回歸問題本真 力求解法自然
——以求解多變量最值問題為例

李 俊

(江蘇省啟東中學 226200)

美國著名數學家哈爾莫斯說：“問題是數學的心臟.”解決數學問題的關鍵是依據解題者本身具有的知識經驗和審美判斷，為實現目標而尋求適合的解題策略.下面通過幾道多變量問題說明，如何根據問題條件和結論之間的聯系，采取適當的解題策略，使得解法更加自然流暢.

換元法2 本題還可以從所求式子入手，通過整體換元將所求式進行簡化.

設z=3x-2y，則3x2-2xy=x(3x-2y)=xz，

添“1”法注意到目標函數與已知條件都是齊二次式，若將目標函數看作分母為1，則原式可以化成齊次分式，再運用用整體思想就可以化為一元函數最值問題了.

根的判別式法若設目標函數值為z，則得到z滿足的一個等式,注意到該等式中字母y只出現一次且次數為1，所以可解出y,再代入已知條件消去y，得到一個關于x的方程,因為參數z的取值必須使關于x的方程有解，所以由根的判別式可求出z的范圍.

三角換元法根據雙曲線參數方程，可用一個參數θ表示x,y，代入目標函數，從而將二元問題化為一元問題.

和差變換法通過兩個數的完全平方和與差變換，將目標函數中的xy項消去，問題轉化成一元函數最值問題.

上述多元最值問題分別在不同視角下，瞄準目標，兼顧條件，從問題的不同特點入手，選擇不同的解題策略，各種方法分別從不同角度凸顯了問題的本質.若改變問題條件與已知，上述解決多元最值問題的常用方法可能不在湊效.例如

例2 (2016年江蘇高考)已知銳角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值為____．

代入消元法題中含有三個變元:角A,B,C,變元之間除了滿足已知的一個等式外,還隱含等式A+B+C=π,所以可以消元化為一元函數問題，這是解決多元最值問題的基本方法.根據題目條件，消去角B,C較為簡便，注意到目標函數“切化弦”后，出現了sinBsinC和cosBcosC，所以先用角A表示它們，再整體代入，達到消元的目的.具體解法如下：

∵△ABC是銳角三角形，∴ 當且僅當tanA=4時，tanAtanBtanC取得最小值8.

配方法這是一道以向量為背景的多變量最值問題，首先要將向量關系式化成代數不等式.由題中向量關系式得

(a-c)2+(b-d)2≥(m-2)(ac+bd)+mbc，

整理得a2+b2+c2+d2-mac-mbd-mbc≥0(*).

∵(**)式對任意實數a,b,c,d都成立，

如何根據題目特點和實質選擇適合的解題策略，需要解題者在學習過程中不斷總結、歸納、體會、悟透.只有回歸問題的本真的基礎上，才能形成良好的解題策略，而適當的解題策略不僅體現了選擇的智慧和組合的藝術，還可以節省探索時間、提高運算的速度和準確度、優化解題過程讓解法更加自然順暢.