基于β系數優化的動態投資組合策略研究

郭范勇，潘和平

(1.上海財經大學金融學院，上海 200433；2.重慶金融學院智能金融研究中心，重慶 400067)

1 引言

截止2017年底，我國滬深兩市A股數量達到3000支。那么我們應該通過什么方式選取哪些股票構成投資組合來鎖定收益和規避風險呢？選定投資組合的對象后，我們就一直持有，不用更換股票或者更換股票的權重了嗎？顯然，這是一種較為被動消極的投資方式。這種投資方式不適合當前我國的投資環境。投資者如果想在投資期間更換其所投資的資產投資權重，那么資產組合的投資權重如何調整才會是最優的？每次在計算所需調整投資組合中各種股票的權重時，它明顯與投資者的風險偏好、參考時間窗口、投資組合權重調整后持有期限等因素有關。那我們應該怎樣求解上述的外生變量參數數字，使得投資者在風險偏好既定時的投資組合收益最大化呢？

基于以上考慮，本文在驗證了不同市場態勢下的貝塔系數(即上升β系數和下降β系數)不同的基礎上，分別計算了兩種市場態勢下的貝塔系數，并用者兩者構建了一種衡量指標，選出若干優質行業。然后，將所選行業中的代表性股票進行動態投資組合。總之，希望通過量化方法對市場上的歷史數據進行分析與研究，建立起最優化模型，為投資者提供重要的投資參數和更好的投資方案。同時，也可以為市場有效性假說問題提供一些新的實證結果和思路。

在金融市場中，決定一個投資者效用的兩個因素為收益和風險。我們在實際生活和金融研究中都是假設人們是最大限度的追求收益和盡可能地規避風險。要想達到這一目標，我們首先得解決如何找到衡量風險和收益的指標。Markowitz[1]所提出的均值-方差模型對該問題做出了回答。在他看來，一個有效的投資組合需要滿足以下條件：期望收益既定時，風險達到最小化；或者風險既定時，期望收益達到最大化。Markowitz投資組合理論誕生之后，Lintner[2]，Sharpe[3]和Mossin[4]在一般均衡框架下分別提出了各自的資本資產定價模型(CAPM)。CAPM模型闡述了投資者都采用Markowitz的理論進行資產管理的條件下所形成市場均衡狀態。

隨著大量的投資者將經典的投資組合理論應用于實踐，他們意識到如果僅僅考慮單期的資產組合選擇是遠遠不夠的。在對單期靜態投資組合進行了進一步研究和發展后，多期投資組合模型應運而生。此后，雖然有大量的學者開始研究動態模型，但是求解動態均值-方差模型始終還是有巨大的困難。因此，均值-方差型動態模型的研究也沒有多少大的發展和進步。直到最近Zhou和Li[5]提出了連續時間M-V投資組合，并運用隨機LQ方法給出了有效前沿和解析解。Li和Ng[6]針對多階段的均值-方差模型，推導出來了有效前沿的解析解。當然，在此之前Merton[7]也對多期動態的均值-方差投資組合模型進行了研究，得出了以下的結論：對于在長期的投資過程中，各種沖擊總是能夠獲得多期投資者關心，并預期從此機會中獲得一些利潤。Hakansson[8]在非連續時間的條件下拓展了多階段投資組合和投資消費選擇模型。Richardson[9]對均值-方差模型分別在動態和靜態條件下進行了檢驗，證明了多期動態投資組合策略比靜態的策略更優。Barberis[10]通過一個實證模型介紹了有關投資者長期資產組合選擇的問題。我國直到20世紀末才建立證券市場，所以投資組合理論研究相對滯后。許云輝和李仲飛[11]和李仲飛和姚海祥[12]利用動態規劃方法求解了有關最優投資策略和有效邊界的解析形式。孫萬貴[13]和余敏秀等[14]對于不確定和市場不完全情況下的動態投資組合問題進行了研究，并求解了有關動態均值-方差有效前沿和最優策略的解析式。王秀國和王義東[15]通過對比分析了完全市場條件下與非完全市場條件下的有效前沿變化和最優投資策略問題。周忠寶等[16]和張鵬等[17]將市場摩擦因素引入多階段均值-方差投資組合模型，提出了一些新的算法，并驗證了模型和算法的有效性。Pan Heping等[18]， Pan Heping[19]，劉世平[20]將動態投資組合理論歸于過去十多年來興起的智能金融大方向進行研究。

綜合以上研究發現，目前大多數關于動態投資組合的研究主要集中在利用各種數學的方法求得投資組合的一些解析解和數值解。在真實的市場投資過程中，我們是需要知道一些參數(比如期望收益和方差等)才能進行有效的投資，而有關于實證建模方面的研究較少。本文試圖從以下角度進行創新：通過構建一種新的動態投資組合模型，再利用優選的一些股票基于該模型進行“現實”的投資組合，以驗證模型的可行性。這可以為投資者在實際投資中如何分配各股票投資權重提供了有益的借鑒，也為市場有效性理論提供一種新的驗證方法。

2 模型構建

在靜態模型，需要選擇歷史數據長度來計算最優投資權重，可稱之為參考時間窗口。此外，由于每一項資產的收益和風險特性以及它們之間的協相關矩陣總會隨時間變化而變化，從而最初選擇的最優投資組合可能就并非一個最佳的投資權重。這就涉及到一個我們調整投資組合權重頻率的問題，等價于要尋找到一個最佳的持有期窗口。本文在靜態均值-方差模型基礎上通過引入參考時間窗口長度L和持有期窗口長度H后，構建一個動態均值-方差模型。模型假設：

假設1：投資者為風險厭惡型；

假設2：證券收益率是滿足正態分布的隨機變量，投資者的效用函數是二次函數；

假設3：投資者的效用函數為：U=E(r)-1/2Aσ2。式中，E(r)為投資組合的期望收益，σ2為投資組合的風險；A為風險厭惡系數。

假設4：投資者在投資期間的參考時間窗口L和持有期窗口H不變。

設在一條時間軸上，投資者開始投資的時刻為t=n，這意味著在投資權重計算過程中，我們擁有n期原始計算參考歷史數據樣本，則L觀測值的取值范圍為n-L+1～n。根據靜態均值-方差模型可知，投資者在時刻t=n期望收益為：

(1)

所有資產自身的風險，即方差為：

(2)

式(1)和(2)中，ri,n+1-t表示資產i在n+1-t時刻的收益率。

此外，資產之間的協方差為：

(3)

假定投資者的整個投資期限為E(即從初始時刻t=n直到最后平倉出局)，總共投資S期，則有E=SH+ε，其中H為每次持有期窗口長度，ε為整個投資期中除去S期持有期窗口長度剩下的時間長度。也就是說本文把整個投資期分解為S期持有期長度為H的投資區間和一個剩余時間長度ε；所以，整個投資區間是從t=n到t=n+SH+ε,ε∈N+且ε

在引入外生參數L和H以后，對投資組合進行第m次投資權重調整時，各資產的期望收益和風險可以分別用歷史收益率平均值和方差表示為：

(4)

(5)

式(4)和(5)中，ri,n+mH-t+1表示資產i在第m次權重調整后，時刻n+mH-t+1的收益率。

資產組合的期望收益可表示為：

(6)

資產組合的風險(方差)可表示為：

(7)

其中：wi,n + mH為第m次權重調整后，資產i的持有比例；σij,n+mH為資產之間協方差，可表示為：

(8)

對投資組合進行第m次權重調整時各資產的權重可由以下向量表示：Wm(L,H) = (w1,n + mH,w2,n +mH,…,xN,n +mH)。

在分析了投資客體(即資產)后，需要對投資主體的偏好進行分析。由假設3可知，投資者的效用函數為：

U=E(r)-1/2Aσ2

(9)

利用上述效用函數，可以構建投資者效用最大化模型：

(10)

由模型(10)，投資者可根據自己的風險厭惡系數選擇每次投資調整的最優權重：[W0(L,H),W1(L,H),…Wm(L,H),…,WS(L,H)]，從而得到自己在整個投資期的最佳投資收益。這些最佳權重就是投資者的無差異曲線(由投資者效用函數可得)與有效邊界的切點所對應的組合。

根據模型(10)可知，投資者每次調整投資權重時，需要確定自己的風險偏好系數A，參考時間窗口L以及持有期長度H。很顯然，當投資者知道自己的風險厭惡系數且外生參數(L,H)已知的情況下，可以利用拉格朗日法求解模型(10)。但是外生參數(L,H)正是本文所要求取的結果，所以這種方法行不通。鑒于這種情況，本文利用遍歷法在確保投資者效用最大化的前提下來尋找能夠實現整個投資期收益率最大化的參考時間窗口L以及持有期長度H。

根據前面的描述，投資者在t=n時開始投資，假設其初始稟賦為M0，第m次調整投資權重時的總資金為Mm(L,H)，投資結束，即t=n+SH+ε,ε∈N+時，擁有的資金為Mf(L,H)，那么最大化投資者最終的投資收益可表示為：

maxrf=(Mf(L,H)-M0)/M0

(11)

投資者在起初建立投資組合，經過S次動態投資組合調整投資權重后，在整個投資期結束后，直接平倉出局。所以：

(12)

式中，ri,n+SH為第S次調整后投資者對期末資產的期望收益。

3 β系數性質驗證

本小節選取了申銀萬國一級分類行業指數(共28個)2014年6月3日至2015年9月30日這樣一個涵蓋市場上升階段和下跌階段的投資周期為樣本數據來分析市場態勢與β系數的關系。

3.1 β系數穩定性檢驗

自Blume[21]最早指出了β系數具有向均值回歸的趨勢。許多學者開始了對β值穩定性問題的研究。靳云匯和李學[22]，趙景文[23]，蘇衛東和張世英[24]等研究發現股票投資組合的β系數和行業的β系數的穩定性較好。如果投資者想利用β系數作為選股的參考依據；則股票或者投資組合β系數的平穩性就有著重要的意義。

通過對大量β系數穩定性檢驗文獻的梳理，發現針對貝塔平穩性檢驗的方法有很多。比如：(1)對不同時段回歸的貝塔系數的方差進行分析；(2)ADF穩定性檢驗法；(3)Chou斷點檢驗；(4)基于滾動回歸的穩定性檢驗；(5)基于遞推回歸的穩定性檢驗。本文選擇Chou穩定性檢驗法對β系數穩定性進行驗證。其核心思想為：對子樣本進行單獨回歸，然后觀察這個時間段內的所有子樣本估計方程是否有顯著差異。原假設是各子樣本方程沒有顯著差異，參數在整個區間估計的具有穩定性。通過對每個子樣本區間和整個樣本區間進行回歸后，再利用回歸所得殘差平方和構建F統計量：

其中，RSSR為整個樣本區間的殘差平方和，RSSUR為子樣本區間的殘差平方和的加總，k為所估計參數的個數。如果在應用中計算出的F值沒有超過F表中選定顯著性水平上的F臨界值，則不能拒絕原假設。此時，我們可以認為方程估計的參數具有穩定性。

具體檢驗過程如下：首先對所選取的整個樣本數據做穩定性檢驗，再利用同樣的方法分別對整個市場處于上升階段和下降階段的子樣本數據進行了穩定性檢驗。檢驗結果如表1所示：

表1 β系數穩定性檢驗結果

注：*、**和***分別表示在10%、5%和1%的顯著性水平下顯著。

從表1可以看出，假設在5%的顯著性水平條件下，針對整個樣本區間內有50%的行業β系數是顯著不穩定的。行業β系數在包含市場處于上升階段和市場處于下跌階段的整個樣本區間的不穩定從側面說明了β系數受市場態勢的影響；即說明市場在上升階段和市場處于下跌階段是有結構性變化的。但是，針對市場處于上升階段和市場處于下降階段的子樣本數據而言，90%及以上的行業β系數是穩定的。這就表明當市場不存在上升階段和下跌階段相互轉變的情況下，β系數是穩定的。

3.2 β系數與市場態勢關系驗證

對于β系數與市場態勢關系而言， Kim 和Zumwalt[25]是用以下模型表示的：

(13)

式(13)中：ri,t表示所要分析證券的日收益率；αi可視為單一指數模型中的截距項；

本文在研究過程中參照了Kim和Zumwalt關于不同市場態勢的劃分以及對應態勢下β系數的定義。但是，為了便于回歸，我們需要在模型中引入虛擬變量，將回歸模型表達式(13)設定如下表達式：

ri,t=αi+β1irm,t+β2irm,tDm,t+ei,t

(14)

式(14)中：Dm,t表示為市場態勢的虛擬變量，當rm,t>0時，Dm,t=1；當rm,t≤0時，Dm,t=0。

對表式(14)進行普通最小二乘回歸(OLS)，回歸分析的重點是檢驗虛擬Dm,t前面的系數β2i在統計上是否顯著，如果β2i在一定顯著性水平下不為0，這就表明所選行業的β系數受市場態勢的顯著影響。本文將整個樣本區間分為上升階段和下降階段，其分別對應的時間為2014年6月3日到2015年6月3日和2015年6月4日到2015年9月30日。通過對樣本區間數據處理和檢驗，得到結果，如表2所示：

表2 β系數與市場態勢關系驗證結果

注：*、**和***分別表示在10%、5%和1%的顯著性水平下顯著。

從表2可以得出：在顯著性水平為5%的前提下，整個樣本區間的28個行業中有17個行業的β系數受市場態勢的影響。檢驗結果表明行業的貝塔系數與市場態勢有關。在投資實踐過程中，投資者也經常會發現一些股票或者行業在市場處于上升階段時，其漲幅會高與市場指數的漲幅；當市場處于下跌階段時，其跌幅小于市場指數的跌幅。反之，也有的股票或行業在市場處于上升階段時，其漲幅低于市場；在市場下跌時，其跌幅高于市場跌幅。因此，我們最好用不同的β系數來表示市場處于上升階段及下降階段的股票或行業系統性風險。

根據引入虛擬變量的回歸模型表達式(14)，可以經過回歸得出參數β1i和參數β2i。因為模型中虛擬變量的設定為：當rm,t>0時，Dm,t=1；當rm,t≤0時，Dm,t=0。根據模型設定的方法，我們可以求得上升貝塔系數和下降貝塔系數，分別表示為：β-=β1i，β+=β1i+β2i，具體計算結果如表3。

從以上數據可看出，MFAC-PID算法能更好地克服虛假水位現象出現時對系統的影響，在調節時間、超調量等方面的控制性能要優于傳統PID控制。

表3 上升β系數和下降β系數的計算結果

從表3可知，在這28個樣本行業中，上升貝塔系數(β+)大于1的為13個行業，占比低于50%，下降貝塔系數(β-)大于1的有20個行業，占比高于70%。這表明市場處于下跌時，更多行業的系統性風險是高于市場整體自身風險的。此外，在這28家樣本行業中僅有7個行業的上升β系數(β+)大于下降貝塔系數(β-)，即β+/β->1的情形。這表明大多數行業在市場下跌時的系統風險高于其在市場上漲時的系統風險；僅少數行業在市場上漲時的漲幅高于其在市場下跌時的跌幅，這少數的行業就是投資者應該重點關注的行業。

在本文中，優選行業的標準就是上升β系數(β+)大于下降貝塔系數(β-)的行業。在這7個行業中，采掘業(801020)受市場態勢的影響不是很顯著。所以，最后確定用于動態投資組合為6個行業，其分別為：鋼鐵(801040)、輕工制造(801140)、交通運輸(801170)、綜合(801230)、銀行(801780)和非銀金融(801790)。在這6個行業中，僅鋼鐵行業、交通運輸業和非銀行金融行業的β+大于1且β-小于1，這是最為理想的情況。輕工制造行業、綜合以及銀行業三個行業的β+和β-都小于1，即市場上漲時的漲幅高于其在市場下跌時的跌幅，但是在不同市場態勢下，其波動幅度均小于市場。說明這些行業主要是 “抗跌”的行業。這與實際情況也非常相符，特別是銀行業在大盤下跌時，發揮著“護盤”的作用。此外，最終優選的結果與產業周期理論有些“相?！??？赡艿脑蚴俏覈m然開始進行結構調整，但是新型的產業還沒有成長起來。傳統產業依然是我國經濟的支柱行業，這些產業依然對我們的生產和生活有系統性的影響。

4 動態投資組合模型實證分析

本小節利用所選行業的代表性股票從2014年10月8日至2016年11月30日的收盤價數據為樣本。以2015年10月30日作為基期(即t=n)，在t=n期之前，共有260個交易日的收盤價格數據。選取2015年11月2日至2016年11月30日為投資期，即E=267。

在整個實證過程中，假定投資者效用函數U=E(r)-1/2Aσ2中的風險厭惡系數A=4。同時為了兼顧計算精度和計算效率，在求取有效前沿時，假設取100組均值-方差組合數據來刻畫有效前沿曲線。

(1)給定一組外生參數(L,H)的算例

根據假設(4)，每次投資權重調整時，參考期窗口長度L不變。參考期窗口長度L不易過長，不然會包含一些冗余的信息；當然也不能過短，否則會信息不足，不用充分利用歷史信息來衡量預期收益及風險。持有期窗口長度H同樣如此，最好不要對投資權重調整的太頻繁，以至于交易成本太高；持有期窗口長度H太長或者不調整投資權重就不能利用市場的最新信息，對于投資也是不利的。

利用上節得到的日收益率數據，由模型(10)可以求得到每次調整的最優權重，如表4所示。

表4 樣本股票最優權重變化表

由表4可知，在給定外生參數L=80，H=60后的整個投資期內，每次投資權重調整變化比較劇烈，部分表現不理想的股票在整個投資期都沒有進入投資組合(如：600010、601006和601601)。這也表明如果要想獲得最優的投資收益，進行投資權重的動態調整是有很大必要性的。

由上文可知，在給定外生參數組合(L,H)的情況下利用收益率數據，可以求得不同參數組合下的最優投資權重變化情況。再由公式(11)和(12)可以分析投資權重動態調整過程中總資金的變化。假定投資者在整個投資期初(即2015年11月2日)初始資金為10萬元，在給定持有期窗口長度H=60，不同的參考時間窗口長度L條件下，每次投資權重調整時總的資金變動情況如表5所示。

表5 不同L值下權重調整時總資金變動情況表(單位：元)

由表5可知，在持有期參考窗口長度H一定的情形下，對于不同的參考時間窗口長度，總的資金變動情況還是有很大的區別，可以看出參考時間窗口長度L對投資收益率有較大影響。

(2)遍歷法求解所有外生參數組合(L,H)

圖1 遍歷組合(L,H)的收益率分布圖

由圖1可知，通過最終的投資收益分布圖可以反向推測最優的參考時間窗口長度L以及持有期窗口長度H，即可以構成最優的外生參數組合(L,H)。從圖中可以看出，通過遍歷246×267種(L,H)情況后得到的最優外生參數(L,H)范圍值大約為：L∈[25,45]且H∈[175,200]；L∈[165,190]且H∈[170,190]；L∈[103,138]且H∈[126,132]在這些區域內，整個投資期的收益率可以達到20%左右。而對于參考時間窗口長度L和持有期窗口時間長度H均同時小于100個交易日的參數組合在整體上投資收益率都偏低。這表明利用較少的歷史信息以及過于更換股票投資權重不能獲得優異的投資回報。本節基于歷史數據統計套利策略的具體效果，可以通過下一節的業績評價進行具體分析。

5 投資業績評價

由圖1，L∈[165,190]且H∈[170,190]及其附近范圍內參數在投資期收益內收益率表現較為穩定，可以認為在該區域內不存在“過度擬合”的問題。所以，選取該區域中部分最優外生參數(L,H)對所選樣本股票進行投資，并計算投資后的最優權重及收益率，將其與被動投資收益率進行投資業績對比分析。本文采用的投資業績衡量指標包括：投資期年收益率、風險調整收益率(夏普比率)以及投資預測收益率。

(1)投資期年收益率

投資期年收益率是衡量在整個投資期內投資者整體獲利情況的衡量指標。對于申萬全市場A股指數投資期收益率，可根據該指數在投資整個期末與期初日收盤價之差除以期初的價格指數求得。該指數在2015年10月30日的收盤價為3720.5，2016年11月30日的收盤價為3826.2。所以該指數在整個投資期的收益率為2.84%，年收益率為2.62%。由上節實證中所求區域2中最優外生參數條件下，樣本股票所獲收益率作為動態投資組合策略的收益率的代表。該區域的投資期平均收益率為15.82%，即年收益率為14.60%。上述計算結果表明：采用動態投資組合策略年收益率大于被動投資的年收益率，即可以認為相對于市場被動投資方式來說，采用動態投資組合方式能夠獲得一定的超額收益。

為了更為準確的比較兩種投資方式，可以引入風險調整收益率。

(2)風險調整收益率

由于年收益率僅僅考慮投資收益而沒有考慮投資風險，顯得不是很具有說服力，下面將利用風險調整收益率對投資業績進行評價。主要的風險調整收益率衡量指標有夏普比率、詹森指數和特雷諾比率等指標。而詹森指數和特雷諾比率是建立在資本資產定價模型基礎之上的衡量指標，于本研究假設不符。所以，本節選用夏普比率作為風險調整收益率的衡量指標。夏普比率表示為：

上式中：Ri表示預期風險資產組合收益率；rf為無風險收益率；σi為標準差，代表投資組合的總風險；Ri-rf為風險溢價。

在投資業績評價中，無風險收益率具有重要的作用，它幾乎出現在各種主要的業績評價指標中。在大部分研究文獻中，通常采用短期國債收益率作為無風險收益率的衡量指標；同樣，本文采用中國人民銀行公布的一年期國債收益率作為無風險收益率的衡量指標。通過查詢同期中國人民銀行公布的一年期國債收益率數據，可以計算出無風險收益率為2.27%。

由申萬全市場A股股價指數計算可得，市場組合收益率的標準差為0.017，其夏普比率0.22。根據動態投資組合策略：當L=168，H=172時，動態投資組合在整個投資期的收益率為17.62%，年收益率為16.26%；動態投資組合收益率的標準差為0.023，其夏普比率為6.60。

夏普比率衡量的是投資組合每單位總體風險(標準差)的額外收益，SR越大，表明投資業績越好。根據上述計算結果可知，再經過風險調整后，動態投資策略的收益率表現同樣好于被動投資市場指數的投資方式。

(3)預測收益率

通過選取樣本以外的數據來比較動態投資組合方式與被動投資市場指數方式的收益率表現，可以進一步分析本研究方法的優劣性。同樣假設投資者按照最優外生參數為L=168，H=172進行投資，則由外生參數的投資期限要求，需要選取2016年11月30日至2017年3月14日為樣本以外預測數據。通過計算可得：在該預測期內，申萬全市場A股指數的投資收益率為-2.21%。而按照動態投資組合策略的最優投資權重結果進行投資的收益率為2.67%。

通過以上的計算結果，對比分析了樣本數據以外兩種投資策略的投資收益，同樣可以發現本文的動態投資組合策略收益率優于被動投資市場指數的投資方式。

6 結語

本研究給出了一套基于定量的投資組合的管理方法。該方法主要包括兩個階段，一是基于貝塔系數的行業的優選階段；二是投資組合優化階段，即為確定所選股票的最優投資權重。主要研究結論為：股票的行業貝塔系數與市場態勢有關。部分股票或者行業在市場處于上升階段時，其漲幅會高于市場指數的漲幅；當市場處于下跌階段時，其跌幅小于市場指數的跌幅；反之亦然。因此，我們最好用不同的β系數來表示市場處于上升階段及下降階段的股票或行業系統性風險。其次，在靜態投資組合模型的基礎上，引入了兩個外生的時間參數，參考期窗口和持有期窗口，構建了動態投資組合模型。利用實證數據計算了動態投資組合模型的現實收益率。最后，利用多項業績評價指標對比分析動態投資組合策略和被動投資市場指數的收益情況，可以發現動態投資組合策略的收益明顯優于被動投資策略。通過本文的實證分析可以看出我國證券市場發展處于一個不斷改善的發展階段，我國的證券市場是一個非有效的市場。在我國目前的市場條件下，投資者進行主動投資是可以獲得超過投資市場指數收益率的超額收益。因此，在實際的投資過程中，投資者可以采取一些積極的投資策略進行組合投資。

進一步的研究可以從以下兩個方面入手：(1)可以考慮采用除方差外的其他的風險衡量方式放入模型進行分析，可能會得到更好的投資收益。如：周靜和羅樂[26]發現Adjexpectile風險測度在非對稱收益數據、組合前沿、風險分散方面具有一定的優越性。(2)考慮將交易成本和一些市場摩擦因素加入模型進行動態投資組合研究。