光譜測量中位置和樣本傾斜誤差也影響測量精度，因此可以通過系統誤差公式的校正增強測量的精度。