直周之角 尋親覓根*
——源于一道春季高考試題

(芙蓉外國語學校，浙江 金華 321004)

1 問題呈現，探索分析

圖1

例1如圖1,O為坐標原點，過點P(2,0)且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于點M(x1,y1),N(x2,y2).

1)寫出直線l的方程；

2)求x1x2與y1y2的值；

3)求證：OM⊥ON.

(2005年北京、安徽春季數學高考文科試題第18題)

分析本題主要考查的是解析幾何中常規的基本運算.聯立方程，把問題轉化為常用的斜率及向量處理，即可快速求解證明.筆者思考第3)小題中的結論是一種巧合，還是另有奧秘.

2 大膽猜想，尋找規律

結論OM⊥ON，即過定點P(2,0)的直線l與拋物線y2=2x相交的點都具有該性質，這與圓中過圓心的弦(即直徑)所對的任意周角都垂直不謀而合，由例1發現拋物線中也具有這種關系.于是大膽地猜想：

猜想1只要OM⊥ON，則直線l一定過定點(2,0).

為了避免不必要的證明，可通過幾何畫板先演示追蹤直線進行探索，可知直線l過定點(2,0)，下面再進行嚴格的代數證明.

證明設直線l的方程為x=ky+m，點A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

y2-2ky-2m=0,

于是

y1+y2=2k,y1y2=-2m.

因為OA⊥OB,所以

得

m=2或m=0(舍去),

因此x=ky+2,即直線l恒過定點(2,0).

下面提出更一般的猜想：

圖2

猜想2直線l與拋物線y2=2px相交于點A,B，若OA⊥OB，則直線l恒過定點.

同樣為了避免沒必要的證明，還是通過幾何畫板先演示追蹤直線進行探索，可知直線l過定點(如圖2).下面再進行嚴格的代數證明.

2)當k存在時，設直線l的方程為y=kx+m，點A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

ky2-2py+2pm=0,

于是

因為OA⊥OB,所以

得

m=-2pk或m=0(舍去),

因此y=kx-2pk=k(x-2p),即直線l恒過定點(2p,0).

結論1直線y=kx+m與拋物線y2=2px相交于點A,B，若OA⊥OB，則直線恒過定點(2p,0).

推論1過定點(2p,0)作直線且與拋物線y2=2px相交于點A,B，則OA⊥OB.

推論2過定點(2p,0)作直線且與拋物線y2=2px相交于點A,B，則點O,A,B共圓.

通過圓的周角結論，大膽猜想，并結合圖形讓學生切身體驗、觀察和推理，探索發現拋物線的周角性質．

從結論1中知道O為定點(原點)，下面將視野再放大：若直角頂點P不在原點，且PA⊥PB，則直線AB是否還會過定點？

猜想3已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px上定點且拋物線與直線l交于點A，B，若PA⊥PB，證明：直線AB恒過定點.

同樣借用幾何畫板先直觀地觀察，知直線AB仍然恒過定點.下面通過代數證明并尋找該定點.

2)當k存在時，設直線l的方程為y=kx+m，點A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

ky2-2py+2pm=0,

于是

因為PA⊥PB,所以

得

m=-y0-k(x0+2p),

因此直線l的方程為y=kx+m=k(x-x0-2p)-y0，即恒過定點(x0+2p,-y0).

結論2已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px上的定點且拋物線與直線l交于點A,B，若PA⊥PB，則直線AB恒過定點Q(x0+2p,-y0).

通過改變周角頂點，觀察圖像發現性質仍然成立，并邏輯推理、探索證明其他圓錐曲線中的周角性質，類比推廣.

3 追根溯源，總結提升

人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學(選修2-1)》第73頁習題2.4第6題如下：

圖3

例2如圖3，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A,B，求證：OA⊥OB.

分析由上述結論可知直線過點(2p,0)，即(2,0)，因此必有OA⊥OB.

例2是例1的源頭.茫茫題海，問解何處覓，課本尋根、課本探源，盡覽眾山小.因此在平時的教學及學習過程中，要學會對問題的深入探究以及學會同根同宗問題的延續及推理.

大家都知道圓錐曲線與圓有著天然的聯系，一方面在很多題目中看到動圓的圓心軌跡就是圓錐曲線，反過來圓錐曲線又可生成圓，它們相伴而生，如影隨形.并且圓錐曲線的很多性質都與圓有相似結論，這種類比推理的學習不僅有趣，而且對視野的擴展及解題能力及素養的提升都有很大幫助.在平時的學習過程中，不僅要學會推理、尋找聯系，還要對一些結論進行整理、推廣以及應用.

圖4

4 延伸拓展，拾級而上

例3如圖4，已知點M(1,1)是拋物線C:y2=x上的一點，直線l與拋物線C交于點A,B，使得∠AMB=90°,則原點到直線l的距離最大值為______.

(2018年浙江省金華市十校聯考高二第二學期期末考試第15題)

分析1設直線方程為x=my+n，聯立方程得y2-my-n=0，從而

y1+y2=m,y1y2=-n,Δ=m2+4n.

因為MA⊥MB,得n=m+2,所以

圖5

評注利用結論2，此題可快速求解，避免大量運算.

例4如圖5，已知拋物線y2=4px(其中p>0)，O為頂點，設A,B為拋物線y2=4px(其中p>0)上除原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB,OM⊥AB于點M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

(2000年北京市春季數學高考理科試題第22題)

分析由結論1可知，直線l過定點Q(4p,0).因為OM⊥AB，所以OM⊥QM,因此點M的軌跡是以OQ為直徑的圓(除點O,Q)，即

(x-2p)2+y2=4p2(其中y≠0).

評注利用結論1，此題可快速尋找軌跡變量關系的轉移，避免尋找點A,B的大量運算.

總之，高考與學習都是源于課本但又略高于課本，熟悉的結論雖然陌生但又有據可依.因此在平時的學習中，多把教材上的知識點、例題以及練習作為學習的第一資源，多加以探究及聯想、類比與拓展，串聯一些相關的知識，讓高考回歸課本，讓解決問題變成水到渠成的事情，相信經過長期研究及探索，命題者的奇思妙想也會變得理所當然.