混合式教學：促進數學深度學習*
——以“用二分法求方程的近似解”的教學設計為例

一、基本情況

1.授課背景。

“混合式教學”是一種教育形式，該形式下的學習具有以下特點：（1）部分學習活動在線進行，可以控制學習的時間、地點、途徑，也可以控制進度；（2）部分學習活動在教室中進行；（3）結合個人在某一門課程中的學習狀態，來獲得一種綜合性的學習體驗。它是集體學習與個別學習的混合，是線上學習和線下學習的混合，是一種促進深度學習的教學方式。筆者所在學校具有網上自主學習的環境和資源，筆者在一次公開課中利用這些資源講授了“用二分法求方程的近似解”一課。現將過程記錄如下。

2.教材分析。

本課課題為“用二分法求方程的近似解”（蘇教版高中數學第三章第四節）。本課按照“問題情境→數學活動→意義建構→數學應用→回顧反思”的思路設計，在解決問題過程中逐步建構、應用數學知識。學生在前面一節已經學習了函數零點的概念和零點存在性定理，本課以數學問題情境引入主題，用生活問題情境引入二分思想，通過問題串，開展師生互動，生生互動，從而解決一般方程的解的估算問題。在解決問題的過程中利用觀察、比較、分析、綜合、歸納、抽象等一般的科學研究方法，讓學生感悟等價轉化、函數與方程、數形結合、分類討論以及無限逼近的數學思想，體會數學的本質。

二、混合式教學的實施流程

混合式教學中教師要為學生的課前、課中、課后學習提供豐富的網絡學習資源，個性化的混合式學習機制。教學流程如下：

課前學習設置兩個微課：一是函數與方程概念復習微課，幫助學生課前復習；二是情境式微課，從數學情境和生活情境角度思考本課知識。課堂教學中設置兩個微課：一是概念教學微課幫助學生內化概念；二是典型例題反思微課幫助學生更好地反思。課后學習中設置兩類微課：一是解題教學微課解答數學練習中的問題，學生根據學情需要選擇觀看視頻，實現差異化教學；二是錄制以中外歷史上的方程求解為課題的數學文化微課，通過方程求解數學史料的簡要介紹，讓學生接受數學文化的熏陶，激發學生學習的積極性和主動性。

當學生對教師提供的學習資源存在認知困難時，他們可以借助實時交互平臺向教師尋求幫助，亦可以通過學習平臺發布話題，尋求其他同學參與話題的討論進而獲得問題的解決。筆者采用極域網絡系統發布學習資料，搭建學習平臺，教師和學生都可以通過平臺提出問題和解決問題，用課堂直播系統實現師生互動，生生互動，幫助學生深度理解數學。

三、教學過程

1.課前學習。

微課1：圖象交點與代數處理。

（設計意圖：復習函數與方程概念，并構造兩個函數，引導學生觀察它們的圖象交點個數及交點的位置，啟發學生從對圖形關系的探索，轉化為感悟應用零點存在性定理，求零點個數及所在區間的代數方法。）

微課2：猜數字。

利用網上教學管理平臺，開展小組線上或線下猜數字活動：采用取中間值的方法，比如在0與1000之間，先猜500，這時它可能是正確答案，如果不是，就根據對方的提示，可以縮小猜的范圍；倘若500大了，那么數就應該在1～500之間，然后再縮小范圍猜中間的250這一數字，以此類推最終猜出這個數字。

（設計意圖：利用生活情境引出二分思想。通過以上活動，引導學生感悟，并抽象出二分思想，培養學生數學抽象的能力；應用二分思想解決數學問題，感悟數學與生活的緊密聯系，引導學生從生活走向數學。）

2.課堂教學。

（1）問題引領

求方程lg x=3-x的近似解。

問題：①你能否利用數形結合的方法對方程lg x=3-x的解作一個估算，找到它的大致范圍？②方程lg x=3-x在（1，3）上有解嗎？你能否給出證明？③方程lg x=3-x有幾解？你能縮小解所在的范圍嗎？

（設計意圖：線下個別學習，以數學問題導入本課。通過一次方程與二次方程的解的分布，促進學生深入思考一般方程的求解問題。以問題鏈引導學生獨立思考，自主學習，讓思維走向深入。）

（2）數學活動

活動形式：小組合作學習，利用圖形計算器進行數據處理；教師利用網上教學管理平臺，直播不同小組學生的活動過程；師生互動，生生互動開展探究活動交流，將活動成果實時反饋到每個學生的電腦桌面，并作及時的評價。

微課3：二分法求方程lg x=3-x的近似解（精確到0.1）。

（設計意圖：改進教學方式，合理使用自主學習、合作交流等多種學習方式，組織學生課堂學習。遵循“問題鏈—數學思考—問題解決—抽象出一般方法”這樣的教學流程，層層遞進，循循善誘，以提升學生獨立思考、數據整理、優化算法的能力，促進數學的深度學習。）

（3）數學應用

例題：求方程x3=3x－1的近似解。（精確到0.1，可利用計算器）

微課4：解題方法賞析。

方法一：根據函數y=x3和y=3x-1圖象判斷它們有三個交點，分別記為 x1，x2，x3且 x1∈（-2，-1），x2∈（0，1），x3∈（1，2），構造函數 f（x）=x3-3x+1，利用二分法逐步算出結果。

方法二：利用圖形計算器作出y=x3和y=3x-1的圖象，數據分析圖象交點橫坐標，可以求出對應交點。或者作出函數f（x）=x3-3x+1圖象，分析其與x軸交點的橫坐標，接下來引導學生利用二分法代數證明以上結論。

（設計意圖：用圖形計算器探究方程解的情況，找出問題的解，再代數推理驗證結論。圖形計算器的使用旨在數據處理，讓學生理解二分法的全過程，培養學生的直觀想象能力，掌握求近似解的數學方法。）

3.課后學習。

微課5：數學史上的方程求解。

（設計意圖：通過求解方程的數學史料，簡要介紹高次代數方程解的探索歷程，讓學生了解高于4次的代數方程不存在求根公式這一結論，進而體會尋求估算高次多項式函數及其他函數零點的算法的必要性。讓學生接受數學文化的熏陶，激發學生學習的積極性和主動性。）

四、教學反思

1.混合式教學促進學習方式的改變。

信息技術在教學中的優勢主要表現在：快捷的計算功能、豐富的圖形呈現與制作功能、大數據的處理功能，提供交互式的學習和研究環境等方面。將教學內容和信息技術合理整合是我們需要思考的問題。

混合式教學中利用現代信息技術線上線下學習，打破了傳統課堂中教師一言堂的狀態，教師成了資源建設者，學生學習的合作者，調控知識生成的引導者。學生不僅可以解決自身的學習困惑，還可以通過學習平臺參與話題的討論幫助他人解決問題。混合式學習方式能幫助學生更好地認識和理解數學，增強學生對數學學習的興趣。

2.混合式教學讓數學學科核心素養生根。

數學學科核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的思維品質與關鍵能力。數學教學只有遵循數學問題提出的內在邏輯、數學問題解決的內在邏輯和數學問題拓展的內在邏輯，才能有效地引導和促進學生學會數學地、有條理地、理性地思考。

本課遵循學生認知規律，引導學生從生活情境中抽象出二分法的思想，借助圖形計算器，促進學生完整地經歷二分法的運算、推理、猜想、判斷、調控的數學思維過程，達到了促進學生深度學習，培養數學核心素養的目的。