換個順序 先算后代 簡化運算*

(姜堰第二中學,江蘇 泰州 225500))

文獻[1]指出簡化解析幾何的運算一直是解析幾何研究的重點，并提出兩個視角，即幾何視角和代數視角.文獻[2]通過“先定后證”從代數視角有效地簡化了解析幾何中定點定值問題的運算.文獻[3]給出5種策略：設而不求、巧用幾何性質、合理翻譯條件、利用常見結論、爭取整體替代.而實際上，繁分式的運算與化簡才是解析幾何運算的難點，如何簡化此類運算才是廣大師生的共同追求，由此筆者進一步提出解決策略：換個順序，先算后代，簡化運算.

圖1

2)已知△ABF外接圓的圓心在直線y=-x上，求橢圓的離心率e的值．

(2019年江蘇省數學高考模擬試題第17題)

由點C在線段AB的中垂線上，得

整理得

b(a-c)+b2=ac,

即

(b-c)(a+b)=0.

因為a+b>0，所以b=c,故橢圓的離心率

評注此為常規思路，在得到點C的坐標后，直接代入線段AB的中垂線方程進行運算，雖然整體運算量不大，但仍可以換個順序，先算后代，簡化運算.

第2)小題另解因為△ABF外接圓的圓心在直線y=-x上，所以可設△ABF的外心為C(x0,-x0)，由外心的性質知點C在線段AF的中垂線上，且滿足AC=BC，則

(1)

且

(2)

由式(1)和式(2)可得b=c，

故

例2已知⊙C的方程為(x+1)2+y2=1，過y軸正半軸上一點P(0,2)且斜率為k的直線l交⊙C于點A,B，當△ABC的面積最大時，直線l的斜率k=______.

思路1直線l的斜率存在且直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0,從而

至此陷入運算的困境，要得到最終答案，還得費一番心思.

思路2直線l的斜率存在且直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0,代入圓的方程(x+1)2+y2=1,得

(k2+1)x2+2(2k+1)x+4=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

又

Δ=[2(2k+1)]2-16(k2+1)>0，

從而

與思路1一樣，想得到最終答案也不容易.

評注上述兩個常規思路均將△ABC的面積表示為關于斜率k的函數，但由于函數表達式過于復雜，不易求得最大值.這就暗示我們要進行換位思考，用另外的變量來表示△ABC的面積，在求得最大值后，再去求相應的斜率.

解法1直線l的斜率存在且直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0,從而

解法2設∠ACB=θ(其中0<θ<π)，則

說明思路1與思路2均將△ABC的面積直接表示為斜率k的函數，但函數表達式過于繁瑣，最大值不好求.在重新調整思路后，借助不同于斜率k的變量(點C到直線AB的距離dC-AB或∠ACB)建立了新的函數，其表達式簡潔，易于求得最大值.在S△ABC取得最大值的條件下很快求得相應的斜率的值，快速達成問題的解決.這里運用了“換個順序，先算后代”的策略，大大簡化了運算.

實際上，思路1和思路2的問題在于運算得太徹底，其實中間的運算步驟已經能解決問題，調整如下：

1)求橢圓E的標準方程.

圖2

2)如圖2，設A為橢圓E的左頂點，過點C(1,0)的直線與橢圓E交于點M,N，直線AM與直線l:x=9交于點T，問：直線TN是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

思路1這是定點問題，常規思路是先設后求.

(5+9k2)x2-18k2x+9k2-45=0,

從而

于是

x1x2=5(x1+x2)-9.

從而

故直線NT的方程為

即

亦即直線NT的方程為

綜上可知直線NT過定點(3,0).

(5m2+9)y2+10my-40=0,

于是

4(y1+y2)=my1y2.

從而

于是直線NT的方程為

故直線NT過定點B(3,0).

評注設直線NT的方程為x=my+1，可以減去斜率不存在的討論，運算量也稍簡單一點.當然，與前面一樣，要不是4(y1+y2)=my1y2的幫忙(注：此式的得來要比x1x2=5(x1+x2)-9容易多了)，也會很麻煩.

思路3既然此題為定點問題，也可用文獻[2]先定后證的方法簡化運算.

(5m2+9)y2+10my-40=0,

于是

4(y1+y2)=my1y2.

于是

說明在實施先定后證后，運算量確實大大減少，思路1和思路2能改進嗎？

思路1和思路2在實施先設后證時，均遇到了繁分式的運算與化簡問題，并且運算量極大，相當困難，要不是兩根之和與兩根之積的巧妙轉化，還不知要算到何時？下面同樣運用先算后代的策略來大大簡化運算.

從而

簡化運算始終是解析幾何的主旋律,代數與幾何是兩大主方向.這里從代數恒等變換的角度提出“換個順序，先算后代”的策略，給出了一種新的簡化解析幾何運算量的策略.這是一種全新的解題體驗，也是對文獻[3]提出的5種經典策略的有力補充.當然，追求永無止境，希讀者做更開闊的探索與研究.