從一道調研題談數學建模素養的培育*

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法建構模型解決問題的素養。高考中對數學建模素養的考查主要體現在應用題的考查上。江蘇省高考數學試卷中，應用題屬于中等難度的試題，一般在第17、18題的位置上出現，是試卷中的關鍵題。江蘇省南通市2019年高三數學第一次調研測試的應用題源自生活實際，對數學建模素養提出了較高的要求，但考生實際答題情況卻很不理想。筆者負責了本次調研測試題的命制和閱卷工作，結合這一經歷對培養學生的數學建模素養發表一些個人的觀點。

2019年南通市高三數學第一次調研測試第18題如下：

如圖1，一藝術拱門由兩部分組成，下部為矩形ABCD，AB，AD的長分別為和4 m，上部是圓心為O的劣弧CD，

（1）求圖1中拱門最高點到地面的距離；

（圖 1）

（2）現欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABCD所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示。設BC與地面水平線l所成的角為θ。記拱門上的點到地面的最大距離為h，試用θ的函數表示h，并求出h的最大值。

（圖 4）

一、命題過程再現

1.想法由來。

在實際生產、生活中，常需要將物體旋轉傾倒。在旋轉的過程中，物體的最高點與地面的距離h會不斷地發生變化。那么這一變化過程能否用數學模型進行刻畫？如何用數學知識判斷這種旋轉在實際環境中是否能發生？這樣的想法，引發了本試題的編制。

2.試題初稿。

某糧食食品有限公司，有高度為5a（a為正常數）的倉庫。倉庫內有如圖5所示的糧倉模型，該模型是由上、下兩部分構成，下半部是軸截面為矩形 ABCD 的圓柱，AB=2a，AD=4a，上半部是圓心角COD為120°的球的一部分。

（1）求該糧倉模型最高點到地面的距離（用常數a表示）；

（2）由于該糧倉使用已久需要修理，問能否將該糧倉模型以點B為支點，按順時針方向在倉庫內按如圖所示的示意圖放倒。

（圖 5）

3.磨題定稿。

初稿試題與命題的初始想法是完全吻合的，但在語言表述上還存在歧義，不利于學生理解。同時，這道以立體幾何為背景的應用題建模要求非常高：解答試題需要經歷從立體到平面，準確描述從初始狀態到終止狀態的運動變化過程，找到不同變化階段的臨界狀態。本題如果讓學生進行課后探究，將是一個非常好的培養學生數學建模素養的素材。但作為一道大型調研測試題，對學生的建模要求則太高了。

能否適當降低要求，將初稿試題變成一道適合學情的考題？我們做了如下調整：（1）由于本題實際是轉化為平面問題來求解的，故我們舍棄了立體幾何的背景，直接從平面切入，力求讓思維過程適度簡化，降低難度；（2）我們通過4幅圖來刻畫運動變化過程，突出了中間過程的描述，這其實也是對學生解題的一種提示。

其實，在蘇教版高中數學教材必修4中，也有用三角函數刻畫相關旋轉變化的問題，題目如下：

矩形ABCD所在平面與地面垂直，A點在地面上，AB=a，BC=b，AB與地面成θ角（如圖6所示）。若記點C到地面的距離為h，試用θ的函數表示h，并求出h的最大值。

（圖 6）

與教材習題相比較，考題改變了研究對象的形狀，將矩形改變為一個組合圖形，但本質沒發生改變。

二、答題情況反饋

本題總分16分，調研人數為22253人，實際平均分為5.53分，可以說得分情況并不理想。

在閱卷過程中發現，學生數學建模素養的水平不同，展現出來的解法也不一樣。主要解法有如下三種。

水平1：抓住問題本質，運用三角函數的定義進行建模，彰顯了良好的數學建模素養，解答簡潔明快、運算便捷。

（圖 7）

明晰了上述模型本質，就可以以點B為坐標原點，直線l為軸，建立直角坐標系進行解題，具體過程略。

水平2：直奔研究目標，結合平面圖形特征求解，雖表述上未凸顯問題本質，但也彰顯了較高的學科素養。

解題思路：如圖8所示，過點D作DE⊥l，垂足為E，過點C分別作DE，l的垂線，垂足為G，F，在所構造的直角三角形中利用三角函數解題，具體過程略。

（圖 8）

水平3：根據以往對平面圖形問題的一般處理經驗來求解，添加較復雜的輔助線幫助求解。雖也能解決，但過程較為繁雜，需要非常扎實的數學基本功和解題意志力方能求解到底。其方法多樣，但過程繁雜，這里就不一一展示了。

三、問題診斷分析

1.偽建模題訓練讓學生勞而無功。高考試題的命題者特別重視對數學建模素養的考查，他們會認真研制高質量的應用題；教學中，教師煞費苦心，花費大量精力用于應用題的教學；學習中，學生深入題海，耗費大量的時間用于解答各類應用題。但實際學習下來，卻給人以勞而無功的感覺，學生反倒越做越怕。究其原因，很重要的一點是因為平時的訓練題很多都是假應用題、偽建模題。這些題或是情境虛設，或是只需簡單處理無需建模，或是問題情境遠離學生實際，學生缺乏相關經驗無從建模。

2.忽略建模過程讓學生“望模卻步”。在教材習題、高考試題、各類大型調研測試中，也有很多優秀的應用題，這類試題源自現實世界，是培養學生數學建模素養的優質素材。但很多教師在教學時，常為了追求一定的數量，忽略了建模的過程，簡單呈現結果。這種忽視過程的教學，使學生無法真正理解和體驗建模的過程，學生無法順利解題也就不足為奇了。

四、教學訓練建議

1.選好題，讓學生真正經歷建模的過程。要培養學生的數學建模素養，教師不僅要選好題，還要把探索實踐的機會留給學生，讓學生經歷真正的建模過程。上文的案例源自生活實際，教學時可結合對實際運動過程的觀察，讓學生自己去發現運動過程分為兩個階段：點P在劣弧CD上和點P在線段AD上，并能用數量關系去刻畫臨界狀態。在師生合作建模、解模的過程中，可采用的流程是：改編設問方式，創設建模機會；深刻理解情境，初定建模方案；多法解模驗模，探求最優解法；自我評估反思，積累活動經驗。

2.研透題，讓學生深刻理解模型的本質。通過做好題，經歷建模的過程研透題，讓學生比較各種解決方案背后的異同點。如本例的3種水平的解答，雖都能解決問題，但思維層次卻各不相同，只有第一種解答真正切入模型的本質。本案例解決以后，要讓學生回歸教材習題中的數學模型，使他們認識到解決問題的關鍵即為教材數學模型的反復使用，本質上是用三角函數的定義去刻畫高度的變化。教學中只有處理好量與質的關系，發揮案例的作用，才能讓學生舉一反三，深入數學建模的本質。