關(guān)于單調(diào)區(qū)間形似質(zhì)異問(wèn)題

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)的重要性質(zhì)，許多問(wèn)題表面非常相似，往往使人混淆，但其本質(zhì)相差甚遠(yuǎn).本文對(duì)單調(diào)區(qū)間的的一組形似質(zhì)異問(wèn)題，進(jìn)行梳理歸納，并配多角度轉(zhuǎn)化.

題型分類(lèi)：

(1)函數(shù)y=f(x)的增區(qū)間為(a,b)轉(zhuǎn)化為方程等式問(wèn)題解決.

(2)函數(shù)y=f(x)在間為(a,b)上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(a,b)上的恒成立問(wèn)題解決.

(3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間為(a,b)存在單調(diào)遞增區(qū)間轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(a,b)上有解問(wèn)題解決或者轉(zhuǎn)化為“恒減取補(bǔ)”問(wèn)題解決.

(4)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間為(a,b)上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上有解問(wèn)題解決或至少有一個(gè)極值點(diǎn)問(wèn)題解決.

例1函數(shù)f(x)=x3+ax+8的單調(diào)遞減區(qū)間為(-5,5)，則a=( ).

例2已知a∈R，函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex在(-1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(-x2+ax)ex在(-1,1)上單調(diào)遞增，所以轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在(-1,1)恒成立.

思路一 “有解”

思路二 “能成立”

例4 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)上不單調(diào)，求a的取值范圍.

解析對(duì)“不單調(diào)”從不同角度等價(jià)解析，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)?函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)極值點(diǎn).

思路一f′(x)=3x2-6ax+3,Δ=36(a2-1).