回歸問題本真 力求解法自然
——以求解多變量最值問題為例

李 俊

(江蘇省啟東中學(xué) 226200)

美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是依據(jù)解題者本身具有的知識經(jīng)驗和審美判斷，為實現(xiàn)目標而尋求適合的解題策略.下面通過幾道多變量問題說明，如何根據(jù)問題條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，采取適當?shù)慕忸}策略，使得解法更加自然流暢.

換元法2 本題還可以從所求式子入手，通過整體換元將所求式進行簡化.

設(shè)z=3x-2y，則3x2-2xy=x(3x-2y)=xz，

添“1”法注意到目標函數(shù)與已知條件都是齊二次式，若將目標函數(shù)看作分母為1，則原式可以化成齊次分式，再運用用整體思想就可以化為一元函數(shù)最值問題了.

根的判別式法若設(shè)目標函數(shù)值為z，則得到z滿足的一個等式,注意到該等式中字母y只出現(xiàn)一次且次數(shù)為1，所以可解出y,再代入已知條件消去y，得到一個關(guān)于x的方程,因為參數(shù)z的取值必須使關(guān)于x的方程有解，所以由根的判別式可求出z的范圍.

三角換元法根據(jù)雙曲線參數(shù)方程，可用一個參數(shù)θ表示x,y，代入目標函數(shù)，從而將二元問題化為一元問題.

和差變換法通過兩個數(shù)的完全平方和與差變換，將目標函數(shù)中的xy項消去，問題轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)最值問題.

上述多元最值問題分別在不同視角下，瞄準目標，兼顧條件，從問題的不同特點入手，選擇不同的解題策略，各種方法分別從不同角度凸顯了問題的本質(zhì).若改變問題條件與已知，上述解決多元最值問題的常用方法可能不在湊效.例如

例2 (2016年江蘇高考)已知銳角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值為____．

代入消元法題中含有三個變元:角A,B,C,變元之間除了滿足已知的一個等式外,還隱含等式A+B+C=π,所以可以消元化為一元函數(shù)問題，這是解決多元最值問題的基本方法.根據(jù)題目條件，消去角B,C較為簡便，注意到目標函數(shù)“切化弦”后，出現(xiàn)了sinBsinC和cosBcosC，所以先用角A表示它們，再整體代入，達到消元的目的.具體解法如下：

∵△ABC是銳角三角形，∴ 當且僅當tanA=4時，tanAtanBtanC取得最小值8.

配方法這是一道以向量為背景的多變量最值問題，首先要將向量關(guān)系式化成代數(shù)不等式.由題中向量關(guān)系式得

(a-c)2+(b-d)2≥(m-2)(ac+bd)+mbc，

整理得a2+b2+c2+d2-mac-mbd-mbc≥0(*).

∵(**)式對任意實數(shù)a,b,c,d都成立，

如何根據(jù)題目特點和實質(zhì)選擇適合的解題策略，需要解題者在學(xué)習(xí)過程中不斷總結(jié)、歸納、體會、悟透.只有回歸問題的本真的基礎(chǔ)上，才能形成良好的解題策略，而適當?shù)慕忸}策略不僅體現(xiàn)了選擇的智慧和組合的藝術(shù)，還可以節(jié)省探索時間、提高運算的速度和準確度、優(yōu)化解題過程讓解法更加自然順暢.